Aufgabensammlung der Arbeitsgruppe Mathematik des Netzwerkes im Regierungsbezirk Düsseldorf, NRW im BLK-Programm SINUS

Aufgabensammlung der Arbeitsgruppe Mathematik des

Netzwerkes im Regierungsbezirk Düsseldorf, NRW

im BLK-Programm SINUS

„Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen

Unterrichts“

Aufgabensammlung der Arbeitsgruppe Mathematik des Netzwerkes Bezirksregierung Düsseldorf

Was zeigt uns TIMSS?

Große Anteile der Schülerinnen und Schüler haben Schwierigkeiten mit anspruchsvolleren Aufgaben und Problemstellungen. An Aufgaben, die zugleich Basiswissen, Problemlösen und Kenntnisse aus verschiedenen Jahrgängen und Fächern verlangen, scheiterten die

Schülerinnen und Schüler. Solche Aufgaben sind für sie ungewohnt, da sie kaum im Unterricht vorkommen.

Wir wollen diese Lücke schließen.

Eine Gruppe von Lehrerinnen und Lehrern aus dem Regierungsbezirk Düsseldorf haben sich im Rahmen des BLK-Programms SINUS zusammengefunden. Sie kommen von folgenden Schulen:

B.M.V.-Schule, Essen

Franz-Meyers-Gymnasium, Mönchengladbach Gesamtschule Meiderich, Duisburg

Michael-Ende-Gymnasium, Tönisvorst Willy-Brandt-Gesamtschule, Mülheim Wir haben Aufgaben entwickelt, die

 Wissen aus verschiedenen Lernbereichen miteinander vernetzen,

 einen realistischeren Kontext, einen höheren Wirklichkeitsbezug haben,

 Schüler zum Bilden von Modellen anregen,

 verschiedene Lösungswege zulassen,

 die Beurteilung von Ergebnissen verlangen,

 Zugang und Lösung auf verschiedenen Anspruchsniveaus ermöglichen,

 mathematisches Basiswissen verlangen,

 offen sind und Anlässe zum entdeckenden und problemlösenden Denken geben.

Unsere Aufgaben sind zur Sicherung von Basiswissen gedacht. Sie sind als wiederholende Aufgaben konzipiert worden, können aber auch zur Einführung des Stoffes eingesetzt werden.

Hinweise zur Benutzung:

Die Aufgaben sind nummeriert. Dabei gibt die Zahl vor dem Punkt die Klassenstufe an, in der diese Aufgabe zur Wiederholung verwendet werden kann. Die Zahl nach dem Punkt dient zur fortlaufenden Nummerierung.

So bedeutet zum Beispiel „9.11“: zur Lösung der Aufgabe wird der Unterrichtsstoff bis ein- schließlich Klasse 8 benötigt.

Es kann allerdings bedingt durch unterschiedliche Curricula zu Abweichungen kommen.

Weiterhin kann aus einer Übersicht ersehen werden, welche thematischen Schwerpunkte in den einzelnen Aufgaben angesprochen werden.

Zu jeder Aufgabe liegt ebenfalls ein Lösungshinweis vor.

Die Aufgaben liegen sowohl in gedruckter Form als auch als CD-ROM (WORD-Dateien) vor.

Ansprechpartner:

Dr. Norbert Esper EsperNorbert@aol.com

Aufgabe Titel

Prozentrechnung Körperberechnung Flächenberechnung Funktionen, linear Funktionen, quadratisch Funktionen, exponentiell Gleichungssysteme Größenumrechnung Pythagoras / Trigonometrie Terme und Gleichungen

8.1 Gärtnerei X X X X

8.2 Copy-Shop X X X

8.3 Geburtstagsgeschenk X X X X

8.4 Sprungweiten X

8.5 Wechselkurse X X X

8.6 Saft X X X

8.7 Fahrradtour X

8.8 Roller-Scates X

8.9 Taxifahrt X X X X

8.10 Kupfer und Zink X X X X

8.11 Werkstück X X X X

8.12 Garten X X X X

8.13 Frostschutzmittel X X X

8.14 Computerladen X

8.15 Herzvolumen X X X

8.16 Wasservorräte X X X

8.17 Küchenkauf X

8.18 Atemluft X X

9.1 Tropfsteine X

9.2 Telefontarife X

9.3 Gasthaus X X X X

9.4 Geschenk X X

9.5 Fährschiffe X X X X

9.6 Schiffskarambolagen X X X

9.7 Kanalüberquerung X X

9.8 Schulweg X X

9.9 Stromtarife X X X

9.10 Kerze X X

9.11 Baufirma X X

9.12 Schwimmbecken X X X X

9.13 Füllen eines Beckens X X X

9.14 Füllen einer Vase X X

9.15 Füllgraph X X

9.16 Texte zu Termen X

9.17 Renovieren X X X

9.18 Maisfeld X X

9.19 ICE X X X

9.20 Flächeninhalt eines Grundstücks X X

9.21 Gemüsebeet X X

10.1 Landwirt Peters X X X X X

10.2 Bremsweg X X X

10.3. Hochsprung X X

10.4 Jeanshosen X X

10.5 Schaltungen X

10.6 Rosenbeet X X X X X

10.7 Freier Fall X X

10.8 Vergrößern X X

10.9 Fresh-Drinks X X X X

10.10 Verpackung von Kandis X X X X X

10.11 Kugelstoßen X X

11.1 Wachstum von Algen X X

11.2 Füllen einer Vase X X X

11.3 Immer weniger Deutsche X X

11.4 Abkühlen von Tee X

11.5 Radioaktiver Zerfall X

11.6 Erlenmeyerkolben X X X

11.7 Sandhaufen X X X

11.8 Kieswerk X X X

11.9 Weingläser X X X

11.10 Salmonellen X

11.11 Gasflasche X X X X

11.12 Blumenkübel X X X X X

11.13 Konservendosen X X X X X

11.14 Schokolade X X X X X

11.15 Firmenlogo X X X X

11.16 Fernbedienung X X X

11.17 Zimmer X X X X X X

Aufgabe 8.1 Gärtnerei

In einer Gärtnerei werden kleine, quaderförmige Schalen bepflanzt. Sie haben folgende Abmessungen: Höhe 7,5cm, Breite 9cm, Länge 17cm.

1. Wie viel cm³ Blumenerde ist für eine Schale erforderlich, wenn sie bis auf 1cm unterm Rand gefüllt werden soll?

2. Ein 50 l Sack Blumenerde kostet 6,40 Euro, wie hoch sind die Kosten für das Füllen des Blumenkastens?

3. Wie viel Prozent weniger Blumenerde werden benötigt, wenn man die Grundfläche gemäß der Skizze verkleinert?

4. In der Gärtnerei wird eine bepflanzte Schale für 6,60 Euro zum Verkauf angeboten. Die Kosten lagen bei 0,08 Euro für die Blumenerde, 1,40 Euro für die Pflanzen und 0,95 Euro für die Schale. Vergleiche den Verkaufspreis mit der Summe der Kosten!

5. Ein großes Restaurant kauft zur Dekoration der Tische 35 dieser Pflanzschalen und erhält einen Rabatt von 5%. Wie hoch ist der Rechnungsbetrag?

6. Wie viele Schalen aus 1. und 2. passen maximal auf eine Transportpalette von 36cm x 61cm Größe? Skizziere die optimale Anordnung!

