Die Existenz unendlich vieler Primzahlen

Die Existenz unendlich vieler Primzahlen

Sechs Beweise

Laura Pinkhaus

Dozentin: Dr. Regula Krapf

18. Mai 2018

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Vorwissen 3

3 Beweis nach Euklid 5

4 Beweis über Mersenne Zahlen 6

5 Beweis über Fermat-Zahlen 7

6 Beweis nach Euler 8

7 Beweis von Auric 10

8 Beweis von Perott 12

1 Einleitung

Die folgende Arbeit bildet die schriftliche Ausarbeitung im Proseminar zum Modul

„Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, elementare Algebra und Zahlentheorie“.

Die Ausarbeitung orientiert sich an den Büchern von Ribenboim (2011) und Aigner, Ziegler und Hofmann (2010). Es werden Beweise dargelegt, die zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

2 Vorwissen

Um die Ausarbeitung möglichst nachvollziehbar zu gestalten, wird zunächst das benö- tigte Vorwissen wiederholt und aufgefrischt.

Definition 1 (Primzahl):

Eine natürliche Zahl größer als 1 heißt dann Primzahl, wenn sie ausschließlich durch sich selbst und durch 1 teilbar ist.

Definition 2 (Menge aller Primzahlen):

Die Menge aller Primzahlen wird mit dem Symbol Pbezeichnet.

P={p₁, p₂, p₃, . . .}, wobei p₁, p₂, p₃, . . . Primzahlen sind.

Satz (von Lagrange): Sei (G, ?) eine endliche Gruppe und U eine Untergruppe von G. Dann ist die Ordnung |U| von U ein Teiler der Ordnung |G| von G. (Frank und Habeck 2017)

Definition 4 (Mersenne-Zahl):

Mersenne-Zahlen sind Zahlen der Form

M_p = 2^p−1.

mit p∈ N. Die hier dargestellte Mersenne-Zahl wird die p-te Mersenne Zahl genannt.

Definition 5 (Ordnung eines Gruppenelements):

Sei G eine Gruppe und g ∈G. Dann definiert man

ord(g) :=min{n∈N|gⁿ =e},

wobeie das neutrale Element ist.

Definition 6 (Fermat-Zahlen):

Hierbei handelt es sich um Zahlen der Form F_n := 2²ⁿ + 1 für alle n∈N. Definition 7 (Mächtigkeit einer endlichen Menge):

Als Mächtigkeit einer endlichen Menge bezeichnet man nach der Mengenlehre von Georg Cantor die Anzahl der in der endlichen Menge enthaltenen Elemente. Die Mächtigkeit einer Menge A wird als|A| dargestellt.

Definition 8 (Injektivität):

Eine Funktion oder Abbildung f ist dann injektiv, wenn jedem Element der Ziel- oder Bildmenge A höchstens ein Element der Definitions- oder Urbildmenge B zugeordnet werden kann. Daraus folgt unmittelbar, dass die Mächtigkeit der Definitions- / Urbild- menge kleinergleich der Mächtigkeit der Ziel-/ Bildmenge ist. Es gilt

Sei f : A→ B injektiv und A, B endlich⇔ |A| ≤ |B|.

Satz (Satz de l’Hôspital): Der Satz von l’Hôspital sagt aus, wenn zwei differenzier- bare Funktionenf(x)undg(x)jeweils gegen±∞streben, dann besitzen sie den gleichen Grenzwert, wie ihre Ableitungenf⁰(x)⁰ und g⁰(x).

limx→∞

f(x)

g(x) =limx→∞

f⁰(x)

g⁰(x), ( fürg⁰(x)6= 0)

3 Beweis nach Euklid

Beweis:

Nehmen wir an, dass die Menge der Primzahlen endlich ist. Das heißt, wir können die Menge aller Primzahlen schreiben als

{p₁, p₂, p₃, . . . , p_n}

Nun wird die Annahme zum Widerspruch geführt:

Sei Q eine natürliche Zahl, welche wie folgt definiert ist:

Q:=p₁·p₂·p₃·. . .·p_n+ 1.

