Kapitel 1 Grundlagen und Grundbegriffe

Grundlagen und Grundbegriffe

1.1 Axiomatische Methode

Wie kommt man ¨uberhaupt zu den Objekten einer mathematischen Theorie, zu Definitionen und im weiteren zu Aussagen, deren G¨ultigkeit man beweisen m¨ochte?

Betrachten wir beispielsweise die nat¨urlichen Zahlen. Kann man eine Definition der nat¨urlichen Zahlen angeben? Was w¨aren dann die schon bekannten Objekte, mit deren Hilfe die nat¨urlichen Zahlen zu erkl¨aren sind, und inwiefern kennen wir diese

”bekannten“ Objekte? M¨ussen sie nicht auch erkl¨art werden — und so weiter, ohne Ende? Man sp¨urt, dass man auf diese Weise eine Wissenschaft nicht aufbauen kann, weil man nicht einmal dazu kommt, mit dem Bauen auch nur anzufangen. Irgendeine Grundlage, irgendeinen Ausgangspunkt wird man als gegeben ansehen m¨ussen, und das wissenschaftliche Verfahren kann dann nur noch darin bestehen, diese Grundlage deutlich als solche zu bezeichnen, sie in allen Einzelheiten offen zu legen und von nun an nur noch Gr¨unde gelten zu lassen, die — mittelbar oder unmittelbar — eben diesen Grundlagen entnom- men sind, und zwar in einsehbarer nachvollziehbarer Weise, gleichsam im hellen Tageslicht vor den Augen der ¨Offentlichkeit.

Will man gem¨aß diesem Programm die nat¨urlichen Zahlen dem Aufbau des Zahlensystems zugrundelegen, so wird man also nicht mehr von einer Definition dieser Zahlen ausgehen. Man wird nicht mehr fragen: was sind die nat¨urlichen Zahlen und was ist ihr Wesen? - vielmehr wird man einige Grundeigenschaften derselben, einige Grundbeziehungen zwischen ihnen angeben und alles weitere allein aus diesen Aussagen entwickeln. Dieses Verfahren, an den Anfang einer Theorie einige Grund-S¨atze, sogenannte Axiome , zu stellen (die man nicht mehr diskutiert, nicht mehr weiter

”hinterfragt“ sondern einfach akzeptiert) und aus ihnen durch logisches Schließen den (ganzen) Aussagenbestand der Theorie zu gewinnen, nennt man axiomatische oder deduktive Methode.

Sie ist der Lebensnerv der Mathematik, das, wodurch die Mathematik zur Wis- senschaft wird. Sie geht vermutlich auf den großen griechischen Mathematiker Eudoxus zur¨uck und findet ihre erste volle Entfaltung in den

”Elementen“ des Euklid von Alexandria (um 300 v. Chr.). Seit diesem epochalen Werk ist sie konstitutiv f¨ur die Mathematik und vorbildlich f¨ur die exakten Wissenschaften geworden. Isaac Newton (1642 - 1727) hat in seinen

”Philosophiae naturalis principia mathematica“ die Mechanik aus seinen drei ber¨uhmten Gesetzen ent- wickelt. Baruch de Spinosa (1632 - 1677) hat seine Ethik

”more geometrico“

(nach geometrischer, d.h. deduktiver Weise) geschrieben, und David Hilbert (1862 - 1943), einer der bedeutendsten Mathematiker, nicht nur der letzten Jahrhunderte, war der Meinung, dass jede reif gewordene Wissenschaft der Axiomatisierung anheimfalle.

Sicherlich ist das axiomatische Verfahren die ehrlichste Methode, die je ersonnen wurde: Ihr moralischer Kern besteht darin, dass man alle seine Voraussetzungen offen darlegt, dass man im Laufe des Spieles keine Karten aus dem ¨Armel holt, und dass man somit alle seine Behauptungen ¨uberpr¨ufbar macht.

Wir kehren zu den nat¨urlichen Zahlen zur¨uck. Der italienische Mathematiker Peano (1858 - 1932) hat f¨ur sie ein System von f¨unf Axiomen vorgeschlagen.

[ Peano Axiome ]

Die Menge N der nat¨urlichen Zahlen ist eine Menge mit folgenden Ei- genschaften:

1. 1 ist eine nat¨urliche Zahl.

2. Jeder nat¨urlichen Zahl n ist genau eine nat¨urliche Zahl N(n) zuge- ordnet, die der Nachfolger von n genannt wird.

3. 1 ist kein Nachfolger.

4. Sind die nat¨urlichen Zahlen n, m verschieden, so sind auch ihre Nachfolger N(n), N(m) verschieden.

5. (Induktionsaxiom ) Eine Eigenschaft, die f¨ur die Zahl 1 gilt und die, wenn sie f¨ur eine Zahl n gilt, auch f¨ur N(n) gilt, gilt f¨ur alle nat¨urlichen Zahlen.