7. Wie verändern sich die Kosten für Blumenerde und Pflanzen, wenn alle Maße einschließlich Rand verdoppelt werden?

12,5 cm

5 cm 9 cm

17 cm

Lösungshinweise 8.1 Gärtnerei

1. Blumenerde pro quaderförmige Schale: ^V^17cm^9cm^6,5cm^994,5cm3 2. Preis für die Blumenerde =

50 9945 , 0 40 ,

6 

Euro ^{ 0,13} Euro

3. Verkleinerung der Grundfläche von 153 cm² um ²^2cm^2,25cm^9cm2 9 cm² von 153 cm² = ^{0,058823... 5,9%}

153

9   Es wird 5,9% weniger Blumenerde benötigt, wenn man die Grundfläche gemäß der Skizze verkleinert.

4. Kosten für Blumenerde, Pflanzen und Schale = 2,43 Euro Verkaufspreis = 6,60 Euro  ^{2,7160... 271,6%}

243

660  

Differenz = 4,17 Euro ^171,6% 243

417 



5. Rechnungsbetrag des Restaurants: ^{350,956,60} Euro = 219,45 Euro 6. Es passen maximal 14 Schalen beider Formen auf die Transportpalette.

7. Werden alle Maße einschließlich Rand verdoppelt, so vervierfachen sich die Kosten für die Pflanzen und verachtfachen sich die Kosten für die Blumenerde.

Die Kosten für die Blumenerde sind 8-mal so groß, für die Pflanzen viermal.

36 cm

61 cm

Aufgabe 8.2 Werbung im Copy-Shop

Bei der Firma Quick-Copy gibt es folgendes Angebot:

1. Berechne den Preis für das Kopieren von a) 4 Seiten

b) 9 Seiten.

2. Die Kopiervorlage umfasst n Seiten. Stelle den Term für den zugehörigen Preis auf!

Vereinfache diesen Term so weit wie möglich!

3. Zeichne den Graphen der Zuordnung Anzahl der Seiten x  Preis y (in €) in ein Koordinatensystem.

4. Begründe, warum es sich bei dieser Zuordnung nicht um eine proportionale Zuordnung handelt!

5. Wie viele Seiten kann man kopieren, wenn man nicht mehr als 13 € ausgeben will?

6 Herr Kleine möchte einen bebilderten Text kopieren, der 24 Seiten umfasst. Da ihm der Preis zu hoch ist, verkleinert er seinen Text so, dass er jeweils 2 Seiten zu einer Seite zusammenfassen kann. Spart er dadurch 50 %?

7. Das Angebot der Konkurrenzfirma Avanti-Copy kann man der folgenden Graphik entnehmen:

a) Wie viel € kosten 10, 25, 40, 60 Kopien?

b) Formuliere das Angebot in Worten (Erstelle ein Plakat)!

c) Fatima muss 6 Kopien machen. Gibt es für sie Möglichkeiten Geld zu sparen?

d) Bei welchen Stückzahlen kann man weitere Kopien erstellen, ohne mehr zu bezahlen?

Sie können bei uns Farbkopien erstellen:

erste Seite 1 €

jede weitere Seite 0,75 €

10 20 30 40 50 60 70 80

40 30 20 10

Preis in €

Stückzahl

Lösungshinweise 8.2 Werbung im Copy-Shop

1. a) 3,25 € b) 7 €

2. ^{1(n1)0,750,250,75n} 3.

4. 2 Kopien kosten 1,75 € ; 4 Kopien kosten 3,25 € : die Zuordnung ist nicht proportional, weil der doppelten Menge nicht der doppelte Preis zugeordnet wird.

5. 0,25 + 0,75n  13  n 17

6. 24 Seiten kosten 18,25 € ; 12 Seiten kosten 9,25 € ; Herr Kleine spart 49,3 % 7. a) 10 Kopien  8 €

25 Kopien  20 € 40 Kopien  32 € 60 Kopien  30 €

b) bis zu 9 Kopien  2 € pro Stück 10 bis 49 Kopien  0,80 € pro Stück ab 50 Kopien  0,50 € pro Stück

c) Fatima sollte 10 Kopien machen, denn 6 Kopien kosten 12 € und 10 Kopien nur 8 €

d) Beispiele : statt 7 Kopien sollte man 10 Kopien machen statt 32 Kopien sollte man 50 Kopien machen

Preis in €

Stückzahl 10 20

40 30 20

30 50

10

40

Aufgabe 8.3 Das Geburtstagsgeschenk: Ein Karton mit Popkorn

Heike möchte ihrer Schwester zum Geburtstag einen selbstgebastelten Geschenkkarton schenken, der mit Popkorn gefüllt wird.

Ein Schreibwarengeschäft bietet farbiges Tonpapier in der Größe DIN A2 an. Ein DIN A2-Blatt hat die Form eines 420 mm breiten und 594 mm langen Rechtecks.

1. Berechne den Flächeninhalt eines solchen DIN A2-Blattes in cm²!

Heike kauft einen solchen Bogen Tonpapier. Daraus möchte sie einen Quader mit den angege- benen Maßen basteln.

2. Heike zeichnet zur Vorbereitung zwei Netze des Quaders (ohne Klebekanten) im Maßstab 1 : 5. Begründe, warum diese Netze nicht geeignet sind!

3. Zeichne ein geeignetes Netz des Quaders (ohne Klebekanten) im Maßstab 1 : 5 !

4. Berechne den Flächeninhalt des Abfalls (Verschnitts) (in cm²), der übrig bleibt, wenn du aus Deinem Netz den Quader baust. Wieviel Prozent sind dies?

Kannst du durch ein anderes Netz den Abfall (in cm² ) verändern?

5. Wie viel Gramm wiegt der Quader, wenn das Tonpapier die Qualität 240 g pro m² hat?

6. Heike kauft im Supermarkt einen 5-Liter-Eimer Popkorn. Sie möchte den Quader vollständig füllen und ihrer Schwester schenken. Den Rest behält sie. Wer hat mehr Popkorn?

7. Welche Abmessungen könnte ein Quader haben, damit beide die gleiche Menge Popkorn bekommen?

Lösungshinweise 8.3 Geburtstagsgeschenk

1. Flächeninhalt des DIN A2 – Blattes : ^420mm^594mm^2494,8cm2

2. Bei Netz 1 würde die Grundfläche 20 cm x 15 cm sein.

Bei Netz 2 würden zwei Seitenflächen übereinander geklebt und die Schachtel wäre offen.

3.

4. O = 2(20cm10cm20cm15cm10cm15cm)1300cm² ; Abfall = 1194,8 cm²

% 9 , 47 ...

47891 , 8 0 , 2494

8 ,

1194  

5. 1300 cm² = 0,13 m² ; Gewicht des Quaders = ^{0,13240g31,2g} 6. V = 20cm  10cm  15cm = 3000cm³

Heike bekommt nur 2 Liter Popkorn.

7. 2,5 l = 2500 cm³ = ^{10cm10cm25cm5cm20cm25cm10cm12,5cm20cm}

1 0 c m 1 5 c m

10 cm

1 0 c m

1 5 c m

20 cm 20 cm

Aufgabe 8.4 Sprungweiten

1. Berechne die Verhältnisse in der letzten Spalte der Tabelle:

Tierart Sprungweite (SW) Körperlänge (KL) Verhältnis Sprungweite : Körperlänge

Tiger 5 m 3 m

Floh 0,6 m 3 mm

Heuschrecke 2 m 6,5 cm

Känguru 13,5 m 1,2 m

Springfrosch 2 m 6 cm

Fuchs 2,8 m 1,2 m

Löwe 5 m 1,90 m

Hirsch 2,40 m 4,5

Waldmaus 0,7 m 1/8 der SW

2. Um einen Überblick zu gewinnen, ist es günstiger das Verhältnis in Abhängigkeit von der Körpergröße graphisch darzustellen. Trage auf der waagerechten Achse die

Körpergröße und auf der senkrechten Achse das Verhältnis ein. Was kannst du ablesen?

