Es seien B

SS 2004

Prof.Dr. G. Nebe

Andreas Martin Blatt 7

Ubungen zur Linearen Algebra¨ Abgabe : Dienstag, 8.6.2004, vor den ¨Ubungen 1. Es seien

B :=







 3 3 1



,



 2 1 1



,



 3 2 1







, C :=

3 1

,

5 2

,

E⁽³⁾ :=







 1 0 0



,



 0 1 0



,



 0 0 1







, E⁽²⁾ :=

1 0

,

0 1

,

ϕ:R³ →R³,



 x₁ x₂ x₃



7→





x₁−x₃ 2x1+x₂ 4x2+x₃



,

ψ :R³ →R²,



 x₁ x₂ x₃



7→

x₁+x₂ + 7x3

2x2+x₃

.

(i) Zeigen Sie, daß B eine Basis des R³ und C eine Basis des R² ist.

(ii) Zeigen Sie, daß ϕ und ψ lineare Abbildungen sind.

(iii) Bestimmen Sie die Matrizen^E(3)ϕ^B, ^E(2)ψ^E(3), ^Bid_R^E3⁽³⁾, ^Cid_R^E2⁽²⁾ und

C(ψ◦ϕ)^B.

(iv) Es seiX ∈R³ mit ^BX =



 2 3 1



. Bestimmen Sie ψ(ϕ(x)).

(v) Bestimmen Sie ^B(ϕ⁻¹)^E(3).

(vi) Bestimmen Sie die Dualbasen B^∗ von (R³)^∗ und C^∗ von (R²)^∗. (vii) Es sei τ ∈ (R²)^∗ mit ^C∗τ =

3 2

. Bestimmen Sie ^E(3)∗(ψ^tr)^C∗ und τ ◦ψ.

(1+1+2+2+2+2+2 P.) 2. Es seien U₁, U₂ Unterr¨aume eines K-Vektorraums V. Zeigen Sie.

(i) (U1+U₂)^⊥ =U₁^⊥∩U₂^⊥.

(ii) Ist dimV <∞, so gilt (U1∩U₂)^⊥ =U₁^⊥+U₂^⊥.

(je 3 P.)

3. Es sei V ein K-Vektorraum. F¨ur jedes x ∈ V sei ev^x : V^∗ → K definiert durch evx(ϕ) := ϕ(x) f¨ur alle ϕ∈V^∗. Zeigen Sie.

(i) Die Abbildung ev :V →(V^∗)^∗, x7→evx ist ein Homomorphismus.

(ii) Ist dimV <∞, so ist ev ein Isomorphismus.

(je 3 P.) Die ¨Ubungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse:

www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/nebe/Vorl/la

Tutoriumsaufgaben:

1. (i) Zeigen Sie, daß B := (1, η, η²) und C := (η, η³, η⁵) Basen von F8 ¨uber F2 sind, wobei η∈F8 mit 1 +η+η³ = 0.

(ii) Zeigen Sie, daß die Abbildungϕ :F8 →F8, x7→x⁴ ein Isomorphismus ist.

(iii) Bestimmen Sie die Matrizen ^Cϕ^B und ^B(ϕ⁻¹)^C. (iv) Bestimmen Sie die Dualbasen B^∗ und C^∗ von (F8)^∗.

2. Es seien α : V → W und β : U → V lineare Abbildungen zwischen K- Vektorr¨aumen. Zeigen Sie, daß (α◦β)^tr =β^tr◦α^tr.