Ausgehend von den Peano’schen Axiomen kann man auf der Menge der nat¨urli- chen Zahlen die Rechenoperationen Addition und Multiplikation sowie die Ord- nungsrelationen <, >, ≤, ≥ einf¨uhren. Wir zeigen nur, wie man die Addition

(rekursiv, mittels vollst¨andiger Induktion) definiert:

F¨ur beliebiges n ∈ N muss n + k f¨ur alle k ∈ N definiert werden. Dies erfolgt mittels Induktion nach k. Wir definieren

n + 1 := N(n)

Sei n+ k f¨ur ein k ∈ N definiert. Dann definieren wir n + N(k) := N(n + k).

Damit ist n+ k f¨ur alle k ∈ N definiert.

[ Definierendes Gleichheitszeichen ]

Das Zeichen := oder =: wird benutzt, um eine Definition einer Seite durch die andere Seite darzustellen. Dabei stehen die Doppelpunkte im- mer bei dem zu definierenden Objekt.

Wir haben die nat¨urlichen Zahlen als Beispiel ben¨utzt, um den axiomatischen Aufbau einer mathematischen Theorie zu illustrieren. Alles was wir ¨uber das Arbeiten mit den nat¨urlichen Zahlen in der Mittelschule gelernt haben (und vieles mehr) kann man jetzt beweisen.

Die Herleitung der bekannten Rechenregeln f¨ur die nat¨urlichen Zahlen aus den Peano’schen Axiomen ist zum Teil recht abstrakt und langwierig und erh¨oht nicht das Verst¨andnis f¨ur das Arbeiten mit den nat¨urlichen Zahlen. Darum ge- hen wir hier nicht weiter darauf ein. Es sei auch nur der Vollst¨andigkeit halber erw¨ahnt, dass zur Einf¨uhrung der ganzen Zahlen, der rationalen Zahlen und der irrationalen Zahlen keine weiteren Axiome notwendig sind, sondern dass diese mittels entsprechender Definitionen auf der Basis der nat¨urlichen Zahlen vorgenommen wird; so definiert man die rationalen Zahlen als

”Klassen ¨aqui- valenter Paare von ganzen Zahlen“, die irrationalen Zahlen als die unendlichen nicht periodischen Dezimalbr¨uche (siehe Abschnitt 1.3).

1.2 Aussagenlogik und Beweisen

Die Ausagenlogik ist ein wesentliches Werkzeug f¨ur den Aufbau einer mathe- matischen Theorie. Die Grundelemente der Aussagenlogik sind Aussagen.

[ Aussage ]

Eine Aussage ist ist ein Satz, dem man genau einen der beiden Wahr- heitswerte wahr (w) oder falsch (f ) zuorden kann.

Da nur diese beiden Wahrheitswerte erlaubt sind, spricht man auch von zwei- wertiger Logik.

[ Verkn¨upfung von Aussagen, Wahrheitstafel ]

Seien A und B Aussagen. Dann k¨onnen durch Verkn¨upfungen daraus neue Aussagen gewonnen werden. Diese Verkn¨upfungen definieren wir durch Angabe von Wahrheitstafeln, die den Wahrheitswert der neuen Aussagen angeben.

Die wichtigsten Verkn¨upfungen von Aussagen sind:

• Negation: ¬A . . .

”nicht A“

A ¬A

w f

f w

• Konjunktion: A ∧ B . . .

”A und B“

A B A∧ B

w w w

w f f

f w f

f f f

• Disjunktion: A ∨ B . . .

”A oder B“

A B A ∨ B

w w w

w f w

f w w

f f f

• Implikation: A =⇒ B . . .

”A impliziert B“

A B A =⇒ B

w w w

w f f

f w w

f f w

Die Implikation ist immer wahr, wenn die VoraussetzungAfalsch ist. Wenn die VoraussetzungA falsch ist, wird der Wahrheitswert der Behauptung B gar nicht gepr¨uft.

• Aquivalenz:¨ A ⇐⇒ B . . .

”A gilt genau dann, wenn B gilt“

A B A ⇐⇒ B

w w w

w f f

f w f

f f w

[ Rangordnung der logischen Verkn¨upfungen ]

Falls in einer Aussage mehrere logischen Operationen auftreten ist fol- gende Rangordnung einzuhalten: Negation vor Konjunktion vor Disjunk- tion vor Implikation vor ¨Aquivalenz.

Die Lesbarkeit wird meist durch Klammersetzung verbessert:

A ∧ ¬B ∨ C ∨ ¬D ∧ E ⇐⇒ ((A ∧ ¬B) ∨ C) ∨ (¬D ∧ E)

Satz 1.1 [ De Morgan’sche Regeln ]

Seien A, B Aussagen, dann gilt

¬(A∧ B) ⇐⇒ ¬A ∨ ¬B,

¬(A ∨ B) ⇐⇒ ¬A ∧ ¬B .

Beweis: mittels Wahrheitstafel.

