Die ganzen Zahlen
Algebra
Kapitel 5
Gymnasiale Untertstufe
Ronald Balestra CH - 8046 Z¨urich www.ronaldbalestra.ch
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Vorname:
25. Mai 2021
Uberblick ¨¨ uber die bisherigenALGEBRA- Themen:
1 Unsere Zahlen
1.1 Wie die Zahlen zu uns kamen 1.2 Nicht-dezimale Zahlensysteme 1.3 Grosse Zahlen
2 Die nat¨urlichen Zahlen 2.1 Die Rechenoperationen 2.2 Vermischte Operationen 2.3 Das Rechnen mit Potenzen
Eine Lernaufgabe zum Distributivgesetz:
Kreuz und Quer und doch sicher richtig
3 Mengenlehre 3.1 ¨Ubersicht
3.2 Die Menge im mathematischen Sinne 3.3 Darstellungsformen
3.4 Teilmengen
3.5 Rechnen mit Mengen 3.7 Unterrichtspolka
4 Teiler & Vielfache
4.1 Einleitung & Definitionen 4.2 Teilbarkeitss¨atze
4.3 Primzahlen
4.4 Einige S¨atze aus der Zahlentheorie 4.5 Der ggT und das kgV
Inhaltsverzeichnis
5 Die ganzen Zahlen 1
5.1 Einleitung . . . 2
5.2 Repetition . . . 4
5.2.1 Zwei Binomischen Formeln . . . 8
5.3 Das Rechnen mit ganzen Zahlen - (mit Hilfe der Zahlengerade). . . 10
5.3.1 Die Addition . . . 10
5.3.2 Die Subtraktion . . . 15
5.3.3 Die Multiplikation . . . 21
5.3.4 Die Division. . . 22
5.4 Aufgabenpolkazum Rechnen mit ganzen Zahlen . . . 24
5.5 Koordinatensysteme . . . 25
5.6 Meine Zusammenfassung. . . 34
5 Die ganzen Zahlen
Wir werden in diesem Kapitel eine neue Menge von Zahlen kennenlernen, Z, dieMenge der ganzen Zahlen
In derEinleitungwerden wir Beispiele f¨ur die Anwendung der ganzen Zahlen besprechen und die notwendigsten Begriffe kennenlernen.
Mit einerRepetition der schon eingef¨uhrten Gesetzte und Definitionen und einer neuen Anwendung des Distributivgesetztes f¨ur die binomischen Formeln, werden wir uns auf das folgende Hauptkapitel vorbereiten,
dem Rechnen mit ganzen Zahlen, wo wir unserer Verkn¨upfungen mit den zugeh¨origen Rechengesetze auf die ganzen Zahlen fortsetzen werden.
Im abschliessenden Kapitel ¨uber das (kartesische) Koordinatensystemwer- den wir dann unser neu erarbeitetes Wissen ¨uber die ganzen Zahlen mit unserem Wissen aus der Mengenlehre verkn¨upfen.
Als Aufgabensammlung verwenden wir wieder
ARITHMETIK Aufgabensammlung von der
Fachgruppe Mathematik, Kantonsschule Rychenberg Winterthur
4. Auflage, 2017 in der ¨ublichen Darstellung:Aufgabenpool ;Pflicht
und eigene Aufgabenserien.
5.1 Einleitung
Schon beim L¨osen einfachster Gleichungen stossen wir auf Elemente dieser neuen Menge:
Aufgaben 5.1 Bestimme die Zahl, die zu 12 addiert 5 ergibt.
DieseNegativen Zahlen vereinigt mit den uns schon bekannten nat¨urlichen Zahlen und der Null fassen wir in einer neuen Menge zusammen:
Der Menge der ganzen Zahlen mit der wir uns im Folgenden ausf¨uhrlich befassen werden
Wo kommennegative Zahlen zur Anwendung:
Graphische Darstellung:
Wichtige Begriffe:
5.2 Repetition
Bevor wir uns mir demRechnen mit ganzen Zahlenbefassen, wollen wir die uns schon bekannten Begriffe und Gesetzm¨assigkeiten in Erinnerung rufen:
Aufgaben 5.2 Repetiere die notwendigen Begriffe im Zusammenhang mit den Verkn¨upfungen+,−,·:
Beispiel 5.1 Bestimme in den folgenden Aufgaben die Summanden, Quotienten, . . . :
1. 1 + (3·7−5·1)−18 : (3 + 1) =
2. 2 + (4 + 6·(8 + 10) + 12 : 4) =
3. 12·(2 + 5) : (16 : 8 + 2) =
Aufgaben 5.3 Formuliere die Klammerregeln:
Beispiel 5.2 Setze Klammer (ohne ¨Andern oder Anpassen der Operati- onszeichen), so dass die folgenden Gleichungen wahr sind:
1. 1 + 2 + 3−2−1 = 5
2. 1 + 2 + 3−2−1 = 3
3. 99 + 88−77 + 66−55 + 44−33−22 + 11 = 165
Aufgaben 5.4 Repetiere die Regeln und Gesetzm¨assigkeiten, welche im Zu- sammenhang mit der Verkn¨upfung verschiedener Rechen- operationen zu beachten sind:
Beispiel 5.3 Rechne geschickt:
1. 31·17−13·31 + 2·31·4 =
2. (48·21 + 36·60−24·36) : 12 : 8 =
3. 732·66−33·732 + 33·268 =
Als eine weitere Repetition zum geschickten Rechnenund dem Distributiv- gesetzempfehle ich die folgende Lernaufgabe:
Kreuz und Quer und doch sicher richtig
eine Lernaufgabe zum Distributivgesetz
f¨ur die gymnasiale Unterstufe
Ronald Balestra CH - 8046 Z¨urich www.ronaldbalestra.ch
26. April 2019
5.2.1 Zwei Binomischen Formeln
Als eine weitere Anwendung des Distributivgesetztes wollen wir neu noch zwei Binomische Formelneinf¨uhren:
Klassische Anwendungen:
Aufgaben 5.5 Berechne geschickt:
1. 632=
2. 992=
3. 5472=
4. 7622=
Aufgaben 5.6 Lerne die Quadratzahlen zu den Basen 1 - 30 auswendig.