Aufgrund der Existenz einer Primfaktorzerlegung muss es eine Primzahlp_i geben, die Q teilt, das heißt

p_i|Q.

Aus p_i|Q und p_i|p₁·p₂ ·p₃·. . .·p_n folgt p_i|Q−p₁·p₂·p₃ ·. . .·p_n = 1. Da p_i prim ist, mussp_i >1gelten. Ein Widerspruch.

Damit ist bewiesen, dass{p₁, p₂, p₃, . . . , p_n}nicht die Menge aller Primzahlen sein kann.

4 Beweis über Mersenne Zahlen

Beweis:

Für diesen Beweis wird der Satz von Lagrange verwendet.

Nehmen wir an, dass die Menge aller Primzahlen endlich ist. Das heißt es gibt eine größte Primzahl p.

Aufgrund der Existenz einer Primfaktorzerlegung muss es eine Primzahl q geben, die M_p teilt, das heißt q|M_p. Anders dargestellt bedeutet dies 2^p−1 ≡ 0 (mod q). Daraus folgt (vgl. "Merkblatt: Gruppen"), dass Ord(2)|p als Element von Z^∗q. Weil p prim ist folgtord(2) = p, was bedeutet, dass2 die Ordnung p in der multiplikativen Gruppe Z^∗q

ist. Diese Gruppe hatq−1Elemente (Restklassen). Aus dem Satz von Lagrange (siehe oben) folgtp|q−1, woraus sich ergibt, dassq größer alspsein muss. Dies bedeutet, dass pnicht die größte Primzahl sein kann; ein Widerspruch.

5 Beweis über Fermat-Zahlen

Beweis:

Zum Beweis wird zunächst die Rekursionsformel

n−1

Y

k=0

F_k=F_n−2 (1)

für alle n∈N mit n≥1 mittels vollständiger Induktion bewiesen.

Induktionsanfang: Für n= 1 gilt

n−1

Y

k=0

F_k =

0

Y

k=0

F_k =F₀ = 2²⁰ + 1 = 2¹+ 1 = 3 = 4−1 = 2²−1 = 2²¹−1 = F₁−2 X

Induktionsannahme: Angenommen, dass (1) für n gilt.

Induktionsschluss: Nun wird gezeigt, dass

(n+1)−1

Y

k=0

F_k =F_n+1−2.

Es gilt

(n+1)−1

Y

k=0

F_k =

n

Y

k=0

F_k=

n−1

Y

k=0

F_k

!

·F_n= (F_n−2)·F_n = 2²ⁿ−1

· 2²ⁿ + 1

= 2²ⁿ2

−1²

= 2²ⁿ⁺¹ −1 = 2²ⁿ⁺¹+ 1−2 =F_n+1−2.

Mittels dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt die Behauptung (1) als bewiesen.

Nun wird gezeigt, dass je zwei Fermat-Zahlen teilerfremd sind.

Seien a, n und m natürliche Zahlen mit m < n und a als Teiler von F_m und Teiler von F_n. Wenn alsoa|F_m gilt, folgt daraus a|Qn−1

k=0F_k=F_n−2. Da a|F_n mussa|2gelten. Als Teiler von2kommt nura= 1odera= 2in Frage. Da alle Fermat-Zahlen ungerade sind, muss a = 1 gelten. Dies bedeutet, dass je zwei aus unendlich vielen Zahlen teilerfremd sind, woraus folgt, dass es unendlich viele Primzahlen geben muss, da jede Fermat-Zahl

einen Primteiler besitzt.

6 Beweis nach Euler

Vorüberlegung zum Beweis nach Euler. Es seien p und q beliebige Primzahlen.

Daraus ergibt sich, dass ¹_p und ¹_q jeweils <1. Aus der Analysis folgt

∞

X

k=0

1

p^k = 1

1−¹_p und

∞

X

k=0

1

q^k = 1 1− ¹_q.

