Tutorium HM 2 28. April 2009

Blatt 1

Tutorium HM 2 28. April 2009

1 Skalarprodukt

Seien ~a = {a₁, a2, a3} und~b = {b₁, b2, b3} Vektoren desR³. Um den Winkel zwischen diesen zu bestimmen, denieren wir ein Skalarprodukt

h~a,~bi=X

i

a_ib_i=|~a| |~b|cosφ Bemerkungen:

• Stehen~a und~b senkrecht aufeinander

⇔~a⊥~b, so istcosφ= 0und h~a,~bi= 0.

• ^h~a,~bi_|~a| =|~b|cosφ ist die Projektion von~b auf~a.

• Man kann das Skalarprodukt auch axiomatisch einführen. Seien z.B.

a, b∈C³. Dann ist das Skalarprodukt deniert durch < a, b >:=a·b^∗.

1. h~a,~bi=h~b,~ai^∗ 2. hλ~a,~bi=λh~a,~bi 3. h~a, λ~bi=λ^∗h~a,~bi

4. h~a+b, ~ci=h~a, ~ci+h~b,~ci

5. h~a, ~ai ≥0,h~a, ~ai= 0⇔~a=~0 Axiomensystem 1-5 ist viel allgemeine- re Denition des Skalarprodukts. So erfüllt u.a. das Integral

hf, gi:=

Z b a

f(x)g^∗(x)dx

mit f, g : [a, b]∈C →C die Punkte 1-5 und kann somit als Skalarprodukt im Funk- tionenraum interpretiert werden.

Schreibe Vektor im R³ mit karthesischer Basis ~e_i (i = 1,2,3). Dann lässt sich das SP schreiben als

h~a,~bi=hX

i

a_i~e_i,X

k

b_k~e_ki

=X

i

X

k

a_ib_kh~e_i, ~e_ki

Deniere Kroneckersymbol

δ_ik :=h~ei, ~e_ki=

(1,füri=k 0,füri Damit ist wie gehabt h~a,~bi=P

iaibi.

2 Vektorprodukt

Ein auf dem R³ deniertes inneres Pro- dukt. D.h. es bildet zwei Vektoren~x, ~y des

1

R³ auf einen Vektor desR³ ab. Vorschrift:

~ x×~y=





 x1

x₂ x₃





×





 y1

y₂ y₃





=







x2y3−x3y2

x₃y₁−x₁y₃ x₁y₂−x₂y₁







Eigenschaften:

1. ~x×~y=−(~y×~x) 2. (λ~x)×~y=λ(~x×~y)

3. ~x×(~y+~z) =~x×~y+~x×~z

Wieder mit karthesischer orthonormier- ter Basis

~

x×~y= (X

j

x_j~e_j)×(X

k

y_k~e_k)

=X

jk

(~ej ×~e_k)xjy_k

Betrachte i-te Komponente des Kreuz- produkts

[~x×~y]i =X

jk

[~ej×~e_k]ixjy_k

Deniere als Abkürzung das Levi-Civita- Symbol

_ijk:= [~e_j×~e_k]_i =







0, i=j, j=k, k=i 1, ijk= 123,312,231

−1, ijk= 213,321,132 Damit lässt sich die ite Komponente des Kreuzprodukts schreiben als

[~x×~y]i =X

jk

ijkxjyk

Man kann relativ leicht zeigen, dass

X

i

_ijkilm =δ_jlδ_km−δ_jmδ_kl(∗) Mit dieser Gleichung können Vektoriden- titäten bequem hergeleitet werden.

Beispiel: (bac-cab-Regel)

~a×(~b×~c) =~b(~a·c)−~c(~a·~b) [~a×(~b×~c)]_i = X

jklm

_ijkklma_jb_lc_m

Benutze die Indentität(∗)mit_ijk=_kij

[~a×(~b×~c)]i=X

jlm

(δ_ilδjm−δimδ_jl)ajb_lcm

=bi

X

m

amcm−ci

X

l

a_lb_l

= [~b(~a·c)−~c(~a·~b)]_i

3 Determinanten (A1, A4)

Motivation: Wir sind interessiert an der Fläche des Parallelogramms, das von Vek- toren

~a=



 a₁ a₂ 0



 ~b=



 b₁ b₂ 0





aufgespannt wird. Diese ist gerade F =

|~a×~b|=|a₁b₂−a₂b₁|. Schreiben wir die obi- gen Vektoren in einer Matrix zusammen, so denieren wir als Determinante dieser Ma- trix

A=

a₁ b₁ a2 b2

det(A) =

a1 b1

a₂ b₂

=a₁b₂−a₂b₁

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Der Betrag dieser Determinante ent- spricht also dem Volumen der von den Vektoren ~a und ~b aufgespannten Parallel- epipids. Sie hat also die Eigenschaft einer Volumenfunktion. Analog kann man also die Determinante für eine3×3-Matrix über das Spatprodukt (~a·(~b×~c)) denieren:

det(A) =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a₃₁ a₃₂ a₃₃

(1)

=



 a11

a21

a₃₁



·







 a12

a22

a₃₂



×



 a13

a23

a₃₃







 (2)

