Lineare Algebra II 3. Tutoriumsblatt

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Lineare Algebra II 3. Tutoriumsblatt

Fachbereich Mathematik Sommersemester 2013

Prof. Jan H. Bruinier 29.05.2013

Claudia Alfes

Markus Schwagenscheidt

Gruppenübung

Aufgabe G1 (Einschränkungen sind diagonalisierbar)

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und f :V → V ein diagonalisierbarer Endomorphismus. SeiW ⊆ V ein f-invarianter Unterraum, also f(W)⊆W. Dann ist f|W diagonalisierbar.

Lösung: Seienλ₁, . . . ,λkdie Eigenwerte von f. Da diagonalisierbar ist, istEig(f,λi) =Hau(f,λi)für allei=1, . . . ,k nach einem Theorem aus der Vorlesung. Jeder Eigenwert vonf|Wist auch Eigenwert vonf. Seiλeiner dieser Eigenwerte vonf|W. Dann gilt

Eig(f|W,λ) =Eig(f,λ)∩W, Hau(f|W,λ) =Hau(f,λ)∩W,

denn:

• Sei v ∈Eig(f|W,λ). Dann ist ^v ∈ W und f(^v) = f|W(^v) = λ^v, also v ∈Eig(f,λ)∩W. Sei umgekehrt v ∈ Eig(f,λ)∩W. Dann gilt f|W(^v) =f(^v) =λ^v, alsov∈Eig(f|W,λ).

• Seiv ∈Hau(f|W,λ). Dann ist^v∈W und(f|W−λid_W)^mⁱ^v =0, wobeim_i die algebraische Vielfachheit vonλin P_f bezeichnet. Es gilt

(f −λid_V)^mⁱ^v = (f|W−λid_W)^mⁱ^v=0.

Dabei kann manf durch f|Wundid_V durchid_W ersetzen, dav∈Wist. Es folgtv∈Hau(f,λ)∩W. Sei umgekehrt v∈Hau(f,λ)∩W. Dann gilt

(f|W−λid_W)^mⁱv= (f −λid_V)^mⁱv=0 alsov∈Hau(f,λ).

Damit gilt

Eig(f|W,λ) =Hau(f,λ)∩W=Eig(f,λ)∩W=Hau(f|W,λ)

für alle Eigenwerteλvonf|W. Nach dem Theorem ist f|Wdiagonalisierbar.

Aufgabe G2 (Rechnen inZ/mZ)

Seim∈N. Wir definieren aufZeine Äquivalenzrelation¹durch

x∼y ⇔ m|(x−y).

Stattx∼yschreibt man

x≡y modm.

Die Äquivalenzklassen bezeichnen wir mit

x={y∈Z:m|(x−y)}

und nennen sie auch Restklassen modulom. Die Menge aller Äquivalenzklassen notieren wir mitZ/mZ.

1 Dass die Relation reflexiv und symmetrisch ist, ist klar. Zur Transitivität: Giltm|(x−y)undm|(y−z), so ist(x−z) = (x−y) + (y−z), also m|(x−z)).

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(a) Beachte, dass die Elemente vonZ/mZselbst Mengen sind, und keine Zahlen.

(b) Zwei Zahlen sind genau dann äquivalent modulo m(liegen in derselben Klasse), wenn sie bei Teilung durch m denselben Rest lassen.

(c) Z/mZenthältmElemente. Als Repräsentanten kann man0, . . . ,m−1wählen.

(d) Beispiel:Z/6Z. Wir haben die Repräsentanten0, 1, . . . , 5. Es gilt z.B.13≡ −5≡1 mod 6und−9≡3 mod 6.

(e) Definiere Addition+mund Multiplikation·mvon Restklassen durch x+m y:=x+y, x·m y=x y.

Beachte, dass hier Mengen addiert und multipliziert werden. Warum ist das wohldefiniert (also unabhängig von den gewählten Repräsentantenx,yder Klassenx,y)?

(f) Beispiel:Z/5Z: Berechne13·27=3·2=6=1. Berechne9057·10014=2·4=3. In modulo-Schreibweise haben wir z.B.19·36≡4·1≡4 mod 5.