[ Definition, Satz und Beweis ]

Ausgehend von den Axiomen werden in Definitionen neue Begriffe und Objekte eingef¨uhrt. In der Mathematik sind S¨atze Aussagen ¨uber Eigen- schaften und Beziehungen zwischen den Objekten, die unter Verwendung der Axiome und der bereits als wahr erkannten S¨atze bewiesen werden m¨ussen.

H¨aufig haben mathematische S¨atze die Form einer Implikation A =⇒ B, gesprochen

”aus A folgt B“. In diesem Zusammenhang wird A Voraus- setzungdes Satzes und B Behauptungdes Satzes genannt. Unter dem Beweis so eines Satzes versteht man den Nachweis, dass wenn A wahr ist auch B wahr ist.

Eine andere h¨aufige Form mathematischer S¨atze ist die ¨Aquivalenz A ⇐⇒ B, gesprochen

”A gilt genau dann, wenn B gilt“.

Die wichtigsten Beweismethoden sind der direkte Beweis und der indirekte Be- weis.

[ Direkter Beweis ]

Um zu beweisen, dass ein Satz der Form A =⇒ B gilt, gen¨ugt es, die G¨ultigkeit vonA anzunehmen und daraus durch eine Kette von Schl¨ussen die G¨ultigkeit von B zu folgern.

Die zweite Beweismethode ist der indirekte Beweis, der auf folgendem Re- sultat der Aussagenlogik beruht.

Satz 1.2 F¨ur beliebige Aussagen A, B gilt

(A =⇒ B) ⇐⇒ (¬B =⇒ ¬A).

Beweis: Wir f¨uhren den Beweis mit Hilfe einer Wahrheitstafel.

A B A =⇒ B ¬B ¬A ¬B =⇒ ¬A (A =⇒ B) ⇐⇒ (¬B =⇒ ¬A)

w w w f f w w

w f f w f f w

f w w f w w w

f f w w w w w

Da die letzte Spalte nur w-Eintr¨age enth¨alt, sind die Aussagen A =⇒ B und

¬B =⇒ ¬A ¨aquivalent.

Beispiel 1.1 Der Satz

”x ist eine gerade Zahl =⇒ x² ist durch 4 teilbar“

ist ¨aquivalent zu dem Satz

” x² ist nicht durch 4 teilbar =⇒ die Zahl x ist

ungerade“. 3

[ Indirekter Beweis ]

Aus Satz 1.2 folgt, dass ein Satz der Form A =⇒ B bewiesen werden kann, indem man annimmt, dass B falsch ist und daraus durch eine Kette von Schl¨ussen folgert, dass A falsch ist.

Betrachten wir den Satz

”Die Zahl x ist gr¨oßer als 7“. Ohne weitere Angaben

¨uber x kann man nicht entscheiden, ob dieser Satz wahr oder falsch ist. Er ist daher keine Aussage. Falls ein konkreter Wert f¨ur x eingesetzt wird, erh¨alt man eine Aussage.

[ Aussageformen und Quantoren ]

S¨atze in der Form einer Aussage, in denen Variable auftreten, heißen Aussageformen.

Man benutzt Quantoren, um aus Aussageformen Aussagen zu erhal- ten. Besonders wichtig sind der Allquantor ∀ , gesprochen als

”f¨ur alle“, und derExistenzquantor ∃, gesprochen als

”es existiert“. Da- bei muss auch angegeben werden in welcher Grundmenge die Variablen liegen. Dies ist allerdings oft aus dem Kontext klar.

In dieser Notation schreibt man die Aussage

”Alle Zahlen x sind gr¨oßer als 7“

als ∀x : x > 7, und die Aussage

”Es gibt eine Zahl x, die gr¨oßer als 7 ist“ als

∃x : x > 7. Die erste Aussage ist wahr, die zweite Aussage ist falsch.

Es k¨onnen auch mehrere Variable auftreten. Dann muss jede davon mit ei- nem Quantor versehen sein. Man beachte, dass es dabei auf die Reihenfolge ankommt.

Beispiel 1.2 Sei P(x, y) der Satz

”Der Mensch x hat die Nase y“. Man denke

¨uber die Bedeutung der beiden Aussagen ∀x : ∃y : P(x, y) und ∃y : ∀x :

P(x, y) nach. 3

[ Regeln f¨ur die Negation ]

Bei der Negation von Aussagen mit Quantoren m¨ussen Allquantoren durch Existenzquantoren und Existenzquantoren durch Allquantoren er- setzt werden. Die der Aussage zugrundeliegende Eigenschaft muss negiert werden.

Beispiel 1.3 ¬(∀x : ∃y : P(x, y)) ⇐⇒ (∃x : ∀y : ¬P(x, y)). Die Verneinung der Aussage

”Jeder Mensch hat eine Nase“ ist

”Es gibt einen Menschen, der

keine Nase hat“. 3

1.3 Ubersicht ¨ ¨ uber die Zahlensysteme

Nat¨urliche Zahlen N

N = {1,2,3, . . .}, N0 = {0,1,2,3, . . .}

Ganze Zahlen Z

Z = {. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}

Rationale Zahlen Q

Q ist die Menge aller Br¨uche, d.h.