3. Welches Tier würdest du als den besten Springer bezeichnen und warum?

4. Wie weit könnte ein Mensch von 1,80 m Körpergröße mit dem Sprungvermögen einer Heuschrecke springen?

5. Gulliver ist auf die Größe einer Heuschrecke geschrumpft, hat sein Sprungvermögen aber beibehalten. Wie weit kann er springen?

6. Wie weit kann ein Hirsch springen?

7. Wie groß ist die Waldmaus?

Lösungshinweise 8.4 Sprungweiten

1.

2.

Die Tiere mit geringerer Körperlänge haben das bessere Sprungvermögen 3. Der beste Springer ist der Floh.

4. 1,80 m · 31 = 55,80 m

5. Die Sprungweite ändert sich nicht, er kann genau so weit wie als Riese springen.

6. 2,40 m · 4,5 = 10,80 m

7. 0,7 m · 0,125 = 0,0875 m = 8,75 cm ~ 8 bis 9 cm

Tierart Verhältnis

Sprungweite : Körperlänge

Tiger 5 : 3 = 1,67 ~ 1,5

Floh 600 : 3 = 200

Heuschrecke 200 : 6,5 ~ 31

Känguru 13,5 : 1,2 ~ 11

Springfrosch 200 : 6 ~ 33

Fuchs 2,8 : 1,2 ~ 2,5

Löwe 5 : 1,9 ~ 2,5

Hirsch 4,5

Waldmaus 8

Sprungvermögen

200

31

8 112,5 2,5 4,5 1,5

33

0 50 100 150 200 250

0 1 2 3 4

Körperlänge in m

V er h äl tn is S p ru n g w ei te : K ö rp er lä n g e

Aufgabe 8.5 Wechselkurse

Nach ihrem Abitur möchte Anne in den wohlverdienten Urlaub nach Frankreich und Italien.

Da sie weiß, dass seit dem 1. Januar 1999 der Euro (€) auch in diesen Ländern gilt, hat sie sich folgende Tabelle besorgt:

= DEM = FRF = ITL

1 Euro (€) 1,95583 6,55957 1936,27

1 DEM 10 FRF 1000 ITL

= Euro (€) 0,51113 1,52449 0,51645

DEM: Deutsche Mark; FRF: Französische Franc; ITL: Italienische Lira

1. Aus der Tabelle kann sie die Wechselkurse von DM in Franc und Lira nicht direkt entnehmen. Nach kurzer Rechnung erhält sie folgende Kurse:

= FRF = ITL

1 DEM 3,353854 989,99 Bestätige dies durch eigene Rechnung.

2. Vor Antritt ihrer Reise möchte Anne Geld bei ihrer Sparkasse umtauschen. Sie tauscht jeweils 300 DM in Franc und in Lira. Die Sparkasse erhebt jeweils eine Gebühr von 3%

vom getauschten DM Betrag - dem so genannten DEM-Gegenwert. Die Mindestgebühr beträgt 2,50 DEM. Wie viel Franc und wie viel Lira bekommt Anne bei ihrem

Umtausch?

3. Bei einem Einkaufsbummel in Cannes entdeckt sie eine Bluse, die 149 FRF kosten soll.

Wie viel ist dies in DEM?

4. Da ihr die ewige Rechnerei zu umständlich geworden ist, möchte sie sich für Italien eine kleine Tabelle anlegen, mit der sie Lira in DM umrechnen kann.

ITL 5000 10 000 15 000 20000 30000 40000 50000

DEM

a) Fülle diese Tabelle aus.

b) Welcher Art von Zuordnung liegt dieser Tabelle zugrunde?

c) Stelle diese Zuordnung graphisch dar.

d) Leite eine Faustformel zur Umrechnung von Lira in DM her.

5. Da das Geld natürlich nicht reicht, zieht Anne mit ihrer EC–Karte Geld am Automaten in Italien.

a) Zu Hause angekommen entdeckt sie auf ihren Auszügen, dass unabhängig vom gezogenen Betrag jedes Mal eine Gebühr von 2,56€ erhoben wird. Sie hatte zweimal Geld am Automaten gezogen und dabei insgesamt 600 000 ITL erhalten.

Wie viel DM sind insgesamt von ihrem Konto abgebucht worden?

b) Wäre es günstiger gewesen, wenn sie 600 000 ITL vorher in Deutschland umgetauscht hätte?

Lösungshinweise 8.5 Wechselkurse

1. 1DM=0,51113€ =3,35279FRF = 9869,69 ITL

2. Ansatz 100% entsprechen 300DM, Auszahlungsbetrag ist 97% von 300DM also 291DM. Damit ergibt sich: 291  989,99ITL = 288087,09 ITL und 2913,353854FRF

= 975,97FRF 3. 149FRF = 44,44DM

4. a) 1000ITL = 0,51645€



ITL 5000 10 000 15 000 20000 30000 40000 50000

DEM 5,05 10,10 15,15 20,20 30,30 40,40 50,50

b) proportionale Zuordnung

c) KOS mit einer Geraden, möglicher Maßstab: x-Achse 5Tausend ITL pro cm, y- Achse: 5 DM pro cm

d) Betrag in ITL / 1000 entspricht Betrag in DM

5. a) 1) 600.000ITL = 606,25DM

2) Gebühr 2 mal 2,56€ = 10,01DM also Gesamtkosten: 616,26 DM

b) nach Aufgabenteil 2) bei Tausch in Deutschland:

1) 600.000ITL = 606,05DM

2) Gebühr (3%) = 18,18DM

also Gesamtkosten: 624,23DM Damit ist die EC-Karte günstiger.

Aufgabe 8.6 Saft

Gabi möchte für eine Klassenfeier Orangensaft kaufen. Ein Händler bietet diesen in drei Verpackungsgrößen an:

1/3 1 Getränkekartons für 0,44 € 0,75 1 Glasflaschen für 0,89 € 2,5 1 Jumbopacks für 2,75 € 1. Wie viel kostet jeweils ein Liter Orangensaft?

2. Um wie viel Prozent ist die gleiche Menge Orangensaft aus den Getränkekartons teurer als der Saft aus den Glasflaschen?

3. Gabi soll 12 1 Saft kaufen! Wie viel muss sie mindestens bezahlen? (Natürlich darf Gabi auch mehr Saft kaufen, wenn sie dadurch Geld sparen kann!)

4. Wie viel muss Gabi mindestens bezahlen, wenn sie genau 12 l Saft mitbringen soll?

5. 100 ml Orangensaft enthalten 40 mg Vitamin C. Das sind 66% des Tagesbedarfs eines Schülers. Wie viele Schüler könnten ihren Tagesbedarf an Vitamin C mit 12 l Saft decken?

6. Die Grundfläche der Jumbopacks ist 10 cm breit und 12,5 cm lang. Bestimme die Höhe der Behälter!

7. Der Hersteller der Jumbopacks plant, 5 l-Behälter auf den Markt zu bringen. Dazu möchte er die Breite der Packs verdoppeln. Wie viel Prozent Verpackungsmaterial spart er im Vergleich zu zwei 2,5 l-Behältern?

Hinweis: Die Klebekanten müssen bei diesem Aufgabenteil nicht berücksichtigt werden.

