 by Daniel Arnold

(1)

 by Daniel Arnold

Mechanik und Festigkeit

1 MECHANIK UND FESTIGKEIT ...2

1.1 S

CHWERPUNKT

...2

1.1.1 Schwerpunkt ... 2

1.1.2 Tabellenberechnung... 2

1.2 F

LÄCHENTRÄGHEITSMOMENT

...2

1.2.1 Flächenträgheitsmoment... 2

1.2.1.1 Axiale Flächenträgheitsmomente ... 2

1.2.1.2 Deviationsmoment... 3

1.2.1.3 Polares Trägheitsmoment ... 3

1.2.2 Trägheitsradien ... 3

1.2.3 Parallele Koordinatenverschiebung ... 3

1.2.3.1 Falls eine Schwerpunktachse (y,z) gleich Symmetrieachse... 3

1.2.4 Drehung des Koordinatensystems um den Schwerpunkt... 3

1.2.4.1 Achsen ... 3

1.2.4.2 Flächenträgheitsmomente ... 3

1.2.5 Widerstandsmomente ... 3

1.3 H

OOKSCHES

G

ESETZ

...4

1.3.1 Für Normalspannungen ... 4

1.3.2 Für Schubspannungen... 4

1.4 B

IEGUNG

...4

1.4.1 Gerade Biegung ... 4

1.4.1.1 Reine Biegung ... 4

1.4.1.2 Biegespannung... 4

1.4.2 Schiefe oder allgemeine Biegung ... 4

1.4.2.1 Nulllinie ... 4

1.4.3 Direkte Methode ... 5

1.4.3.1 Biegespannungen... 5

1.4.3.2 Lage der Neutralachse ... 5

1.5 K

OMBINIERTE

B

EANSPRUCHUNG VON

B

ALKEN

...6

1.5.1 Biegung und Normalkraft ... 6

1.5.2 Schub und Torsion... 6

1.5.2.1 Im Kreisquerschnitt ... 6

1.5.3 Biegung und Schub... 6

1.5.3.1 Gestaltänderungshypothese ... 6

1.5.4 Biegung mit Torsion ... 6

1.5.4.1 Widerstandsmoment des Kreises gegen Biegung ... 6

1.5.4.2 Widerstandsmoment des Kreises gegen Torsion ... 6

1.5.4.3 Vergleichsmoment... 6

1.5.4.4 Vergleichsspannung... 6

1.5.4.5 Erforderlicher Wellendurchmesser ... 6

1.5.4.6 Berechnung der Zahnkräfte ... 7

1.6 S

CHUB BEI

Q

UERKRAFTBIEGUNG

...7

1.6.1 Querkraft – Moment – Abhängigkeit... 7

1.6.2 Schubspannung... 7

1.6.2.1 Mittlere Schubspannung ... 7

1.6.2.2 Örtliche Schubspannungen (Bisquitformel) ... 7

1.6.3 Statisches Moment... 7

1.6.3.1 Beim Rechteckquerschnitt ... 7

1.6.3.2 Beim Kreisquerschnitt ... 7

1.6.4 Schubfluss... 7

1.6.5 Schub in dünnwandigen Profilen... 8

1.6.5.1 Schubmittelpunkt... 8

1.6.6 Schubbeanspruchung von Verbindungselementen ... 8

1.6.6.1 Geschweisst ... 8

1.6.6.2 Genietet... 8

1.7 K

NICKBEANSPRUCHUNG

...9

1.7.1 Eulerknicken... 9

1.7.1.1 Spannung bei Knickkraft ... 9

1.7.1.2 Minimales Trägheitsmoment ... 9

1.7.1.3 Schlankheitsgrad (geometrische Grösse) ... 9

1.7.1.4 Eulerhyperbel... 9

1.7.2 Unelastische Knickung nach Tetmajer ... 9

1.7.2.1 Johnson-Parabel... 10

1.7.3 Dimensionierung ... 10

1 Mechanik und Festigkeit

1.1 Schwerpunkt 1.1.1 Schwerpunkt

∫

=

2

1 2

1

ζ ζ ζ ζ η η η η

ζ η

ζ ζη ζ

η ζ

η ηζ η

d d d d

S S

1.1.2 Tabellenberechnung

( )

∑

⋅

=

⋅

=

i i i

i i S

i i i

i i S

A A

ζ ζ

η η

1.2 Flächenträgheitsmoment 1.2.1 Flächenträgheitsmoment 1.2.1.1 Axiale Flächenträgheitsmomente

( )

∑

∫

⋅ +

=

⋅ +

=

i

i i zA z

i

i i yA y

A z

A y

y A I I

z A I I

dA y I

dA z I

i i

2 2 2 2

1.2.1.1.1 Flächenträgheitsmomente des Rechtecks

12 12

3 3

h I b

b I h

z y

= ⋅

1.2.1.1.2 Flächenträgheitsmoment des Kreises

4 4

64

4

r d

I = π ⋅ = π ⋅

A1

A2

η

ζ η

1

ζ

2

ζ

1

η

2

η

S

ζ

S

A1

A2 z y

z1

z2

y1

y2 zA1

I

yA1

I

yA2

I

zA2

I

z

y h

b

(2)