Q =

p

q : p, q ∈ Z, q = 0

.

Ein reduzierter Bruch ist ein Bruch ^p_q, der nicht mehr gek¨urzt werden kann, d.h.

der gr¨oßte gemeinsame Teiler von p und q ist 1.

Die Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl hat entweder endlich viele Dezi- malstellen (z.B. ¹₄ = 0.25) oder unendliche viele Dezimalstellen, wobei sich ein Block von Dezimalstellen unendlich oft wiederholt (z.B. ¹⁰₄₄ = 0.227272· · · = 0.227). Im zweiten Fall spricht von einer periodischen Dezimalzahl. Die periodi- schen Dezimalzahlen sind genau die rationalen Zahlen.

Reelle Zahlen R

Die reellen ZahlenRsind die Menge aller Dezimalzahlen mit endlich oder unend- lich vielen Nachkommastellen. R besteht aus den rationalen Zahlen, das sind die endlichen oder periodischen Dezimalzahlen, und den irrationalen Zahlen, das sind die unendlichen, nichtperiodischen Dezimalzahlen. Die reellen Zahlen werden in Kapitel 2 im Detail besprochen.

Komplexe Zahlen C

Die Menge der komplexen Zahlen C ist die Menge aller Zahlen der Form z = x + iy

mit x, y ∈ R. Dabei ist i die imagin¨are Einheit, die durch i² = −1 definiert ist.

x ist der Realteil und y ist der Imagin¨arteil der komplexen Zahl z.

Es gilt

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. Begr¨unden Sie dies!

1.4 Rechenoperationen

Die grundlegenden Rechenoperationen f¨ur Zahlen a, b sind:

Addition: a + b und

Multiplikation: ab.

F¨ur Summen mit mehreren Summanden und f¨ur Produkte mit mehreren Fak- toren ben¨utzt man folgende Notation.

[ Summenzeichen ]

Es sei n ∈ N. Gegeben seien n Zahlen a₁, a₂, . . . a_n. Dann ist

n

k=1

a_k := a₁ + a₂ + a₃ + · · · + a_n−1 + a_n Ausgesprochen wird dies als

”Summe ¨uber die a_k von k = 1 bis n“. Man nennt k den Summationsindex.

Beispiel 1.4 Es sei a_k = k. Dann gilt n

k=1

a_k = n

k=1

k = 1 + 2 + 3 +· · · + n.

K¨onnen Sie diese Summe als Funktion von n angeben? 3 Beispiel 1.5

n j=0

x^j+1 = x⁰⁺¹ + x¹⁺¹ + · · · + xⁿ⁺¹ = x¹ + x² + · · · + xⁿ⁺¹ = n+1

k=1

x^k.

3 Regeln:

n+1 k=1

a_k =

n

k=1

a_k + a_n+1

n

k=1

a_k ±

n

k=1

b_k =

n

k=1

(a_k ± b_k) s

n

k=1

a_k =

n

k=1

(s a_k) Analog definiert man f¨ur 1 ≤ m ≤ n

n

k=m

a_k := a_m + a_m+1 + a_m+2 + · · · + a_n−1 + a_n. In diesem Fall beginnt die Summation bei a_m.

Das Produkt mehrer Faktoren wird in Indexschreibweise folgendermaßen ge- schrieben.

[ Produktzeichen ]

Es sei n ∈ N. Gegeben seien n Zahlen a₁, a₂, . . . a_n. Dann ist

n

k=1

a_k := a₁a₂a₃· · ·a_n.

Analog definiert man f¨ur 1 ≤ m ≤ n

n

k=m

a_k := a_ma_m+1a_m+2· · ·a_n.

Beispiel 1.6

6 k=3

k² = 9 · 16 · 25 · 36 . 3

1.5 Vollst¨ andige Induktion

Das Induktionsaxiom wird oft als Beweismethode ben¨utzt.

[ Methode der vollst¨andigen Induktion ]

Sei n₀ eine nat¨urliche Zahl. Will man eine Aussage A(n) f¨ur alle nat¨urli- chen Zahlen n ≥ n₀ beweisen, so geht man folgend vor:

1. Induktionsanfang: Man zeigt die Richtigkeit von A(n₀).

2. Induktionsschluß: Man zeigt, dass aus der Richtigkeit von A(n) f¨ur ein n, n ≥ n₀ , die Richtigkeit von A(n + 1) folgt.

Dann gilt die Aussage A(n) f¨ur alle nat¨urlichen Zahlen n ≥ n₀.

Beispiel 1.7 Man beweise, dass f¨ur jedes n ∈ N gilt:

1 + 2 +· · · + (n −1) + n = 1

2n(n+ 1).

Beweis mittels vollst¨andiger Induktion: Hier ist A(n) die Aussage 1 + 2 +· · · + (n −1) + n = 1

2n(n+ 1).