Lösungshinweise 8.6 Saft

1. Literpreis = Einzelpreis / Volumen

also: Getränkekarton 1,32 € Glasflaschen 1,18666.. € Jumbopacks 1,1 € 2. 1,32 / 1,18666..  100 % - 100 %  11,2 %

3./4. 5 Jumbopacks (günstigster Literpreis) kosten 13,75 € und ergeben 12,5 l

4 Jumbopacks und 3 Glasflaschen (anstelle des 5. Jumbopacks) kosten 2,67 € und ergeben 12,25 €

ersetzt man eine Glasflasche durch zwei Getränkekartons so ergeben 4 Jumbopacks, 2 Glasflaschen und 2 Getränkekartons 12,16 l und kosten zusammen 13,66 €

Es ist weiterhin zu überprüfen, ob man mit einer Verteilung auf genau 12 l auf einen günstigeren Preis kommt! (entspricht Aufgabe 4)

Es ist sinnvoll erst einmal eine möglichst große Anzahl von 2,5 l Packs einzukalkulieren.

Bei 4 Jumbopacks werden noch 6 Getränkekartons benötigt. Diese kosten zusammen 12,64 €.

Versucht man mit den Glasflaschen und den Jumbopacks die genaue Literzahl zu erzielen, so benötigt man 3 Jumbopacks und 6 Flaschen. Diese kosten zusammen 13,59 €.

Da sich Getränkekartons und Glasflaschen nur zu 2,5 l kombinieren lassen, müsste es sich bei dem letzten Betrag um den günstigsten Preis handeln!

5. 150 ml entsprechen dem Tagesbedarf eines Schülers. Es können also 12 l / 0,15 l = 80 Schüler ihren Tagesbedarf decken.

6. h = V / G = 2500 cm³ / 125 cm² = 20 cm 7. Oberfläche eines 2,5 l Packs: 1150 cm² Oberfläche eines 5 l Packs: 1800 cm² 1800 cm² sind von 2300 cm² 78,26 %.

Er spart also 21,74 %.

Aufgabe 8.7 Fahrradtour

Die vier Freunde Klaus, Uwe, Karsten und Kalle planen eine Fahrradtour. Dabei wollen sie in den ersten 5 Tagen die folgende Strecke zurückgelegt haben:

Tage zurückgelegte Strecke

1.Tag 73 km

2. Tag 146 km

3.Tag 219km

4. Tag 292km

5. Tag 365 km

1. Trage die Zuordnung zwischen den Tagen und der zurückgelegten Strecke in ein Koordinatensystem ein.

2. Handelt es sich bei der Zuordnung um eine Funktion? Gib gegebenenfalls die zugehörige Funktionsgleichung an.

3. Welche Strecke haben sie insgesamt zurückgelegt, wenn der Tagesschnitt in den nächsten 2 Tagen beibehalten wird? Beantworte die Frage durch die Zeichnung und durch eine Rechnung

4. Bei der Planung stellt sich das Problem, dass die Brüder Klaus und Uwe erst einen Tag später losfahren können, als die anderen, da sie den 80 Geburtstag ihrer Oma nicht versäumen wollen. Aus diesem Grund nehmen sie sich vor, so lange 100 km pro Tag zu fahren, bis sie ihre Freunde einholen. Wann ist das der Fall? Löse das Problem

zeichnerisch und durch eine Rechnung.

5. Wie viele Kilometer müssten Klaus und Uwe pro Tag zurücklegen, wenn sie ihre Freunde bereits im Verlauf des dritten Tages einholen wollten?

Lösungshinweise 8.7 Fahrradtour

1.

2. Jedem Tag ist eine Strecke zugeordnet, also handelt es sich um eine Funktion, allerdings machen die Zwischenwerte auf dem gestrichelten Graphen keinen Sinn, da nicht

ununterbrochen gleichmäßig während eines Tages gefahren wird. Funktionsgleichung s1(t) = 73 t.

3. s1(6) = 438; s1(7) = 511.

Die graphische Lösung ist bei Teil a) bereits eingetragen.

4. s2(t) = 100 (t – 1) = 100 t – 100

Bedingung für des Einholen: s2(t) = s1(t), also t ≈ 3,7. Somit wird die erste Gruppe im Verlauf des 4. Tages eingeholt.

5. Die erste Gruppe hat am Ende des dritten Tages 219 km zurückgelegt. Diese Strecke muss auch die erste Gruppe mindestens am Ende des Tages zurückgelegt haben.

Funktionsgleichung s3(t) = a (t – 1).

Bedingung s3(3) = 219. Damit ergibt sich a = 109,5. Pro Tag muss die Gruppe mindestens 108,5 km zurücklegen.

Entfernung in km 500

400 300 200 100

Zeit in Tagen 1 2 3 4 5 6

Aufgabe 8.8 Roller-Scates

Ein Sportgeschäft bietet Roller - Skates zum Preis von 144 € an. Innerhalb eines Monats verkauft der Händler 995 Stück.

Laut eines Marktforschungsberichts würde das Sportgeschäft nur 815 Stück verkaufen können, wenn die Roller - Skates 189 € kosten würden. Ferner vermutet der Bericht einen linearen Zusammenhang zwischen der Zahl der verkauften Skates und dem Stückpreis 1. Ermittle den Term der Nachfragefunktion, die jedem Stückpreis die Zahl der verkauften

Skates (den Absatz) zuordnet.

2. Wie groß ist der zu erwartende Absatz bei einem Stückpreis von 100 € bzw. 200 €?

3. Bei welchem Stückpreis bleibt das Sportgeschäft auf seiner Ware sitzen?

4. Zeichne den Graphen der Nachfragefunktion und löse Aufgabenteil 1 und 3 zeichnerisch.

5. Der Einkaufspreis pro Roller-Skate beträgt 100 €. Bestimme eine Gleichung der Funktion, die der Zahl der verkauften Skates den Gewinn pro Stück zuordnet, und eine Gleichung der Funktion, die der Zahl der verkauften Skates den

Gesamtgewinn zuordnet.

6. Zeichne den Graphen der Gesamtgewinnfunktion. Lies aus dem Graphen ab, bei welcher Stückzahl der Gesamtgewinn maximal ist. Wie groß muss dann der Verkaufspreis sein?

Lösungshinweise 8.8 Roller-Scates

1. Auf dem Graphen liegen die Punkte (144/995) und (189/815). Der Term hat die Form

n p m p

z( )   . Für die Steigung m ergibt sich ^m180₄₅ ^4. Der Achsenabschnitt ergibt sich aus ^{9954144nn1571}.

Also ^{z(p)4p1571}.

2. ^{z(100)1171; z(200)771}

3. Wenn nichts verkauft wird, ist ^392,75

4 1571 1571

4 0 0 )

(p    p  p 

z

4.

5. Zunächst ist der Stückzahl der Preis zuzuordnen. Dazu muss die Gleichung aus a) nach p aufgelöst werden:

4 1571 ) 4

(  z  z

p . Von diesem Preis sind 100 Euro als Kosten zu subtrahieren:

4 1171 ) 4

(  z  z

s . Der Gesamtgewinn ergibt sich durch Multiplikation

mit der Stückzahl: z z

z

g 4

1171 ) 4

(  ²  .

6.

Der Gesamtgewinn ist bei etwa 590 Stück maximal. Dann muss der Preis

25 , 245 ) 590

( 

p Euro betragen.

Aufgabe 8.9 Taxifahrt

1. Die Taxitarife in Essen (Stand Februar 2002) gibt die folgende Tabelle wieder:

Gefahrene Strecke Tagsüber von 6h bis 22h (Normaltarif)

Nachts von 22h bis 6h (Nachttarif)

Bis 10 Kilometer 1,33 € pro Kilometer x € pro Kilometer Ab dem 11. Kilometer 1,25 € pro Kilometer 1,35 € pro Kilometer

Vor Antritt der Fahrt wird immer eine Grundgebühr von 2,-- € angesetzt, mit dieser Grundgebühr werden die Kosten der Anfahrt vom Taxistand zum Kunden berechnet.