1.2.1.2 Deviationsmoment

( )

∑

∫

⋅

−

=

−

=

i i i i yz

A yz

z y A I

dA yz I

1.2.1.3 Polares Trägheitsmoment

( )

y z

A A

p

r dA y z dA I I

I = ∫

²

= ∫

²

+

²

= +

1.2.2 Trägheitsradien

A I i

p p

z z

y y

=

1.2.3 Parallele Koordinatenverschiebung y,z: Schwerpunktachsen

A I

I

A I I

S S yz

S S y

⋅

−

=

⋅ +

=

⋅ +

= ζ η η ζ

ηζ η ζ η

2 2

1.2.3.1 Falls eine Schwerpunktachse (y,z) gleich Symmetrieachse

A I

I

S S yz

⋅

=

= ζ η

ηζ

0

1.2.4 Drehung des Koordinatensystems um den Schwerpunkt 1.2.4.1 Achsen

ϕ ϕ ζ

ϕ ϕ η

cos sin

sin cos

⋅ +

⋅

−

=

⋅ +

⋅

=

z y

1.2.4.2 Flächenträgheitsmomente

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 cos 2 2 sin

1

2 sin 2 2 cos

1 2

1

2 sin 2 2 cos

1 2

1

yz z y z y

yz z

y

yz z

y z y

yz z

y z y

I I I I I I

const I I I I

I I

I I I I

I I

I I I I

−

⋅

=

−

⋅

= +

⋅ +

⋅

−

⋅

−

=

⋅

−

⋅

−

⋅

− +

⋅

=

⋅ +

⋅

−

⋅ + +

⋅

=

ηζ ζ η

ζ η ηζ ζ η

ϕ ϕ

1.2.5 Widerstandsmomente

max 2

min 1

max 2

min 1

y W I

z W I

z z

y y

=

A1

A2 z y

z1

z2

y1

y2

1.3 Hooksches Gesetz

1.3.1 Für Normalspannungen

⋅ E

= ε σ

1.3.2 Für Schubspannungen

⋅ G

= γ τ

1.4 Biegung

1.4.1 Gerade Biegung

Lastebene schneidet Querschnittsfläche in einer Hauptachse 1.4.1.1 Reine Biegung

( ) ₌ ( ) ₌

₀

dx x x dM

Q

^b

1.4.1.2 Biegespannung ( )

2 2 max

1 1 max

b b y

y bd

b b y

y bz

y y

W h M I M

W h M I M I z z M

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

σ σ σ

1.4.1.2.1 Biegespannungen bei h

1

=h

2

b b bd

bz

W

= M

=

max

σ

1.4.2 Schiefe oder allgemeine Biegung

b z

b y

M M

⋅

=

⋅

= α

α

sin cos

1.4.2.1 Nulllinie

z y

y z

I M

⋅

= ⋅ β

tan

h

2

h

1

x

z

max _ bd

σ

y S

max _ bz

σ

α

β

y

γ

(3)

1.4.3 Direkte Methode 1.4.3.1 Biegespannungen

I y z M I M

I I

I I M I M M

I I

I I M I M M

I y I I

I M I z M I I I

I M I M

z z y

y x

z y

yz y yz y z z

z y

yz z yz z y y

yz z y

yz y y z yz

z y

yz z z y x

⋅

−

⋅

=

− ⋅

⋅

−

=

− ⋅

⋅

−

=



⋅













−

⋅

−

− ⋅



⋅













−

⋅

−

= ⋅

σ σ

1 1

2 2

1.4.3.2 Lage der Neutralachse

( )









⋅

= +

=

⋅

= +

=

z y y z z y y z

I I M M

I I M M dy

dz

arctan tan

1 1

β ϕ γ

β

ϕ γ

y

z

1.5 Kombinierte Beanspruchung von Balken

1.5.1 Biegung und Normalkraft

I y z M I M A N

z z y x y b

N

+ = + ⋅ − ⋅

= σ σ

σ

1.5.2 Schub und Torsion

1.5.2.1 Im Kreisquerschnitt

W y M A F

p t z q

q

+ = ⋅ + ⋅

=

3

τ

4

τ τ

1.5.3 Biegung und Schub

1.5.3.1 Gestaltänderungshypothese

2 2

max 3 _m

b

v

σ τ

σ = + ⋅

1.5.3.1.1 Vereinfachungen

• l/h > 5 nur Normalspannungen _σ

• l/h ≤ 1 nur Schubspannungen τ

1.5.4 Biegung mit Torsion

1.5.4.1 Widerstandsmoment des Kreises gegen Biegung

32

d

3

W

_b

= π ⋅

1.5.4.2 Widerstandsmoment des Kreises gegen Torsion

b

t

d W

W = ⋅ =

2

⋅

16

π

3

1.5.4.3 Vergleichsmoment

( )

