Übungen zur Linearen Algebra
-8. Blatt-
Prof. Dr. K. Wingberg WS 2007/2008
J. Bartels abzugeben bis Dienstag, den 18. Dezember 2007 um 9:30 Uhr
http://www.mathi.uni-heidelberg.de/˜bartels/LA
Name: /name/
Matrikelnummer: /nr/
Übungsleiter: /uebleiter/
Man achte auf eine saubere Darstellung und eine ordentliche Schrift. Bitte keine maschinell er- stellten Lösungen abgeben.
Auf gabe 1 2 3 4 P
P unkte
1 . Aufgabe (6 Punkte):
Zeigen Sie, daÿ die Matrizen
A=
1 0 · · · 0
1 11 ... ...
... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
1 p1
· · · pq
· · · pp
0 ...
... ... ... ... ...
... ... ... 0
1 n1
· · · nq
· · · n−1n n
n
i
und
B=
1 0 · · · 0
−1 11 ... ...
... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
(−1)p (−1)p−1 p1
· · · (−1)p−q pq
· · · pp
0 ...
... ... ... ... ...
... ... ... 0
(−1)n (−1)n−1 n1
· · · (−1)n−q nq
· · · nn
zueinander inverse Matrizen sind - hierbei ist npder aus der Analysis bekannte Binomialkoezi- ent, also
n p
= n!
p!(n−p)!. 2 . Aufgabe (6 Punkte):
Es seiA= (ai,j)∈Mn(C)eine Matrix gegeben, für die
|ai,i|>X
j6=i
|ai,j| gilt. Zeigen Sie, daÿ diese Matrix invertierbar ist.
Hinweis: Man kann dies zeigen, indem man sich eine Linearkombination der Spalten anguckt oder induktiv vorgeht.
3 . Aufgabe (6 Punkte):
a) Sindσ1, σ2∈Sn gegeben, dann istσ1σ2σ1−1σ2−1∈An. b) Istτ ∈An, dann gibt esσ1, σ2∈Sn mitτ=σ1σ2σ1−1σ2−1. 4 . Aufgabe (6 Punkte):
Was ist das Zentrum derSn? Was ist das Zentrum derAn?
ii