I.Wie teuer ist vormittags eine Fahrt von 7,6 Kilometer Länge?

II. Der Zähler im Taxi springt in 0,1 € - Schritten, zum ersten Mal direkt beim Losfahren von 2 € auf 2,10 €. Wie muss also der Fahrpreis in a) gerundet werden?

III. Wie teuer ist um 13.30 h eine Fahrt von 13,8 km Länge?

IV. Eine Fahrt im Normaltarif unter 10 km Länge kostete laut Zähler 13,70 €.

Welche Strecke wurde gefahren? Warum ist das Ergebnis nicht eindeutig?

V. Eine Fahrt von genau 5 Kilometern kostet zwischen 22 Uhr und 6 Uhr exakt 9,20 €, weil nachts ein höherer Kilometerpreis als tagsüber verlangt wird. Wie hoch ist dieser?

VI. Gib die Kosten K einer Fahrt im Normaltarif bis 10 Kilometer Länge allgemein als Funktion der gefahrenen Strecke von x km an.

VII. Wie ändert sich der Funktionsterm für den Normaltarif, wenn mehr als 10 Kilometer gefahren werden?

2. In jedem Fahrpreis ist der Erlös des Taxiunternehmers und die Umsatzsteuer enthalten.

Die Umsatzsteuer muss der Taxiunternehmer an das Finanzamt abführen. Bei Fahrten bis 50 km beträgt die Umsatzsteuer 7 % des Erlöses, bei Fahrten über 50 km 16 % des Erlöses.

a) Berechne den Erlös des Taxiunternehmers nach Abführen der Steuern bei einer Fahrt von 50 Kilometern Länge im Normaltarif.

b) Ab welcher Fahrtstrecke im Normaltarif und über 50 Kilometern hat der Taxiunternehmer einen größeren Erlös als bei einer Fahrt von 50 Kilometern.

3. Der Zähler im Taxi springt in 10 Cent-Schritten.

a) Wie vielen gefahrenen Metern entspricht das im Normaltarif bis 10km?

b) Beschreibe in Worten die Funktion, mit der der Zähler arbeitet.

Lösungshinweise 8.9 Taxifahrt

1. a) K = 2 € + 7,6 · 1,33 € = 12,108 €

b) Der Fahrpreis muss immer aufgerundet werden auf volle 10 Cent.

c) K = 2 € + 10 · 1,33 € + 3,8 · 1,25 € = 20,05 € ~ 20,10 € . Die Fahrt kostet 20,10 €.

d) W = (13,70 € - 2 €) : 1,33 € ~ 8,797 ; W = (13,60 € - 2€) : 1,33€ ~ 8,722 Die Fahrstrecke beträgt höchstens 8,797 km und mindestens 8,722 km. Das Ergebnis ist nicht eindeutig, weil der Zähler in 10-Cent-Sprüngen zählt.

e) 9,20 € = 2 € + 5 · x € ↔ x € = 1,44 €

f) K(x) = 1,33x + 2,0 (es handelt sich um eine Treppenfunktion, da auf volle 10Cent gerundet wird)

g) K(x) = 2 + 13,3 + (x-10)·1,25 ↔ K(x) = 1,25x + 2,8 (Treppenfunktion) 2. a) K(50) = 2,8 + 50·1,25 = 65,3 ~ 65,30 Der Fahrpreis beträgt 65,30 €.

65,30 € ist der Prozentwert, der Prozentsatz beträgt 107%.

Also: Erlös G = 65,30 € : 1,07 ~ 61,03 €

b) ^2,8€_1,¹₁₆^{,25€x 61,03€x54,39584}

Ab einer Fahrstrecke von ungefähr 54,40 km ist der Erlös größer als bei einer Fahrt von 50 km.

3. a) 1,33 € → 1 km, also 0,1 € → 1 km : 13,3 ~ 0,0752 km Alle 75,2 m springt der Zähler um 10 Cent weiter.

b) Die Maßzahl der Fahrstrecke in km wird durch 0,0752 geteilt, das Ergebnis immer aufgerundet und mit 0,10 multipliziert. Abschließend wird noch die Maßzahl 2 der Grundgebühr addiert. Das Endergebnis ist der Fahrpreis in Euro.

Aufgabe 8.10 Kupfer und Zink

Kupfer hat eine Dichte von 8,96 3

cm

g und Zink eine von ^7,14cm3^.

g

1. Wie viel wiegt eine 10 cm breite und 5 m lange Kupferstange mit quadratischem Querschnitt?

2. Eine Zinkstange hat die gleichen Abmessungen wie die Kupferstange. Um wie viel Prozent ist sie leichter?

3. Die Kupferstange soll zu einer soll zu einer 10 cm breiten und 0,1 mm dicken Folie ausgewalzt werden. Wie lang wird diese Folie?

4. Stelle den Zusammenhang zwischen Dicke und Länge der Folie graphisch dar.

5. Eine 3 m² große Kupferplatte hat die Masse von 540 kg. Wie dick ist diese Platte?

6. Wie dick ist eine Zinkplatte gleicher Masse und mit gleicher Grundfläche?

7. Messing ist eine Legierung von Kupfer und Zink im Verhältnis 2 : 3. Welche Dichte hat diese Legierung?

8. In einer Kiste befinden sich Kupfer- und Zinkkugeln. Alle Kugeln haben ein Volumen von 2,5 cm³. Es sind dreimal so viel Kupferkugeln wie Zinkkugeln in der Kiste enthalten. Die Kugeln in der Kiste haben eine Masse von 1531 g. Wie viel Kugeln sind in der Kiste enthalten?

Lösungshinweise 8.10 Kupfer und Zink

1. V = 50000 cm³ m = 448 kg

2. Es sind mehrere Lösungsansätze denkbar.

Eine einfache Lösung ist durch das Verwenden der Dichte möglich!

20,2 %;

3. Mehrere Lösungen sind denkbar. Eine einfache wäre das Verwenden der umgekehrten Proportionalität. Da die Folie nur ein Hunderstel der Dicke der Stange haben soll, muss sie 100 mal so lang sein.

l = 500 m 4.

0 50 100 150 200 250

10 9,25 8,5

7,75 7

6,25 5,5

4,75 4

3,25 2,5

1,75 1

0,25 Dicke in cm

Länge in m

5. V  60268 cm³ d  2 cm

6. Analog zur Aufgabe 2 sind hier wiederum mehrere Lösungswege denkbar.

d  2,5 cm

7. Möglicher Ansatz: 5 cm³ der Legierung haben eine Masse von 28,96 g + 37,14 g = 39,34 g.

868 3

,

7 cm

 g



8. 3 Kupfer- und 1 Zinkkugel haben eine Masse von 85,05 g.

Es befinden sich also 418 = 72 Kugeln im Behälter.

Aufgabe 8.11 Werkstück

Gegeben sei folgendes Werkstück aus Aluminium:

5 cm

3 cm

7 cm

3 cm

(Zeichnungen nicht maßstabsgetreu)

5 cm

1. Berechne sein Volumen! – Nimm die Maße aus der Zeichnung.

2. Wie groß ist die Masse des Werkstücks, wenn 1 dm³ Aluminium 2,70 kg wiegt?

3. Das gesamte Werkstück soll mit Emaillefarbe überzogen werden. Man benötigt 15 g Emaillefarbe pro 1 dm² Fläche. Wieviel Gramm Farbe werden benötigt?

4. Die Firma Metallguss stellt die obigen Werkstücke her zu einem Preis von 225 € je 50 Stück. Bei der Abnahme von mindestens 500 Werkstücken wird ein Rabatt von 15 % gewährt. Was muss man bezahlen, wenn man 700 Werkstücke bestellt?