Multipliziert man diese Summen miteinander, erhält man

∞

X

k=0

1 p^k

!

·

∞

X

k=0

1 q^k

!

=

1 + 1 p + 1

p² + 1 p³ + 1

p⁴ +. . .

·

1 + 1 q + 1

q² + 1 q³ + 1

q⁴ +. . .

=

1 + 1 p+ 1

p² + 1 p³ + 1

p⁴ +. . .

+ 1

q + 1 pq + 1

p²q + 1 p³q + 1

p⁴q +. . .

+ 1

q² + 1

q²p + 1

q²p² + 1

q²p³ + 1

q²p⁴ +. . .

+ . . .

= 1 + 1 p+ 1

q + 1 p² + 1

pq + 1 q² +. . .

= X

m∈N^∗,P(m)⊆{p,q}

1

m, (2)

wobei P(m) die Menge aller Primteiler von m ist. m sind alle natürlichen Zahlen, die nur p oder q (logisches oder, kein exklusives) als Primfaktor besitzen, ist. Diese Vor- überlegung wird bei folgendem Beweis verwendet.

Beweis:

Angenommen, die Menge aller Primzahlen ist endlich. Dann kann man P schreiben als P={p₁, p₂, p₃, . . . , p_n} Nun kann für jede Primzahl pdie geometrische Reihe

∞

X

k=0

1

p^k_i = 1 1− _p¹

i

(für i= 1, . . . , n)

betrachtet werden. Wenn man nun diese n geometrischen Reihen multipliziert, erhält

man

n

Y

i=1

∞

X

k=0

1 p^k_i

!

=

n

Y

i=1

1 1− _p¹

i

(3)

Auf der linken Seite steht ein Produkt, ausnFaktoren, wobei jeder Faktor aus unendlich vielen Summanden besteht. In (3) wurden nicht nur zwei Reihen (wie in (2)) multipli- ziert, sondern die geometrischen Reihen aller Primzahlen. Wird nun (2) verallgemeinert, ergibt sich

n

Y

i=1

∞

X

k=0

1 p^k_i

!

= X

m∈N^∗, P(m)⊆{p1,...,pn}

1 m.

Analog zu (2) istP(m)definiert als Menge aller natürlicher Zahlen, die durch p₁ oderp₂ oder p₃ oder . . . oder p_n teilbar sind. Da jede natürliche Zahl eine Primfaktorzerlegung besitzt und nach Annahme {p₁, p₂, p₃, . . . , p_n} alle Primzahlen sind, gilt

P(m) =N^∗.

Also folgt

n

Y

i=1

∞

X

k=0

1 p^k_i

!

= X

m∈N^∗,P(m)⊆{p₁,...,pn}

1

m = X

m∈N^∗

1

m =

∞

X

m=1

1

m =∞.

Bekannterweise ist die harmonische Reihe divergent. Die Rechte Seite aus (3) ist ein Produkt aus n Faktoren, woraus offensichtlich ein endlicher Wert entsteht: Ein Wider-

spruch.

7 Beweis von Auric

Beweis:

Nehmen wir an, dass die Menge der Primzahlen endlich ist. Das heißt, wir können die Menge aller Primzahlen schreiben als

{p₁, p₂, p₃, . . . , p_n} mit p₁ < p₂ < p₃ < . . . < p_n.

Nun wird die Annahme zum Widerspruch geführt: Sei A eine natürliche Zahl, welche definiert ist als

A:=p^t_n

für eine beliebige Zahl t aus N^∗. Aufgrund der Existenz der eindeutigen Primfaktorzer- legung kann man jede beliebige Zahl m mit 1≤ m≤ A als m =p^f₁¹ ·p^f₂² ·. . .·p^f_nⁿ (mit f_i ≥0, für alle i∈ {1, . . . , n}) schreiben. Da

p^f₁ⁱ ≤p^f_iⁱ ≤m≤A =p^t_n

gilt, ergibt sichf_i ≤t· ^log(p_log(pⁿ⁾

1) wie folgt

p^f₁ⁱ ≤p^t_n

⇒log(p^f₁ⁱ)≤log(p^t_n)

⇔f_i·log(p₁)≤t·log(p_n)

⇒fi ≤t· log(p_n) log(p₁).