(

0

)

²

2 2 0 2

4 3 3

t b v

M M

M = + ⋅

⋅ +

=

α τ α σ σ

1.5.4.4 Vergleichsspannung

zul b v

v

W

M σ

σ = ≤

1.5.4.5 Erforderlicher Wellendurchmesser

332

zul

M

v

d π ⋅ σ

≥ ⋅

z x

N M y

z y

z z

σb τb

(4)

1.5.4.6 Berechnung der Zahnkräfte

( ) ( ) α ( ) α

α

cos cos

tan

1 1

= ⋅

=

⋅

−

=

r F M F

F F

r F M

y x Biegung

y z

x y

1.6 Schub bei Querkraftbiegung 1.6.1 Querkraft – Moment – Abhängigkeit

dx Q = dM

1.6.2 Schubspannung 1.6.2.1 Mittlere Schubspannung

A Q

m

= τ

1.6.2.2 Örtliche Schubspannungen (Bisquitformel)

( ) ( )

y y

I b

z S z Q

⋅

= ⋅ τ

1.6.3 Statisches Moment













=

= ∫

^h

∫

^/²

z

y

zdA zdA

S

1.6.3.1 Beim Rechteckquerschnitt

( ( ) )

S A

y

b h z A z

S = −

1²

=

y

⋅

22

2

1.6.3.2 Beim Kreisquerschnitt

( )

S A

y

r z A z

S = −

1²²³

=

y

⋅

2

3 2

1.6.4 Schubfluss

y y

I S b Q q = τ ⋅ = ⋅

F

M Q

y

z b

h z

1

Sy

A z

A

y

z

d

z1 zA

Sy

A x z y

y z x α

F

y

F

z z

− F

F

y

− M

x

r

1

F

B

1.6.5 Schub in dünnwandigen Profilen

( ) ( )

y y

I t

s S s Q

⋅

= ⋅ τ

1.6.5.1 Schubmittelpunkt

∑





 





⋅ ⋅ ⋅

=

⋅

i

i i i i

M

b t h

e

Q

2

max

τ

,

1.6.6 Schubbeanspruchung von Verbindungselementen 1.6.6.1 Geschweisst

Zul Gurt ht Schweissna

I S a Q

τ

⋅

⋅ ⋅

≥

2

1.6.6.2 Genietet

Zul y

yGurt

Niet

I

e S A Q

⋅⋅ τ

⋅

≥ ⋅

e n

(5)

1.7 Knickbeanspruchung 1.7.1 Eulerknicken

C L L

L I E L

I C E F

k

k k

=

⋅

= ⋅

⋅

⋅ ⋅

=

2

2 2

2

π

1.7.1.1 Spannung bei Knickkraft

A F

k k

= σ

1.7.1.1.1 Elastisches Knicken

dP k

k

A

F σ

σ = ≤

1.7.1.2 Minimales Trägheitsmoment

E L F

I v

^k ^k

⋅

= ⋅

2 2

min

π

1.7.1.2.1 Knicksicherheit Stahl: 2..8

Grauguss: 3..6 Holz: 8..10

1.7.1.3 Schlankheitsgrad (geometrische Grösse)

min

i

L I L

k

⋅ A =

^k

= λ

1.7.1.4 Eulerhyperbel

dP dP

dP k

E E

π σ λ

λ σ σ π

=

⋅ ≥

=

²₂

1.7.2 Unelastische Knickung nach Tetmajer

( )

dP Euler

dP S T

k

E c b a

λ λ λ

σ π

λ λ λ λ λ σ

⋅ >

=

<

⋅ +

⋅

−

=

;

2 2

2 ,

Werkstoff λ

S

λ

P

a b c

St37 60 104 310 1.14 0

St50 & 60 0 88 335 0.62 0

St52 0 85 470 2.3 0

GG 0 80 776 12.00 0.053

Nadelholz 0 100 29.3 0.194 0

Al6061T6 9.5 66 139 0.868 0

Al2014-T6 12 55 212 1.585 0

1.7.2.1 Johnson-Parabel

( )

²

, 









⋅



−

=

p dP dS dS T

k

λ

σ λ σ σ σ

1.7.3 Dimensionierung

E L F

I v

^k ^k

⋅

= ⋅

₂ ²

min

π

Querschnitt

λ

dP

λ >

j

(

²

)

,

λ λ

σ

kT

= a − b + c

A F v

_k

T k^,

>

σ

j

Euler

Tetmaier

(6)

Erstellt von:

Daniel Arnold, Altdorf, Uri, Schweiz http://www.lanny.ch

Erstelldatum 04.01.1999 13:08

Letzte Änderung 16.12.2005 00:20