1.) Induktionsanfang: n₀ = 1. Die Richtigkeit von A(1) ist zu zeigen:

1 = 1

2 · 1· 2.

2.) Induktionsschluß: F¨ur ein n ∈ N gelte A(n), d.h. es gilt 1 + 2 +· · · + (n −1) + n = 1

2n(n+ 1).

Dann gilt

1 + 2 + · · · + n + (n + 1) = 1

2n(n + 1) + n + 1 = (n+ 1)(n + 2)

2 .

Damit gilt die behauptete Gleichung f¨ur alle n ∈ N. 3 Beispiel 1.8 Man beweise, dass f¨ur alle n ∈ N mit n ≥ 10 gilt

n³ < 2ⁿ. Beweis mittels vollst¨andiger Induktion:

1.) Induktionsanfang: n₀ = 10 : 1000 < 1024.

2.) Induktionsschluß: Es gelte

n³ < 2ⁿ.

Multiplikation dieser Ungleichung mit 2 ergibt die Ungleichung 2n³ < 2ⁿ⁺¹.

Aus der Absch¨atzung

(n + 1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1 < n³ + (n− 1)n² + (n −1)n + n = 2n³, die f¨ur n > 4 gilt, folgt somit die Richtigkeit von

(n + 1)³ < 2⁽ⁿ⁺¹⁾ .

Damit ist die Behauptung bewiesen. 3

Satz 1.3 [ Geometrische Summenformel ] F¨ur alle reellen Zahlen q ∈ R, q = 1 und alle n ∈ N gilt

n

k=0

q^k = 1 −qⁿ⁺¹ 1− q .

Beweis: Mittels vollst¨andiger Induktion.

1.) Induktionsanfang: n = 1

1

k=0

q^k = 1 + q = (1 + q)(1 − q)

1− q = 1 − q² 1 − q 2.) Induktionsschluß: Es gelte

n

k=0

q^k = 1− qⁿ⁺¹ 1− q . Dann folgt aus

n+1 k=0

q^k =

n

k=0

q^k+qⁿ⁺¹ = 1 −qⁿ⁺¹

1 − q +qⁿ⁺¹ = 1− q⁽ⁿ⁺¹⁾ + q⁽ⁿ⁺¹⁾(1 − q)

1 − q = 1− qⁿ⁺² 1− q die Richtigkeit der Behauptung f¨ur n+ 1. Somit gilt die Formel f¨ur alle n ∈ N.

1.6 Rekursive Definition

Das Prinzip der vollst¨andigen Induktion wird h¨aufig in rekursiven Definitionen verwendet.

Beispiel 1.9 Es sei a₁ := 2. Dann definiert die Vorschrift

a_n+1 := 1 1 + a_n

die Zahlen a_n f¨ur n ∈ N. Man nennt dies eine rekursive Definition. Konkret erh¨alt man

a₂ = 1

1 + a₁ = 1

3, a₃ = 1

1 + a₂ = 3

4, a₄ = 1

1 + a₃ = 3

7, . . .

Dabei kann man nat¨urlich immer nur endlich viele dieser Zahlen konkret be- rechnen, man kann aber f¨ur jede gegebene Zahl m ∈ N den Wert von a_m berechnen.

3

[ Rekursiv definierte Folgen ]

Es sei A ⊂ R und f : A → A eine Funktion und a₁ ∈ R. Dann definiert die Rekursion oder Iteration

a_n+1 := f(a_n), n ∈ N

eine Zahlenfolge a_n, n ∈ N. Man nennt a₁ den Startwert der Rekursion.

Bei solchen rekursiv definierten Zahlenfolgen stellt sich vor allem die Frage, wie sich a_n f¨ur n → ∞ verh¨alt?

Im Beispiel 1.9 ist f die durch f(x) = _1+x¹ definierte Funktion, die nur f¨ur x = −1 definiert ist. Daher ist diese Rekursion nur g¨ultig, solange a_n = −1 gilt.

Beispiel 1.10 Unter der n-ten Potenz einer reellen Zahl x versteht man

∀n ∈ N ist xⁿ = x · x· · ·x

n−mal

.

Eine formale Definition erh¨alt man durch vollst¨andige Induktion: F¨ur x ∈ R und n ∈ N sei die n-te Potenz xⁿ von x definiert durch

x¹ := x, xⁿ⁺¹ := xⁿx.

(Man definiert außerdem x⁰ := 1, x = 0 ). 3

Beispiel 1.11 F¨ur n ∈ N wird die nat¨urliche Zahlen n! (n-Fakult¨at, n- faktorielle) durch

1! := 1, und (n + 1)! := n!(n + 1)

rekursiv definiert. Außerdem definiert man 0! := 1. Explizit gilt:

1! = 1,

2! = 1· 2 = 2, 3! = 1· 2 · 3 = 6, n! = 1 · 2 · 3· · ·n,

3

1.7 Binomialkoeffizient

Definition 1.1 F¨ur n und k ∈ N0, k ≤ n ist der Binominalkoeffi- zient _n

k

definiert durch

n

k

:= n!

k!(n− k)!, was als

”n ¨uber k“ ausgesprochen wird.