(g) Addition und Multiplikation aufZ/mZsind assoziativ, kommutativ und distributiv.Z/mZist ein Ring.

(h) Z/mZhat Nullteiler, wennmkeine Primzahl ist, denn: Schreibem=a bmit echten Teilerna,b, dann ista·b=m= 0. Beispiel:2·3≡0 mod 6, d.h.2und3sind nullteiler und somit auch nicht invertiebar inZ/6Z. Die Ausdrücke 2⁻¹oder ¹₂machen inZ/6Zkeinen Sinn.

(i) Z/pZfür eine Primzahlpist ein Körper, d.h. zu jedemx∈Z/pZ,x6=0, existiert einy∈Z/pZmitx·y=y·x=1.

Denn: Euklidischer Algorithmus liefert y,zso dassy x+z p=1, also y x≡1 modp.

Schreibenx⁻¹:= y, aber NICHT y= ¹_x.

(j) (Z/nZ)^∗(manchmal auch(Z/nZ)^×) ist die Einheitengruppe vonZ/nZ, also die Menge der invertierbaren Elemente.

Aufgabe G3 (Kleiner Satz von Fermat)

Seip∈Neine Primzahl unda∈Zmitp-a. Dann gilt

a^p−1≡1 (modp).

Hinweise:

• Sie dürfen verwenden, dass die Ordnung einer Untergruppe die Gruppenordnung teilt (Erinnerung: Die Ordnung einer endlichen Gruppe ist gleich der Anzahl ihrer Elemente).

Lösung: Wir geben den Beweis stichpunktartig an:

• DaZ/pZein Körper ist, ist die Einheitengruppe(Z/pZ)^∗= (Z/pZ)\ {¯0}.

• (Z/pZ)^∗ist abelsche Gruppe der Ordnungp−1.

• Wegenp-a, gilt¯a6=¯0inZ/pZ.

• Die Folge¯a, ¯a², ¯a³, . . .wiederholt sich, d.h. es existiereniund jmit1≤i≤junda¯ⁱ=¯a^j, also ist¯a^i−j=¯1.

• Wähle einn, welches minimal mit dieser Eigenschaft ist, alsoa¯ⁿ=1¯und¯aⁱ6=¯1füri<n.

Dann sind ¯a, ¯a², . . . , ¯aⁿ⁻¹, ¯aⁿ=1¯ paarweise verschieden undH ={1, ¯¯ a, ¯a², . . . , ¯aⁿ⁻¹} ist eine Untergruppe von (Z/pZ)^∗,·

.

(Denn:¯aⁱ·a¯^j=¯a^i+j=a¯^r, fallsi+j=qn+rmit0≤r<n,¯a⁻¹=¯aⁿ⁻¹,(¯a²)⁻¹=¯aⁿ⁻²usw.)

• Nach dem Hinweis folgt, dass die Ordnung von H die Ordnung von(Z/pZ)^∗teilt, also gilth=|H| | |(Z/pZ)^∗|= p−1. Sei alsop−1=hqfür einq∈N, dann gilt

¯

a^p⁻¹= (¯a^h)^q=¯1^q=¯1.

Also folgt, dass

a^p−1≡1 (modp).

Aufgabe G4 (Tipps zur Jordanschen Normalform)

Es seiAeine reelle oder komplexen×n-Matrix undλein Eigenwert vonA.

• Grundvorraussetzung anA: Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren (dies ist für komplexe Matrizen stets erfüllt). Dann existiert die Jordan-Normalform vonA.

• Aund ihre Jordansche NormalformJ sind ähnlich, d.h. es giltA=S⁻¹J Sfür eine geeignete BasiswechselmatrixJ. Die zugehörige Basis, bzgl. dererAin NormalformJvorliegt, heißt Jordanbasis.

• dim(Hau(f,λ)) =algebraische Vielfachheit vonλim charakteristischen Polynom=Größe des Jordanblocks zuλ.

• Summe der Dimensionen der Haupträume = Summe der algebraischen Vielfachheiten = Grad des char. Pol. = Dimension des Vektorraums.

• geometrische Vielfachheit vonλ=Anzahl der Jordan-Kästchen zuλ.

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