Orthogonale Vektoren und Funktionen
Orthogonal- und Orthonormalsysteme
~v1 =
1 2
−2
~v2 =
14
−5 2
~v3 =
2 10 11
Alle drei Vektoren stehen paarweise senkrecht zueinander, denn
~vi ·~vj = 0 f¨ur allei, j ∈ {1,2,3} mit i6=j
Eine Menge paarweise orthogonaler Vektoren wird Orthogonalsystem genannt.
Haben die Vektoren zudem alle die L¨ange 1, so handelt es sich um eineOrthonormalsystem.
Falls das Orthogonalsystem ausnVektoren des Vektorraums Rn besteht, spricht man von einer Orthogonalbasis. Bei einem Orthonormalsystem entsprechend von einer Orthonor- malbasis.
L¨osen von Gleichungen in Orthogonalsystemen Eine Gleichung der Form
a1~v1+a2~v2+a3~v3 =w~
l¨asst sich in einer Orthogonalbasis ¨ausserst einfach nach a1, a2 und a3 l¨osen, indem man es einzeln mit den Vektoren der Basis multipliziert:
~v1·[a1~v1+a2~v2+a3~v3] =~v1·w~ a1~v1·~v1+a2~v2·~v1
| {z }
0
+a3~v3·~v1
| {z }
0
=~v1·w~
a1 = ~v1 ·w~
~v1·~v1 Analog:
a2 = ~v2·w~
~v2·~v2 und a3 = ~v3·w~
~v3·~v3 Aufgabe 1
Gegeben eine Orthgonalbasis in R4:
~v1 =
13
−4 6
−2
~v2 =
34 98
−12
−11
~ v3 =
−38 14 69
−68
~v4 =
−4 7 22 26
Bestimme die L¨osung der Gleichung:
a1~v1+a2~v2 +a3~v3+a4~v4 =
−1 0 1 0
.
1
Auch Funktionen sind Vektoren
Die Legendre-Polynome sind wie folgt definiert:
P0(x) = 1 P1(x) = x P2(x) = 1
2(3x2−1) . . .
explizit: Pn(x) = 1 2n
bn/2c
X
j=0
(−1)j (2n−2j)!
j!(n−j)!(n−2j)!xn−2j mit n= 0, 1, 2, . . .
rekursiv: (n+ 1)Pn+1(x) = (2n+ 1)xPn(x)−nPn−1(x) mit P0(x) = 1 und P1(x) = x
Skalarprodukt f¨ur Funktionen
Im Fall der Legendre-Polynome definiert man das Skalarprodukt von jeweils zwei solcher Polynome durch
Pi(x), Pj(x)
= Z 1
−1
Pi(x)·Pj(x) dx Es l¨asst sich allgemein zeigen, dass
Pi(x), Pj(x)
= 0, falls i6=j. Beispiel
L¨ose die Gleichung
p(x) =a0P0(x) +a1P1(x) +a2P2(x) f¨ur p(x) = x2+ 5x−2
(a) Skalarprodukt mit P0(x) = 1 Z 1
−1
P0(x)p(x) dx= Z 1
−1
P0(x)
a0P0(x) +a1P1(x) +a2P2(x) dx Z 1
−1
P0(x)p(x) dx=a0
Z 1
−1
P0(x)P0(x) dx+a1
Z 1
−1
P0(x)P1(x) dx
| {z }
0
+a2 Z 1
−1
P0(x)P2(x) dx
| {z }
0
2
Z 1
−1
1·(x2 + 5x−2) dx=a0 Z 1
−1
1·1 dx
−10 3 = 2a1 a0 =−5 3 (b) Skalarprodukt mit P1(x) = x Z 1
−1
P1(x)·p(x) dx=a1 Z 1
−1
P1(x)·P1(x) dx Z 1
−1
x(x2+ 5x−2) dx=a1 Z 1
−1
x2dx 10
3 = 2 3a1
a1 = 5
(c) Skalarprodukt mit P2(x) = 12(x2−1) Z 1
−1
P2(x)·p(x) dx=a2 Z 1
−1
P2(x)·P2(x) dx Z 1
−1
1
2(x2−1)(x2+ 5x−2) dx=a2 Z 1
−1
1
4(x2−1)2dx 4
15 = 2 5a2 a2 = 2
3 Insgesamt:
x2+ 5x−2 = −5
3+ 5x+ 2
3(x2−1)
3
Die axiomatische Festlegung des Skalarprodukts (kein Pr¨ufungsstoff )
EinSkalarproduktoderinneres Produktauf einem reellen VektorraumV ist eine Abbildung h·,·i: V ×V →R, die f¨urx, y, z ∈V und λ ∈Rfolgende Eigenschaften hat:
1. bilinear, d. h. linear in jedem der beiden Argumente:
• hx+y, zi=hx, zi+hy, zi
• hx, y+zi=hx, yi+hx, zi
• hλx, yi=λhx, yi
• hx, λyi=λhx, yi 2. symmetrisch:
• hx, yi=hy, xi 3. positiv definit:
• hx, xi ≥0
• hx, xi= 0 genau dann, wenn x= 0
4