5.3 Das Rechnen mit ganzen Zahlen - (mit Hilfe der Zahlengerade)
5.3.1 Die Addition
Wir definieren . . .
Diese Definition der Addition (mit Pfeilen) wollen wir im Folgenden beim Rechnen mit ganzen Zahlen anwenden.
Wir wollen damit untersuchen,
ob die Summe zweier oder mehrer ganzen Zahlen positiv oder negativ ist,
und wiegross die Summe eigentlich ist?
Wir wollen dazu auf der Zahlengerade arbeiten und dabei einige F¨alle un- terscheiden . . .
a, b >0 :
a >0 ∧ b <0 :
a, b <0 :
Beispiel 5.4 Diskutiere das Vorzeichen und den Betrag:
(−2) + (−7) =
5 + (−7) =
1 + (−2) + 3 + (−4) + (−5) =
5−12 =
5.3.2 Die Subtraktion
F¨ur dieneueDefinition der Subtraktion wollen wir aufAltbekannteszur¨uckgrei- fen.
Def.: DieSubtraktionzweier Zahlen ist definiert als die Addition des Minuenden mit der Gegenzahl des Subtrahenden.
Wir wollen wieder den folgenden Fragen nachgehen:
ausgerechnete Differenz>oder<0
Entfernung der ausgerechneten Differenz von 0
Algebra-Aufgaben:Ganze Zahlen 1
Wir untersuchen jeweils a−b und werden wieder einige F¨alle zu unterschei- den haben und beginnen mit
a, b >0 mita > b:
a, b >0 mita < b:
a, b <0 mita > b:
a, b <0 mita < b:
a >0∧b <0 mita > b:
a <0∧b >0 mita < b:
Beispiel 5.5 Diskutiere das Vorzeichen und den Betrag:
5 - 11=
(-38) - 173=
(-4) - (-27)=
12 + (-7) - 8 - (-13)=
13 + (18 - (-3) + (-17)) - ((-2) + 3)=
Aufgaben 5.7 Diskutiere mit deinem Banknachbarn wie in den folgenden F¨allen das Vorzeichen und der Betrag der Differenz a−b aus den Vorzeichen und Betr¨agen des jeweiligen Minuenden Subtrahenden berechnet wird:
1. Fall: apositiv undb negativ:
2. Fall: anegativ undb positiv:
3. Fall: aundb positiv und|a|>|b|:
4. Fall: aundb positiv und|a|<|b|:
5. Fall: aundb negativ und|a|>|b|:
6. Fall: aundb negativ und|a|>|b|:
und erg¨anze jeden Fall mit zwei eigenen Zahlenbeispiele:
5.3.3 Die Multiplikation
5.3.4 Die Division
Bevor ihr euch wieder mit etwas l¨angeren Aufgaben zum Thema Rechnen mit ganzen Zahlenbesch¨aftigen d¨urft, noch einige kurze Aufgaben zur ¨Uberle- gung, ob ein Resultat positiv oder negativ ist:
Aufgaben 5.8 Bestimme jeweils nur, ob das Resultatpositiv odernegativ ist:
1. (+)·(+)
(−) =
2. (−)3·(+)2·(−)
(+)3 =
3. (+)·(−)2·(+)3·(−)4=
4. (−) : (+)·(+)2: (−)3=
5. ((−) + (−))·((+) + (+)) =
6. (−) + (−) + (−) (−)·(−) =
7. (−)·(+)·(−)·((+)−(−)) (−5)·6·(−7) =
8. (+)·(−) + (−)·(+)2−(−34)2=
9. (+) + (−)2·(+)−(+) (+)3−(−)3 =
10. (−885685)5+ 3567−5467850095 (−9002)4 =
11. (−1)·23: (−3)4·56−78·(−9)10=
5.4 Aufgabenpolka zum Rechnen mit ganzen Zahlen
Es ist ganz wichtig, dass ihr den Umgang mit ganzen Zahlen sicher beherrscht und der einzige Weg dazu f¨uhrt ¨uber das L¨osen vieler vieler vieler Aufgaben.
