Serie 07

(1)

Dr. Solyga – Mathematik II – Aufgaben – D2ET 1 – FHTW-Berlin – 2005-05-30

1. Integration. Berechnen Sie

Z

e^axsin bx dx, (1)

Z x dx

√x²+1

, (2)

Z 2x³+9x²+8x+5

x²+4x+5 dx, (3)

e

Z

1

1+ln x

x dx, (4)

Z4

2

p1−(u−3)²du. (5)

2. Trigonometrie/Integration.

a) Beweisen Sie die Identit¨aten

(tan x)⁰ = 1/cos²x, (6)

1+tan²x = 1/cos²x. (7)

b) Geben Sie zwei Funktionen an, deren Differentiale die Gestalt dx+tan²xdx besitzen!

c) Zeigen Sie mit Hilfe der Regel f¨ur die Ableitung der Umkehrfunktion in Differenti- alform, daß gilt

d arctan y

dy = 1

1+y². (8)

d) Bestimmen Sie

Z arctan(x/2)

4+x² dx. (9)

3. Partielle Integration. Zeigen Sie die G¨ultigkeit der Rekursionsformel

Z dx

(x²+ px+q)^k = 2x+ p

(k−1)(4q−p²)(x²+px+q)^k−1 +

Z dx

(x²+px+q)^k−1 (10) f¨ur alle ganzen Zahlen k mit k>1 und alle reellen Zahlen p,q mit 4q> p²!

Hinweis: Setzen Sie u(x)=(x²+px+q)^−k, v⁰(x)=1, v(x)= x+ p/2; verwenden Sie die quadratische Erg¨anzung.