5. Ab dem wievielten Werkstück ist es billiger gleich 500 Stück zu kaufen?

6. Die tschechische Firma „Robometal“ versucht die Werkstücke für ihre eigenen Zwecke herzustellen. Für die Herstellung der Gussformen entstehen Kosten in Höhe von

380 000 CZK. Aufgrund der geringeren Nebenkosten kann die tschechische Firma das Werkstück dann zu 8 000 CZK je 200 Stück herstellen. Ab welcher Stückzahl ist es für das Unternehmen rentabel die Werkstücke selbst zu produzieren?

7. Das tschechische Werk hat aber nur einen eigenen Bedarf von 2 000 der Werkstücke.

Die Firma erfährt über Internetrecherchen, dass ein Unternehmen in Wales ebenfalls diese Werkstücke benötigt. Das Unternehmen gibt an, dass es eventuell an einer Lieferung von 3 000 Stück interessiert wäre, wenn „der Preis stimmt“.

Innerhalb welcher Preisspanne müsste der tschechische Betrieb ein Angebot unter- breiten, damit es zu einem Vertragsabschluss kommen kann?

Anhang:

Umrechnungstabelle:

1 € entspricht

Australien 1,6198 AUD

Deutschland 1,95583 DM

Großbritannien 0,6060 GBP

Norwegen 8,0809 NOK

Polen 3,8473 PLZ

Schweiz 1,5040 CHF

Slowakei 43,1590 SKK

Tschechische Republik 34,7090 CZK

Lösungshinweise 8.11 Werkstück:

1. Berechne sein Volumen! – Nimm die Maße aus der Zeichnung.

Quader: VQ = l·b·h = 5 cm · 5 cm · 7 cm = 175 cm³

Prisma: VP = G·h = ½·g·hD·h = ½ · 3 cm · 3 cm · 7cm = 31,5 cm³ Gesamt: V = VQ – VP = 175 cm³ – 31,5 cm³ = 143,5 cm³

2. Wie groß ist die Masse des Werkstücks, wenn 1 dm³ Aluminium 2,70 kg wiegen?

Umrechnung: 1 cm³ = 0,001 dm³  143,5 cm³ = 0,1435 dm³ Masse : m = ·V = 2,70 ^kg/dm³·0,1435 dm³ = 0,387 kg

3. Da das Werkstück mit Emaillefarbe überzogen werden soll, muss als nächstes seine gesamte Oberfläche berechnet werden!

Oberfläche Quader: OQ = 2·(l·b + l·h + b·h) =

= 2 · (5 cm · 5cm + 5 cm · 7 cm + 5 cm · 7cm) = = 190 cm²

Mantelfläche Prisma: MP = 2·s·h + g·h =

= 2 · 3,354 cm · 7 cm + 3 cm · 7 cm = = 67,956 cm²

Deckflächen Prisma: DP = 2·½·g·hD =

= 2 · ½ · 3 cm · 3 cm =

= 9 cm ²

Oberfläche Gesamt: O = OQ + MP – DP =

= 190 cm² + 67,956 cm² – 9cm² = = 248,956 cm²

Umrechnung: 1 cm² = 0,01 dm²  248,956 cm² = 2,48956 dm² 2,490 dm²·15 ^g/dm² = 37,35 g

4. 700 : 50 = 14

Kosten: 225,-- € · 14 · 0,85 = 2677,50 € 5. 500 · 0,85 = 425

D.h. bei einem Rabatt von 15 % kosten 500 Stück mit Rabatt genauso viel wie 425 Stück ohne Rabatt. Also ist es ab dem 426 Stück billiger gleich 500 Stück zu kaufen.

6. 380000 CZK = 10948,17 € 8000 CZK = 230,49 €

x : Anzahl der Gebinde zu 200 Werkstücken 10948,17 € + x · 230,49 € = x · 4 · 225,-- €

10948,17 € = x · (4 · 225,-- € – 230,49 €)

16,353 = x

16,353 · 200 = 3271 Werkstücke, ab hier rentabel 7. Preis Firma Metallguss:3000 : 50 · 225,-- € = 13500,-- €

Kosten der Firma Robometal : 3/5 · (10948,17 € + 5000 : 200 · 230,49 €) = 10023,25 € Das Angebot muss also über dem Selbstkostenpreis von 10023,23 € und unter dem Konkurrenzangebot 13500,-- € liegen.

Aufgabe 8.12 Garten

Familie Schneider plant die Neuanlage ihres Gartenbereichs. Die unten stehende Zeichnung¹ verdeutlicht, wie sie sich das Ergebnis gedacht hat.

Bei der Planung wurden folgende Punkte aufgestellt, die einzeln zu berücksichtigen sind:

- Bau der Wasserbecken - Anlage des Kiesweges - Bau der Terrasse

- Bepflanzung der Grünflächen.

Für jeden einzelnen Punkt wurde nun eine eigene Kalkulation aufgestellt, wobei die reine Arbeit nicht mitgerechnet werden soll, denn diese will Familie Schneider ja selber erledigen.

1. Bau der Wasserbecken

Um die Wasserbecken anzulegen, müssen für die Berechnung der entstehenden Kosten folgende Punkte berücksichtigt werden:

a) Um welche geometrische Form handelt es sich bei den Grundflächen der Wasser- becken?

b) Wie groß ist die Grundfläche der beiden Wasserbecken zusammen?

1 Die Zeichnung zu dieser Aufgabe wurde dem Band „Zahlen und Größen, Mathematik Gesamtschule, Klasse 8“, Cornelsen Verlag entnommen.

c) Die Becken sollen 1,30 m tief ausgeschachtet werden. Wie viel m³ Erde müssen ausgehoben werden?

d) Wie schwer ist der Aushub, wenn 1 m³ Erde 1800 kg wiegt?

e) Wie viele LKW-Ladungen (Nutzlast pro LKW 7,5 t) sind das ?

f) Die Fahrt eines LKW`s kostet inklusive Miete und Deponiegebühren 40 €. Wie teuer ist die Abfuhr des Aushubs?

g) Für den eigentlichen Bau der Wasserbecken werden u.a. Beton, Mauersteine, Fliesen, Sand, Kies und Zement benötigt. Dabei muss man für 1m³ der Wasserbecken mit Kosten von 28 € rechnen. Wie teuer ist der Bau der beiden Wasserbecken?

h) Berücksichtigt man die Wandstärke der Wasserbecken, so haben die beiden Becken zusammen die Fläche von 25 m². In den Becken sind insgesamt 27500 l Wasser. Das Wasser steht in beiden Becken gleich hoch. Berechne die Wassertiefe!

i) Was kostet die Wasserfüllung, wenn man von einem Preis von 2,60 € pro 1 m³ Wasser ausgeht?

j) Familie Schneider hat für den Bau der Wasserbecken 1600 € eingeplant. Kommt sie damit hin?

2. Anlage des Kiesweges

Um den Kiesweg anzulegen, müssen für die Berechnung der entstehenden Kosten folgende Punkte berücksichtigt werden:

a) Der Kiesweg hat eine Fläche von 9,5 m². Begründe dies!

b) Für den Weg wird die Erde 12 cm tief abgetragen. Wie viel Aushub ist dies?

c) Die Kiesmenge muss 11 % größer sein als der Aushub. Wie viel Kies benötigt man?

d) 1 m³ Kies kostet 17,90 €. Familie Schneider bekommt einen Barzahlerrabatt von 2,5 % eingeräumt. Wie hoch ist die Rechnung des Baustoffhändlers?