Beispiel 1.12

6 2

= 6!

2!4! = 6 · 5· 4!

2!4! = 30

2 = 15.

3 Allgemein: Indem man in _k!(n−k)!^n! den Faktor (n − k)! gegen einen Teil der Faktoren in n! k¨urzt, erh¨alt man

n

k

= n(n− 1)(n −2)· · ·(n− k + 1) 1.2· · ·k . Eigenschaften:

n

k

=

n

n− k

,

n

0

=

n

n

= 1,

n

1

=

n

n− 1

= n.

Satz 1.4 [ Additionstheorem f¨ur Binomialkoeffizienten ] F¨ur n, k ∈ N, 1 ≤ k ≤ n gilt

n + 1

k

=

n

k −1

+

n

k

.

Beweis:

n

k −1

+

n

k

= n!

(k −1)!(n −k + 1)! + n!

k!(n− k)! = n!k + n!(n −k + 1)

k!(n − k + 1)! = n!(n+ 1)

k!(n −k + 1)! = (n + 1)!

k!(n + 1− k)! =

n + 1

k

.

Diese Beziehung liegt dem Pascal’schen Dreieck zugrunde:

₀

0

₁

0

₁

1

₂

0

₂

1

₂

2

₃

0

₃

1

₃

2

₃

3

₄

0

₄

1

₄

2

₄

3

₄

4

· · ·

Die Addition zweier benachbarter Zahlen in einer Zeile ergibt die in der Zeile darunter stehende Zahl.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

· · ·

Die Binomialkoeffizienten sind die Koeffizienten in der Entwicklung von (x+y)ⁿ.

Satz 1.5 [ Binomischer Lehrsatz ]

F¨ur beliebige Zahlen x, y und f¨ur alle n ∈ N gilt (x + y)ⁿ =

n

k=0

n

k

x^n−ky^k.

Beweis: Mittels vollst¨andiger Induktion.

1. Induktionsanfang:

1

k=0

1

k

x^1−ky^k =

1

0

x¹y⁰ +

1

1

x⁰y¹ = (x + y)¹.

2. Induktionsschluss:Es gelte (x+y)ⁿ =

n

k=0

n

k

x^n−ky^k. Multiplizieren dieser Gleichung mit (x + y) ergibt:

(x + y)ⁿ⁺¹ =

n

k=0

n

k

x^n−k+1y^k +

n

k=0

n

k

x^n−ky^k+1

=

n

k=0

n

k

x^n−k+1y^k + n+1 k=1

n

k −1

x^n−k+1y^k

=

n

0

xⁿ⁺¹y⁰ +

n

k=1

n

k

x^n−k+1y^k +

n

k=1

n

k − 1

x^n−k+1y^k

+

n

n

x⁰yⁿ⁺¹

= xⁿ⁺¹ +

n

k=1

n

k

+

n

k − 1

x^n−k+1y^k + yⁿ⁺¹

= xⁿ⁺¹ +

n

k=1

n + 1

k

x^n−k+1y^k + yⁿ⁺¹

=

n + 1

0

xⁿ⁺¹y⁰ +

n

k=1

n+ 1

k

x^n−k+1y^k +

n+ 1

n+ 1

x⁰yⁿ⁺¹

= n+1 k=0

n + 1

k

x^n−k+1y^k.

Daher gilt die Formel f¨ur alle n ∈ N.

1.8 Mengen

Definition 1.2 [ Georg Cantor 1845–1918 ] Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen.

Die Objekte, die zu einer Menge zusammengefasst sind, heißenElemen- te dieser Menge. Fallsx Element der Menge M ist, schreibt man x ∈ M. Falls x kein Element der Menge M ist, schreibt man x ∈ M.

Beispiel 1.13 Menge der nat¨urlichen Zahlen, N 3

Beispiel 1.14 Menge aller Primzahlen, P 3

Beispiel 1.15 Die Menge, die aus den Zahlen 5, 10, 17, −16 besteht. 3 Die Angabe von Mengen kann auf zwei Arten erfolgen:

Enumerative Methode:explizites Angeben der Elemente zwischen ge- schwungenen Klammern.

Deskriptive Methode: Angabe charakteristischer Eigenschaften der Elemente der Menge.

Beispiel 1.16 M = {5,10,17,−16}, P := {n ∈ N : n ist Primzahl}. 3 Anmerkung: Die Reihenfolge oder Anordnung der Elemente einer Menge hat keine Bedeutung. Beispielsweise gilt

{2,4,6,8,10} = {2,10,8,6,4}

Definition 1.3 Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Man schreibt A ⊂ B. und sagt ”A ist Teilmenge von B“,

”A ist enthalten in B“ oder

”B enth¨alt A“.