Wir wollen dies wieder mit einerAufgabenpolkaangehen.
Ihr werden dieses Mal in wechselnden Zweiergruppe Aufgaben zumRechnen mit ganzen Zahlenl¨osen:
AlsAufgabenquelle verwenden wir die
ARTITHMETIK - Aufgabensammlung der Kantonsschule Ry- chenberg;
p. 60-63, Nr. 70 - 88.
Die Zweiergruppen werden ¨uber Zeilen & Spalten in der folgenden Dar- stellung festgelegt:
KSOe FS11: Klasse 1c
Aufgaben - Polka: Ganzen Zahlen
Laura Eileen Lorena Osikhe ….
Laura
Aufg.: 70b V:
K
Aufg.: 72b V:
K
Aufg.: 74b,c V:
K
Eileen
Aufg.: 70b V:
K
Aufg.: 74b,c V:
K
Aufg.: 77a V:
K
Lorena
Aufg.: 72b V:
K
Aufg.: 74b,c V:
K
Aufg.: 79a V:
K
Osikhe
Aufg.: 74b,c V:
K
Aufg.: 77a V:
K
Aufg.: 79a V:
K
Jan
Aufg.: 77a V:
K
Aufg.: 79a V:
K
Aufg.: 81d V:
K
Aufg.: 85c V:
K
…..
mit den Abk¨urzungen V f¨ur vorgel¨ost und K f¨ur kontrolliert.
5.5 Koordinatensysteme
Wir wollen im folgenden noch eine neue Darstellungsmethode kennenlernen, welche uns erm¨oglichen soll, Punkte und Mengen in der Ebene eindeutig be- schreiben zu k¨onnen.
Wir betrachten dazu die folgenden Punkte
und gehen den folgenden Fragen nach:
Wie k¨onnen wir auchohnegraphische Darstellung . . .
A von B unterscheiden ?
und dazu brauchen wir . . .
Wie k¨onnen wir nun auchohnegraphische Darstellung . . .
feststellen, dass C unterhalb von A liegt?
feststellen, dass B rechts von A und sogar auf gleicher H¨ohe wie A liegt?
feststellen, dass C links von D liegt?
feststellen, dass A genau 4 Einheiten links von B liegt?
Ein Koordinatensystem erm¨oglicht uns, allen Punkten in der Ebene genau einZahlenpaar(x/y) zuzuordnen und somit eindeutig zubestimmen.
MitP = (x/y) heisstxdiex-Koordinatedes PunktesP und y diey-Koordinatedes PunktesP
Umgekehrt sind wir jetzt auch in der Lage, die folgenden Punkte eindeutig in der Ebene darzustellen:
P = (3/5) Q= (2/1) R= (−4/2)
T = (1/−3) U = (−2/−2) V = (−4/1)
W = (2/1)
Und auch ohne graphische Darstellung der Punkte k¨onnen wir mit Hilfe deren Koordinaten die gegenseitige Lage bestimmen:
Aufgaben 5.9 Bestimme die Koordinaten der eingezeichneten Punkte:
und zeichne die folgenden Punkte ein:
R= (−1/2), S= (2/2), T = (1.5/−3), U = (0/5), V = (0.5/−2)
Wir sprechen von einem . . .
Wir wollen nun unsere Kenntnisse aus der Mengenlehre noch in den Umgang mit Koordinatensysteme einbringen und dazu die folgenden Beispiele bespre- chen:
Beispiel 5.6 Stelle die folgenden Mengen im Koordinatensystem dar:
1. {(x/y)|x=−5∧x, y∈Z}
2. {(x/y)|x= 4∧y >2∧x, y∈Z}
3. {(x/y)|x <3∧y≥3, x∈N, y∈Z}
4. {(x/y)∈N×Z| |y|≥5}
5. {(x/y)∈Z−×Z| |x|<|y|}
6. {(x/y)∈N×Z>−4|x > y}
Beispiel 5.7 Beschreibe die folgenden Mengen:
Aufgaben 5.10 Stelle die folgenden Mengen graphisch dar:
1. {(x/y)∈N×N|y=x}
2. {(x/y)∈N×N|x=y}
3. {(x/y)∈N×N|y= 2·x}
4. {(x/y)∈N×Z|y= 2·x}
5. {(x/y)∈Z×Z|y= 2·x}
6. {(x/y)∈N×Z|y=x2} 7. {(x/y)∈Z×Z|y=x2}
Aufgaben 5.11 Beschreibe die folgenden Mengen:
Aufgaben 5.12 Stelle die folgenden Mengen graphisch dar:
1. {(x/y)|y=x}
2. {(x/y)|y= 2·x}
3. {(x/y)|y=−x+ 3}
4. {(x/y)|y=−x−2}
5. {(x/y)|y=−x+ 1∧x >3}
6. {(x/y)|y=−x+ 1∧x≤1}
7. {(x/y)|x= 2·y}
Aufgaben 5.13 Beschreibe die folgenden Mengen:
Algebra-Aufgaben:Ganze Zahlen 2