3. Bau der Terrasse

Um die Terrasse anzulegen, müssen für die Berechnung der entstehenden Kosten folgende Punkte berücksichtigt werden:

a) Wie viel m² Terrasse müssen angelegt werden?

b) Für die Terrasse wird die Erde 10 cm tief abgetragen. Wie viel Aushub ist dies?

c) Die Steine sollen in einem 7 cm tiefen Sandbett verlegt werden. Wie viel m³ Sand wird benötigt?

d) 1 m² Terrassensteine kostet 7,50 € und 1 m³ Sand 14,50 €. Berechne die Kosten für Steine und Sand!

4. Bepflanzung der Grünflächen

Für die Bepflanzung der Grünflächen ist zu berücksichtigen:

a) Wie viel m² Grünfläche muss bepflanzt werden?

b) Auf der gesamten Fläche soll Rasen eingesät werden. Grassamen kosten pro 1m² 0,16 €. Berechne die Kosten für die Raseneinsaat insgesamt.

c) Für die Bepflanzung kauft die Familie Schneider drei Koniferen zu je 9 €, zwei Forsythien zu je 5 €, einen Apfelbaum zu einem Stückpreis von 16 €, vier

Rosenstöcke zu je 3 €, zwei Packungen Tulpenzwiebeln zu je 2,20 €, drei Packungen Krokuszwiebeln zu einem Packungspreis von 2,50 € und zwei Packungen Narzissenzwiebeln zu je 2,20 €. Wie teuer sind die Pflanzen insgesamt?

Lösungshinweise 8.12 Garten

1.

a) Die beiden Grundflächen haben jeweils die Form eines Trapezes.

b) Es ist die Fläche eines Rechtecks (die „zusammengeschobenen“ Trapeze) zu bestimmen: 6m  5,5m = 33m²

c) 33m²  1,30m = 42,90m³ d) 42,90m³1800kg = 77220kg

e) 77,22t : 7,5t = 11 (LKW-Ladungen) d) 11  40€ = 440€

e) 42,9m²  28€ = 1201,2€

f) Umrechnung: 25m² = 2500dm² ; Rechnung: Höhe  Flächen = 27500dm³ Also: Höhe  2500dm² = 27500dm³  1,1m = Wasserhöhe

g) Umrechnung: 1m³ = 1000 l , also 27,5m³ = 27500 l; Rechnung: 27,5m³  2,60€ = 71,50€

h) 440€ + 1201,2€ + 71,50€ = 1712,70€; Antwort: nein

2. a) Die Fläche des Kiesweges wird in drei Teilflächen zerlegt und die Größenangaben werden aus der Zeichnung abgelesen. Erste Teilfläche, links von den Becken:

2,5m  1m = 2,5m²

Zweite Teilfläche, Fläche zwischen den Wasserbecken: Fläche der beiden Becken mit dem dazwischenliegendem Weg minus der Fläche der beiden Becken

(berechnet in 1b). Lösung: 5,5m²

Dritte Teilfläche, rechts von den Becken: 1,5m  1m = 1,5m²; Summe der Teilflächen: 9,5m²

b) 9,5m²  12cm = 9,5m²  0,12m = 1,14m³ Aushub c) 1,14m³  1,11 = 1,2654m³ Kies

d) 1,2654m³  17,90€ = 22,65€ ; 22,65€  0,975 = 22,08€

3 a) Die Terrassenfläche wird in zwei Teilflächen zerlegt:

Erste Teilfläche (links): 2,5m  3m = 7,5m;

Zweite Teilfläche (rechts): 7,5m  3m = 22,5m² Terrassenfläche insgesamt: 30m²

b) 30m²  10cm = 30m²  0,1m = 3m³ Aushub c) 30m²  7cm = 30m²  0,07m = 2,1m³ Sand d) 30m²  7,50€ = 225€ für die Terrassensteine

2,1m³  14,50€ = 30,45€ für den Sand; Gesamtkosten für Steine und Sand:

255,45€

4 a) Die Grünfläche berechnet sich aus der Differenz der Gartenfläche und der Fläche der Becken, des Weges und der Terrasse. 9,5m  11m = 104,5m² Gartenfläche insgesamt.

104,5m² - 33m² (Wasserbecken, 1b)) – 9,5m² (Kiesweg, 2a)) – 30m² (Terrasse, 3a)) = 32m²

b) 32m²  0,16€ = 5,12€ Kosten für die Raseneinsaat

c) 3  9€ + 2  5€ + 1  16€ + 4  3€ + 2  2,2€ + 3  2,50€ + 2  2,2€ = 81,30€

Aufgabe 8.13 Frostschutzmittel

Frostschutzmittel hat eine Dichte von 1,11 g/ml.

1. Wie viel wiegt die Füllung einer 3-Liter-Flasche Frostschutzmittel?

2. In den Kühler eines Autos werden 3 Liter Wasser und 1 Liter Frostschutzmittel geschüttet. Welche Dichte hat die Mischung?

3. Die Kühlflüssigkeit in einem Auto hat eine Dichte von 1,04 g/ml. Welcher Anteil an Frostschutzmittel ist in der Flüssigkeit enthalten?

4. Auf der Flasche ist folgende Tabelle enthalten:

Konzentration des Frostschutzmitt

els

Schutz bis zur Temperatur von

35% -20 °C

40% -25 °C

45% -30 °C

Bis zu welcher Temperatur ist der Kühler geschützt?

Lösungshinweise 8.13 Frostschutzmittel

1. ^{m3000ml1,11}_ml^{g 3330g 03,33kg}

2. Gesamtmasse der Mischung 4,11 kg; Volumen 4 l; Dichte

ml g l

kg l

kg 1,0275 1,0275 4

11 ,

4  

3. Das Gesamtvolumen sei v, das Volumen des Frostschutzmittels f. Das Volumen des Wassers ist dann m – f. Für die Dichte gilt somit:

m f

m m f

m f ml

g m

ml f g ml m

f g

3636 , 0 04

, 0 11 , 0 04 , 11 1

, 04 0

, 1 1

) ( 11 , 1









 











 .

Der Anteil an Frostschutzmittel beträgt rund 36%.

4. Aus der Tabelle ist zu sehen, dass eine Erhöhung der Konzentration um 1% einen zusätzlichen Schutz um 1°C ergibt. Somit ist der Kühler bis zu einer Temperatur von – 21°C geschützt.

Aufgabe 8.14 Computerladen

1. Der Inhaber des Computerladens „Die Computermaus“ zahlt im Monat 850 € Miete für seinen Laden. Für Heizung und Strom werden ihm jährlich 1260 € berechnet. Sein Verkäufer kostet ihn monatlich 1570 €.

Wie hoch sind die monatlichen Fixkosten?

2. Für eine Lieferung von 25 P IV Computern muss er 13875 € an den Großhändler bezahlen. Damit er seine Kosten zurückerhält, rechnet er jedem Computer 4 % seiner monatlichen Fixkosten hinzu. So erhält er den Selbstkostenpreis.

Danach kalkuliert er zum Selbstkostenpreis noch 25 % Gewinn hinzu. Seine Kunden müssen außerdem noch 16 % MwSt. mitbezahlen.

a) Wie viel Euro (€) muss ein Kunde für einen Computer P IV bezahlen?

b) Der Laden bietet ein anderes Computermodell für 761,25 € an.

Welchen Einkaufspreis hat der Inhaber des Computerladens „Die Computermaus“ an den Großhändler bezahlt, wenn seine Kalkulation entsprechend war?

3. Schräg gegenüber von dem Computerladen eröffnet das Geschäft „Multi Media Corner“, das gleiche Computermodell (wie in 2b)) für 730,80 € anbietet.