=X

i,j,k

_ijka_i1a_j2a_k3 (3) Hierbei ist _ijk der oben denierte Ep- silontensor. Er ist ein Faktor, der uns je nach Permutationen der drei unterschied- lichen Zahlen ijk ein positives oder nega- tives Vorzeichen gibt (gerade Permutation 123 → ungerade Permutation durch Ver- tauschen zweier Zahlen (Transposition) 213

→ nochmalige Transposition liefert gerade Permutation 312, usw). Wir können (3) also auch schreiben als

det(A) =X

ijk

(−1)^ka_i1a_j2a_k3

, wobei k die Anzahl der Transpositionen ist, um ijk in die natürliche Reihenfolge 123 zu bringen. Für einen×n-Matrix B denie- ren wir ganz analog die Determinante durch

det(B) = X

i={i₁,...,in}

(−1)^kb_i11...b_inn (4) Das ist die sogenannte Leibnitzformel.

Wir können (4) folgende Eigenschaften ent- nehmen:

• Vertauschen einer Zeile ändert das Vorzeichen der Determinanten (, da Transposition→_ijk=−_jik) .

• Die Determinante einer Matrix mit linear abhängigen Zeilen- /Spaltenvektoren verschwindet.

• Sie ist eine n-Linearform, d.h.

det(~a₁, ..., ~a_k+λ~b_k, ..., ~a_n)

=det(~a₁, ..., ~a_k, ..., ~a_n) +λ det(~a₁, ...,~b_k, ..., ~a_n)

• aufgrund der letzten beiden Punkte verändert die Addition eines Vielfa- chen einer Zeile zu einer anderen die Determinante nicht!

3.1 Determinanten - Berechnung Aufgund obiger Eigenschaften können wir über Gauÿelimination die Determinante

det(A) =

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a21 a22 a23

a₃₁ a₃₂ a₃₃ auf die Form

det(A) =

˜

a₁₁ ˜a₁₂ ˜a₁₃ 0 ˜a22 ˜a23

0 0 ˜a33

bringen. Nach (4) erhalten wir die De- terminante, indem wir die Diagonallemente multiplizieren:det(A) =Q

i˜a_ii. Eine weite- re Mehtode ist der Entwicklungssatz von Laplace: Nehmen wir uns (4) vor und grei- fen uns die Summation über eine Zeile (be- liebig) heraus, so ergibt sich:

3

det(B)

=

n

X

i1=1

(−1)ⁱ¹⁺¹bi11

X

i={i2,...,in}

(−1)^kbi22...binn

| {z }

=

n

X

i1=1

(−1)ⁱ¹⁺¹bi11 det( ˜BU ntermatrix) , wobei k nur noch die Permutation der {i₂, ..., i_n} beschreibt und der Beitrag von i₁ zur Permutation durch den Fak- tor(−1)ⁱ¹⁺¹herausgezogen wurde. Was das obige nun anschaulich heiÿt, soll an einem Beispiel erläutert werden. Sei B ∈ R^3×3. Dann ergibt sich die Determinante in obi- gem Entwicklungssatz durch:

det(B) =

b₁₁ b₁₂ b₁₃ b21 b22 b23

b₃₁ b₃₂ b₃₃

=b11

b₂₂ b₂₃ b32 b33

−b12

b₂₁ b₂₃ b31 b33

+b₁₃

b21 b22

b₃₁ b₃₂

Nun können wir das gleiche Verfahren wieder auf die 2 ×2-Untermatrizen an- wenden und erhalten das gesuchte Ergeb- nis, was mit (2) übereinstimmt.

Noch kurz ein paar Eigenschaften:

• det(A) +det(B)6=det(A+B)

• det(AB) =det(BA)

• det(AB) = det(A) · det(B) ⇒ det(A^k) = (det(A))^k

4 Die Cramer'sche Regel (A5)

Mit einer invertierbaren Matrix A = (~a₁,· · · , ~a₂)∈ R^n×n und einem Vektor~b∈ Rⁿ hat das Gleichungssystem A~x =~b die Lösung

xi = 1

det(A)det(~a1,· · · , ~ai−1,~b, ~ai+1,· · ·, ~an) Die i-te Spalte der Matrix wird also ein- fach durch den Vektor~bersetzt. Der Beweis ist sehr einfach und bedient sich der Linea- rität der Determinante (siehe Punkt 3 der Eigenschaften in Abschnitt 3). Wir betrach- ten die Determinante

det(~b,~a2, ..., ~an)

=

|{z}

~b=A~x=P

ixi~ai

det(x1~a1+· · ·+xn~an, ~a2,· · ·, ~an)

=

Linearität|{z}

n

X

i=1

xidet(~ai, ~a2,· · ·, ~an)

=x₁det(~a₁,· · · , ~a_n) =x₁det(A)

, wobei im letzten Schritt verwendet wur- de, dass alle Determinanten verschwinden, bis auf die mit~ai =~a1 , da Determinanten mit linear abhängigen Zeilen- bzw. Spalten- Vektoren verschwinden (siehe oben).

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