SetzeE := ^log(p_log(pⁿ⁾

1). Daraus ergibt sich folgende Ungleichung 0≤f_i ≤t·E.

Definiere X := {(f1, f2, . . . , fn)|p^f₁¹ ·p^f₂² ·. . .·p^f_nⁿ ≤ A}. Aufgrund der Existenz einer eindeutigen Primfaktorzerlegung ist g eine injektive Funktion , welche definiert ist als

g :{1,2,3, . . . , A} →X

f1 · ^f2 · · ^f

Da 0≤f_i ≤tE gilt, folgt daraus |X|= (tE+ 1)ⁿ. Zusammengefasst bedeutet dies

p^t_n =A=|{1,2, . . . , A}|⁽⁵⁾≤ |X|= (tE + 1)ⁿ <(tE+t)ⁿ =tⁿ(E+ 1)ⁿ. (4) Die in (4) beschriebene Ungleichung

p^t_n < tⁿ(E+ 1)ⁿ

⇔ p^t_n

tⁿ(E+ 1)ⁿ <1.

führt für ein genügend großest zu einem Widerspruch. Denn lim_t→∞ p^t_n

tⁿ(E+ 1)ⁿ

l⁰Hospital

= ∞. (5)

Dies beweist, dass die Anzahl der Primzahlen unendlich groß ist.

8 Beweis von Perott

Vorüberlegung: Zunächst wird gezeigt, dass die ReiheP∞ m=1

1

m² konvergiert, mit einer Summer kleiner als2

∞

X

m=1

1

m² <1 +

∞

X

m=1

1

m(m+ 1) = 1 +

∞

X

m=1

1

m − 1

m+ 1

= 1 + 1 = 2

⇒ ∃δ > 0 :

∞

X

m=1

1

m² +δ = 2

∞

X

m=1

1

m² = 2−δ. (6)

Beweis:

Nehmen wir an, dass die Menge der Primzahlen endlich ist. Das heißt, wir können die Menge aller Primzahlen schreiben als

{p₁, p₂, p₃, . . . , p_n} mit p₁ < p₂ < p₃ < . . . < p_n. Nun wird die Annahme zum Widerspruch geführt:

Sei B ∈ N mit p₁ ·p₂ ·p₃·. . .·p_n < B und k ∈ N mit k ≤ B. Diejenigen k, die nicht durch ein Quadrat teilbar sind setzen sich wie folgt zusammen

|{|k≤B| @ i∈ {1,2, . . . , n}:p²_i|k}|= 2ⁿ. (7) Die Anzahl an k, die durch ein Quadrat teilbar sind, ist höchstens gleich

B p²₁ + B

p²₂ + B

p²₃ +. . .+ B p²_n =

n

X

i=1

B

p²_i. (8)

Mit (7) und (8) lässt sich B abschätzen als

B ≤2ⁿ+

n

X

i=1

B

p²_i <2ⁿ+B ·

∞

X

i=1

1 i² −1

!

(6)= 2ⁿ+B·(2−δ−1) = 2ⁿ+B ·(1−δ)

Wenn nunB so gewählt wird, dass B·δ≥2ⁿ gilt, führt dies zu einem Widerspruch.

Literaturverzeichnis

Aigner, Martin, Günter M Ziegler und Karl H Hofmann (2010).Das BUCH der Beweise.

Bd. 2. Springer.

Frank, Rolfdieter und Daniel Habeck (2017).Merkblatt Gruppen.

Ribenboim, Paulo (2011). „Wie viele Primzahlen gibt es?“ In:Die Welt der Primzahlen.

Springer, S. 3–13.