Beispiel 1.17 P ⊂ N 3

Beispiel 1.18 A ⊂ B f¨ur Punktmengen der Ebene, siehe Abb. 1.1 3

Beispiel 1.19 A = {2,5,7,11}, A ⊂ P 3

Definition 1.4 Die Menge ohne Elemente heißt leere Menge ∅.

Anmerkung: Jede Menge enth¨alt die leere Menge und die Menge selbst als Teilmengen.

A

B

Abbildung 1.1:A, B Punktmengen der Ebene: A ⊂ B

Definition 1.5 Die Mengen A und B heißen gleich A = B, wenn A ⊂ B und B ⊂ A gilt.

Ist A Teilmenge von B und A = B, so sagt man,

”A ist eine echte Teilmenge von B“.

Satz 1.6 Aus A ⊂ B und B ⊂ C folgt A ⊂ C.

Die G¨ultigkeit des Satzes ist offensichtlich, zur ¨Ubung geben wir einen formalen Beweis.

Beweis: Zu zeigen ist, dass gilt x ∈ A ⇒ x ∈ C.

Sei x ∈ A. Aus A ⊂ B folgt x ∈ B. Aus B ⊂ C folgt x ∈ C. Somit folgt

x ∈ C

Definition 1.6 F¨ur eine beliebige Menge A ist die Potenzmenge von A die Menge aller Teilmengen von A. Die Potenzmenge von A wird mit P(A) bezeichnet.

Beispiel 1.20 A = {1,2}, P(A) = {∅,{1},{2},{1,2}} 3

Definition 1.7 [ Mengenoperationen ]

F¨ur zwei Mengen A und B definiert man:

1. Vereinigung von Aund B: A∪B := {x : (x ∈ A) oder (x ∈ B)}, d.h. x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B).

2. Durchschnitt von A und B: A ∩ B := {x : (x ∈ A) und (x ∈ B)}, d.h. x ∈ (A∩ B) ⇐⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B).

3. Differenz von B und A: (Sprechweise:

”B ohne A“), B \ A :=

{x : (x ∈ B) und (x ∈ A)}

4. F¨ur A ⊂ M definiert man die Komplementbildung bez¨uglich der Grundmenge M: A^c := M \ A. Die Menge A^c nennt man das Komplement von A in M.

5. Produktmenge von A und B: A × B := {(a, b) : a ∈ A und b ∈ B}. A×B ist die Menge aller geordneten Paare von Elementen aus A und B (Sprechweise:

”A Kreuz B“).

Beispiel 1.21 A = {1,2,3}, B = {u, v},

A × B = {(1, u),(1, v),(2, u),(2, v),(3, u),(3, v)}

3

Satz 1.7 [ Rechenregeln f¨ur Mengenoperationen ]

F¨ur beliebige Mengen A, B und C gilt:

1. A∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A Kommutativgesetz 2. A∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, Assoziativgesetz

A∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

3. A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), Distributivgesetz A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

4. (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c, (A∩ B)^c = A^c ∪ B^c De Morgansche Regeln

1.9 Abbildungen

Definition 1.8 [ Abbildung ]

Es seien A und B Mengen. Eine Abbildung oder Funktion f : A → B ist eine Vorschrift, die jedem Element a ∈ A genau ein Element f(a) ∈ B zuordnet.

Die Menge A ist der Definitionsbereich , die Menge B ist der Bild- bereich der Abbildung. Man nennt f(a) das Bild von a. Die Menge f(A) := {f(a) : a ∈ A} ist das Bild der Abbildung f.

Der Graph der Abbildung ist die Menge

Graph(f) := {(a, f(a)) : a ∈ A} ⊂ A ×B.

Die Schreibweise

f : A → B, a → f(a)

betont, dass zur exakten Definition einer Abbildung der Definitionsbereich, der Bildbereich und die Abbildungsvorschrift angegeben werden m¨ussen. Abk¨urzend spricht spricht man allerdings oft einfach von der Abbildung f.

Definition 1.9 Eine Abbildung f : A → B heißt:

1. injektiv, wenn f¨ur alle a₁, a₂ ∈ A gilt: a₁ = a₂ =⇒ f(a₁) = f(a₂), d.h. wenn es zu jedem b ∈ B h¨ochstens ein a ∈ A mit b = f(a) gibt.

2. surjektiv, wenn ∀b ∈ B ∃a ∈ A mit b = f(a), d.h. wenn es zu jedem b ∈ B mindestens ein a ∈ A mit b = f(a) gibt.

3. bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist, d.h. wenn es zu jedem b ∈ B genau ein a ∈ A mit b = f(a) gibt.

A

B

Abbildung 1.2: Injektive Abbildung: Bei jedemb ∈B endet h¨ochstens ein Pfeil

A A

B B

Abbildung 1.3: Surjektive Abbildung: Bei jedem b ∈ B endet mindestens ein Pfeil

Definition 1.10 Die Abbildung f : A → B sei bijektiv. Dann nennt man die Abbildung

f⁻¹ : B → A, f⁻¹(b) = a,

wobei a eindeutig durch f(a) = b bestimmt ist, die inverse Abbildung (inverse Funktion, Umkehrfunktion ) von f.

