Übungen zur Linearen Algebra
-6. Blatt-
Prof. Dr. K. Wingberg WS 2007/2008
J. Bartels abzugeben bis Dienstag, den 4. Dezember 2007 um 9:30 Uhr
http://www.mathi.uni-heidelberg.de/˜bartels/UebungenLA0708.htm
Name: /name/
Matrikelnummer: /nr/
Übungsleiter: /uebleiter/
Man achte auf eine saubere Darstellung und eine ordentliche Schrift. Bitte keine maschinell er- stellten Lösungen abgeben.
Auf gabe 1 2 3 4 P
P unkte
1 . Aufgabe (6 Punkte):
V sei ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem KörperK undf :V →V ein Endomor- phismus mitf◦f =f. Zeigen Sie, daÿ es Unterräume U, W ≤V gibt, so daÿ
-
V =U⊕W - f(U)⊆U undf(W)⊆W
- f|U :U →U ist die Identität aufU. - f|W :W →W ist die Nullabbildung.
2 . Aufgabe (6 Punkte):
Es seien E, F zwei K−Vektorräume endlicher Dimension und f ∈ Hom(E, F), g ∈ Hom(F, E) gegeben und es gelte:
g◦f ◦g=g sowief◦g◦f =f a) Man zeige:
E=Bild(g)⊕Kern(f) b) Man vergleiche den Rang vonf undg.
i
3 . Aufgabe (6 Punkte):
Es seien einK−VektorraumE der Dimensionnund zwei Endomorphismenf, g∈End(E)gege- ben.Zeigen Sie:
Rang(f◦g)≥Rang(f) +Rang(g)−n.
4 . Aufgabe (6 Punkte):
Es seien einK−VektorraumE der Dimensionnund ein Endomorphismusf ∈End(E)gegeben.
a) Es sei füri∈Ndie Abbildungfi durchi−maliges Hintereinanderausführen vonf deniert:
fi:=f◦ · · · ◦f Man setze
Bildi:=fi(E)undKerni:=Kern(fi), und zeige für jedesi∈N:
Bildi≥Bildi+1 undKerni≤Kerni+1,
wobei ≤ in der obigen Zeile bedeute, daÿ es sich um Teilräume handelt. Desweiteren gibt es einm∈Nmit der Eigenschaft, daÿ füri≥mstets
Bildi =BildmundKerni=Kernm gilt. Für solche iistEdie direkte Summe
E=Bildi⊕Kerni.
ii
