1. (Treppensteigen) Bei jeder Stufe kann man sich die Frage stellen: Nehme ich die Stufe oder ¨ uberspringe ich die Stufe. Die erste Stufe muss man auf jeden Fall betreten.

AAM SoSe03,

d. 15. Dezember 2005

Ausgew¨ ahlte Anwendungen der Mathematik

Blatt 10

1. (Treppensteigen) Bei jeder Stufe kann man sich die Frage stellen: Nehme ich die Stufe oder ¨ uberspringe ich die Stufe. Die erste Stufe muss man auf jeden Fall betreten.

Auf wieviele verschiedene Arten kann man nun die Treppe heraufgehen?

2. Zeigen Sie, dass die Fibonacci Zahlen F _n und F _n+1 teilerfremd sind.

3.

• Finden Sie alle α, so dass a n = α ⁿ der Rekursion a n+2 = a n+1 + a n f¨ ur n = 0, 1, 2, . . .gen¨ ugt;

• Zeigen Sie, dass f¨ ur alle λ ₁ , λ ₂ , b _n = λ ₁ G ⁿ + λ ₂ (−G) ⁻ⁿ der obigen Rekursion f¨ ur n = 0, 1, 2, . . . gen¨ ugt. Hier G = ¹⁺

√ 5 2 ;

• Finden Sie die Zahlen C 1 und C 2 , so dass

F _n = C ₁ G ⁿ + C ₂ (−G) ⁻ⁿ

f¨ ur n = 0, 1, . . . . Hinweis: F ₀ = F ₁ = 1

4. Berechnen Sie ^F _F

n

f¨ ur n = 0, 1, 2, . . . , 50 mit einem Tabellenkalkulationsprogramm.

Vergleichen Sie die Ergebnisse mit G.

5. Zeigen Sie, dass cos ^2π ₅ = _2G ¹ = ^g ₂ und cos ^π ₅ = ^G ₂ = _2g ¹ . Hier G = ¹⁺

√ 5

2 und

g = G − 1.

Tip: Betrachten Sie das goldene Dreieck.