Übungen zur Linearen Algebra

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Übungen zur Linearen Algebra

-4. Blatt-

Prof. Dr. K. Wingberg WS 2007/2008

J. Bartels abzugeben bis Dienstag, den 20. November 2007 um 9:30 Uhr http://www.mathi.uni-heidelberg.de/˜bartels/LA

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Matrikelnummer:

Übungsleiter:

Man achte auf eine saubere Darstellung und eine ordentliche Schrift. Bitte keine maschinell er- stellten Lösungen abgeben.

Auf gabe 1 2 3 4 P

P unkte

1 . Aufgabe (6 Punkte):

Es seien U, W Untervektorräume eines VektorraumsV. Man zeige, daÿ die Vereinigung U ∪W genau dann ein Unterraum vonV ist, wenn entweder U ⊂W oderW ⊂U gilt.

a) Fürn≥2 sei der Zykel

σ= (1,2, ..., n)∈S_n

Bestimmen Sie alle Permutationenτ ∈Sn, welche mitσkommutieren, d.h. für die gilt σ◦τ=τ◦σ.

b) Es seis∈S₁₀ die Permutationu◦v, wobei

u= (1,2,3,4,5)undv= (6,7,8,9,10)

Bestimmen Sie die Permutationen τ ∈ Sn, welche mit s kommutieren, d.h. τ◦s =s◦τ. (Hinweis: Zeigen Sie zunächst, daÿ diese Elemente zusammengenommen eine Gruppe in der S10ergeben und benutzen Sie Teila).

i

(2)

Es seiKein Körper undM 6=∅ eine Menge undx∈M ein darin enthaltenes Element gegeben.

Zeigen Sie:

a) Die Mengen

U ={f ∈K^M|f(x) = 0}

und

V ={f ∈K^M|f(a) =f(b)für allea, b∈M} sind zwei Untervektorräume vonK^M.

b) U ∩V ={0}. c) U +V =K^M. 4 . Aufgabe (6 Punkte):

a) Es seiK ein Körper und

K[X] :={ X

0≤i≤n

a_iXⁱ|n∈N, a_i∈K}

die Menge der Polynome mit Koezienten inK. Zeigen Sie, daÿ diese einenK−Vektorraum bilden.

b) Ist für einn∈Nein Element P(X) = X

0≤i≤n

a_iXⁱ∈K[X]mita_n6= 0 gegeben, dann ist

deg(P(X)) :=n der Grad des PolynomsP(X).

Es sei(P(X)n)_n∈

N eine Folge von Polynomen mitdeg(P(X)n) =nfür jedesn∈N. Zeigen Sie (induktiv):

Der Teilraum K[X]n :={f ∈K[X] :deg(f)≤n} wird von{P(X)1, ..., P(X)n}erzeugt.

c) Folgern Sie:(P(X)n)_n∈

N ist eine Basis des VektorraumsK[X], d.h. Jedes Elementf(X)∈ K[X]ist endliche Linearkombination von ElementenP(X)n.

ii