Die Umkehrfunktion f⁻¹ ist ebenfalls bijektiv.

Definition 1.11 [ Komposition von Abbildungen ] Es seien g : A → B und f : C → D zwei Funktionen, und es gelte g(A) ⊂ C. Dann ist durch

x → f(g(x))

eine Funktion f ◦ g : A → D definiert. Die Funktion f ◦ g heißt Komposition von f und g.

Anmerkung: Man spricht auch von einerZusammensetzung oderVerkn¨upfung der Funktionen. Dabei ist g die innere und f die ¨außere Funktion. Sprechweise:

”f von g“,

”f verkn¨upft mit g“.

A

B

C

D g f

g(A)

Abbildung 1.4: Komposition von Abbildungen, f ◦g

Beispiel 1.22 g : R\ {0} → R, g(x) = _x¹, f : R → R, f(x) = 2x − 1.

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f1 x

= 21

x −1 = 2− x x .

Jedoch ist g◦f nicht definiert, denn f(R) ⊂ R\{0}. F¨urx = ¹₂ gilt ja f(x) = 0.

3

Definition 1.12 [ ¨Aquivalenz von Mengen ] Zwei Mengen A und B heißen ¨aquivalent (oder gleichm¨achtig), wenn es eine bijektive Abbildung von A auf B gibt (symbolisch A ∼ B).

Beispiel 1.23

A = {1, 2, 3, 4} B = {a, b, c, d}

Eine andere M¨oglichkeit w¨are: 1 ↔ b, 2 ↔ a, 3 ↔ d, 4 ↔ c. Tats¨achlich gibt es 4! verschiedene bijektive Abbildungen von A auf B. (Warum?) 3

Definition 1.13 Eine Menge heißt endlich, wenn sie ¨aquivalent zu einer Menge {1, . . . , n}, n ∈ N ist. Eine Menge, die ¨aquivalent zu N ist, heißt abz¨ahlbar . Eine Menge, die weder endlich noch abz¨ahlbar ist, heißt uberabz¨¨ ahlbar.

Anmerkung: Abz¨ahlbarkeit einer Menge A bedeutet, dass man die unendlich vielen Elemente von A durchnummerieren kann, d.h.

A = {a₁, a₂, a₃, ...}.

Im Fall einer ¨uberabz¨ahlbaren Menge ist dies nicht m¨oglich.

Bei unendlichen Mengen treten ¨uberraschende Effekte auf:

Beispiel 1.24 Wir betrachten N = {1,2,3, . . .} und N0 = {0,1,2,3, . . .}. Anhand der bijektiven Abbildung N → N0, n → (n−1) sieht man sofort, dass gilt N0 ∼ N (obwohl N0 naiv gesehen ein Element mehr hat). 3 Beispiel 1.25 Die Menge Z ist abz¨ahlbar (obwohl naiv gesehen Z doppelt so viele Elemente wie N hat).

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .}

Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . .} Diese Zuordnung entspricht der bijektiven Abbildung f : N → Z

f(n) =

n/2, n gerade

(1 −n)/2, n ungerade

3 Ziemlich ¨uberraschend ist die folgende Tatsache.

Satz 1.8 [ Abz¨ahlbarkeit von Q]

Die Menge der rationalen Zahlen Q ist abz¨ahlbar.

Beweis: Es sei Q+ := {x ∈ Q : x > 0}. Man sieht leicht ein, dass es gen¨ugt zu zeigen: Q+ ist abz¨ahlbar. Warum ?

Zum Beweis der Abz¨ahlbarkeit von Q+ werden die Elemente von Q+ folgender- maßen angeschrieben:

11 → ²₁ ³₁ → ⁴₁ ⁵₁ · · ·

12 2

2 3

2 4

2 5

2 · · ·

↓

13 2

3 3

3 4

3 5

3 · · ·

1

4 2

4 3

4 4

4 5

4 · · · ... ... ... ... ... ...

Danach wird in Pfeilrichtung durchnummeriert, wobei jedes Element, das be- reits einmal gez¨ahlt wurde, ausgelassen wird. Man nennt diese Methode das

erste Cantor’sche Diagonalverfahren .

Beispiel 1.26 In Kapitel 2 werden wir zeigen, dass R uberabz¨¨ ahlbar ist. 3

Satz 1.9 Die Vereinigung von abz¨ahlbar vielen abz¨ahlbaren Mengen ist abz¨ahlbar.

Beweis: Erstes Cantor’sches Diagonalverfahren:

M₁ = {a¹₁ → a¹₂ a¹₃ → a¹₄ · · · }

M₂ = {a²₁ a²₂ a²₃ a²₄ · · · }

↓

M₃ = {a³₁ a³₂ a³₃ a³₄ · · · }

M₄ = {a⁴₁ a⁴₂ a⁴₃ a⁴₄ · · · }

... ... ... ... ...