Um wie viel Prozent ist der Computer billiger als in dem Geschäft

„Die Computermaus“?

4. Auch der Inhaber des Computerladens „Multi Media Corner“ möchte natürlich Geld verdienen. Überlege dir Gründe, warum der Computer in diesem Geschäft billiger angeboten werden kann als in dem ersten Geschäft.

Lösungshinweise 8.14 Computerladen

1.

850€ + 1260€ : 12 + 1570€ = 2525€ monatliche Fixkosten.

2.

a) 13875€ : 25 = 555€ (Preis für 1 Computer vom Großhändler) 4% von 2525€ (mtl. Fixkosten) = 101€

555€ + 101€ = 656€ (Selbstkostenpreis) 25% von 656€ + 656€ = 820€ (Netto-Preis) 16% von 820€ + 820€ = 951,20€ (Brutto-Preis)

b) 761,25€ : 1,16 = 656,25€; 656,25€ : 1,25 = 525€; 525 – 101€ = 424€

3.

94 , 25 0 , 761

80 ,

730  . Also: der Computer ist um 4% günstiger.

4.

Mögliche Gründe

- es ist kein Verkäufer eingestellt bzw. der Verkäufer erhält einen geringeren Lohn

- der Einkaufspreis beim Großhändler ist geringer, da z.B. der Inhaber des Geschäftes Multi-Media-Corner eine größere Stückzahl an Computern beim Großhändler einkauft und er deshalb einen größeren Mengenrabatt erhält

- die Miete des Ladens ist geringer

- der Gewinn wird geringer angesetzt (< 25%) - ...

Aufgabe 8.15 Herzvolumen

Das menschliche Herz hat im allgemeinen ein Schlagvolumen von 70 cm³, bei ruhigen

Beschäftigungen schlägt es in der Minute 70 mal (Ruhepuls), bei großer Anstrengung 200 mal (Belastungspuls) .

1. Wie viel Liter Blut hat dein Herz in einer Stunde gepumpt, wenn du dich 20 Minuten ausgeruht und danach 40 Minuten intensiv Sport getrieben hast. Schreibe die Rechnung auch als einen Term!

2. Wie viel Liter Blut befördert ein normales Herz in 70 Jahren. Gehe dabei von durchschnittlich 80 Schlägen pro Minute aus. Vergleiche die Blutmenge mit einer Größe aus dem Alltag, z.B. mit Tanklastzügen, die 40000 l fassen und 10 m lang sind!

3. a) Erläutere den folgenden Term: y7070x20060x70, wobei y die in einer Stunde gepumpte Blutmenge ist!

b) Vereinfache den Term!

c) Zeichne den Graphen in einem sinnvollen Definitionsbereich!

4. Stelle einen Term für die Anzahl der Herzschläge pro Stunde auf!

Lösungshinweise 8.15 Herzvolumen

1. V = 70 · 20 · 70 cm³ + 200 · 40 · 70 cm³ = 658000 cm³ = 658 l

2. V = 70 cm³ · 80 · 60 · 24 · 365 · 70 = 2,060352 · 1011 cm³ = 206035200 l Anzahl der Tanklastzüge: 206035200 : 40000 = 5150,88 ~ 5151

Es wären 5151 Tanklastzüge mit einem Fassungsvermögen von 40000 l nötig. Sie würden einen Konvoi von 51,51 km Länge bilden.

3. a) Die in einer Stunde gepumpte Blutmenge addiert sich aus der Blutmenge bei

Ruhepuls und der bei Belastungspuls. x ist die Ruhezeit mit einem Puls von 70 Schlägen pro Minute, 60 – x ist die Zeit mit 200 Herzschlägen pro Minute, also die Zeit mit Belastungspuls. Zusätzlich muss jeweils noch das Schlagvolumen von 70 (cm³) multipliziert werden.

b) Vh(x) = 4900x + (12000 – 200x) · 70 Vh(x) = – 9100x + 840000

c)

Sinnvoller Definitionsbereich: 0 ≤ x ≤ 60 4. f : y = 70x + 200·(60 – x) = – 130x + 12000

Aufgabe 8.16 Wasservorräte

Auf der Erde gibt es 38 028 000 km³ Wasser, welches nicht Meerwasser ist. Das sind etwa 2,8 % der gesamten Wasservorräte der Erde. Es teilt sich auf in 13 000 km³ Wasser in der Atmosphäre (Niederschläge, Wolken), 27 820 000 km³ Polar-, Meer- und Gletschereis, 233 000 km³ Oberflächenwasser (Bäche, Flüsse, Seen) und 8 595 000 km³ Grundwasser. Zur Trinkwassergewinnung sind nur das Oberflächenwasser und das Grundwasser nutzbar.

1. Wie groß ist die Gesamtwassermenge der Erde?

2. Ein Schwimmbecken ist 50 m lang, 4 m tief und 12 m breit.

a) Wie viel Liter passen in dieses Schwimmbecken?

b) Wie viele Schwimmbecken könnte man mit dem Wasser der Atmosphäre füllen?

3. Wie groß ist der für Trinkwassergewinnung nutzbare Anteil am Süßwasservorrat?

4. Entwirf ein Diagramm, das möglichst anschaulich die Wasservorräte der Erde zeigt!

Lösungshinweise 8.16 Wasservorräte

1. 2,8% → 38028000 km³ ; 100% → 1358142857 km³ 2. Volumen des Schwimmbeckens: 2400 m³ = 0,0000024 km³

13000 : 0,0000024 = 5416666667 , d.h. ca. 5,42 Milliarden Schwimmbecken können gefüllt werden.

3. Die Trinkwassermenge beträgt 8828000 km³ Wasser.

Der Anteil des Trinkwassers am gesamten Süßwasservorkommen ist ca. 23,2%.

4. Kreisdiagramm

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Aufgabe 8.17 Küchenkauf

1. Familie Maier möchte eine neue Küche kaufen, die im Januar geliefert werden soll. Der Preis beträgt insgesamt 7850 €. Für die Finanzierung hat sie mehrere Möglichkeiten.

a) Das Küchenstudio bietet eine Hausfinanzierung über eine Laufzeit von drei Jahren an. Dabei beträgt der jährliche Zins 7,5 % des vollen Kaufpreises der Küche, hinzu kommt eine einmalige Bearbeitungsgebühr von 1,5 %.

Wie hoch sind die Gesamtkosten? Welche monatliche Rate ergibt sich für Familie Maier?

b) Die Bank bietet einen Sparvertrag über drei Jahre an. Familie Maier zahlt monatlich 200 € ein, die Bank verzinst am Ende des Jahres den angesparten Betrag mit 4,25 %.

Welche Summe erhält Familie Maier am Ende der drei Jahre? Rechne hier mit Zinseszins und fülle die Tabelle aus.

Kontostand am

Jahresbeginn Einzahlungen Zinsen Kontostand am Ende des Jahres 1. Jahr

2. Jahr 3. Jahr

2. Bei der Möglichkeit (b) kann die Familie Maier die Küche erst in drei Jahren kaufen.

Wie teuer ist die Küche dann, wenn die Teuerungsrate 2,3 % pro Jahr beträgt, man bei Barzahlung aber 8 % Rabatt erhält.

3. Während die Familie überlegt und rechnet, welche Möglichkeit der Finanzierung (a) oder (b) sie machen möchte, kommt die Tochter mit folgender Anzeige:

„Wenn wir jetzt nur noch alle unsere Ersparnisse nehmen, können wir die Küche doch sofort kaufen.“

Herr Maier rechnet und sagt: „Bei dem Prozentsatz mache ich nicht mit, das ist doch Wucher!!!“

Begründe seine Aussage.