Formale Grundlagen der Informatik II

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Formale Grundlagen der Informatik II

2. Übungsblatt

Fachbereich Mathematik SS 2011

Prof. Dr. Martin Ziegler 08.06.11

Alexander Kreuzer Carsten Rösnick

Minitest Lösung

a) Seienϕ, ψzwei allgemeingültige Sätze. Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinen richtig?

4 ϕist erfüllbar.

4 ϕ∧ψ ist allgemeingültig.

4 ϕ∨ψ ist allgemeingültig.

4 ¬ϕist nicht erfüllbar.

Begründung:ϕist erfüllbar, weil nach Voraussetzung jedes Modellϕerfüllt und damit es insbeson- dere ein Modell vonϕ gibt. Da für jedes ModellIgilt I|= ϕ, ψ, gilt auchI|= ϕ∧ψ, ϕ∨ψ und damit sindϕ∧ψ, ϕ∨ψallgemeingültig. Weil für jedesIgiltI|= ϕ, folgt dass es keinIgibt, dass I|=¬ϕ, also ist¬ϕnicht erfüllbar.

b) Seienϕ, ψnun zwei erfüllbare Sätze. Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinen richtig?

2 ϕ∧ψ ist erfüllbar.

4 ϕ∨ψ ist erfüllbar.

2 ¬ϕist nicht erfüllbar.

Begründung: Seienϕ ≡ pundψ ≡ ¬p, dann ist ϕ erfüllbar, weil das ModellImit(p)^I = 1den Satz erfüllt, undψ erfüllbar, weil das Modell I⁰ mit (p)^I⁰ = 0den Satzψ erfüllt. Aberϕ∧ψ ≡ 0 und ist damit nicht erfüllbar. Der Satzϕ∨ψist erfüllbar, weil jedes Modell vonϕauch ein Modell vonϕ∨ψ ist. Der Satz¬ϕist im Allgemeinen nicht nicht erfüllbar, weil z.B. fürϕ≡ pgilt dasϕ und¬ϕerfüllbar sind.

Gruppenübung

Aufgabe G1

Seienϕundψ AL-Formeln. Wie kann man das Resolutionsverfahren benutzen, um zu überprüfen, ob (a) ϕunerfüllbar ist;

(b) ϕerfüllbar ist;

(c) ϕallgemeingültig ist;

(d) ϕnicht allgemeingültig ist;

(e) ϕ|=ψ;

(f) eine endliche MengeΦvonAL-Formeln unerfüllbar ist;

(g) eine unendliche MengeΦvonAL-Formeln unerfüllbar ist?

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Aufgabe G2

Seienϕ:= (p∨ ¬q∨ ¬r)∧(¬p∨q∨ ¬r)∧(¬p∨ ¬q)

ψ := (p∧q)∨(¬p∧ ¬q)∨(¬p∧q∧ ¬r)∨(p∧ ¬q∧ ¬r). Zeigen Sie mit Hilfe des Resolutionsverfahrens, dass (a)ϕerfüllbar ist; (b)ϕ|=ψ gilt.

Aufgabe G3

EinDominosystemD = (D, H, V)besteht aus einer endlichen MengeD von quadratischen Dominostei- nen und zwei RelationenH ⊆D×DundV ⊆D×D, so dass

• (d, e)∈H gdw.erechts nebendpasst,

• (d, e)∈V gdw.eüberdpasst.

Wir betrachten ein festes DominosystemD= (D, H, V).

(a) Geben Sie zun ∈ N eine AL-FormelmengeΦ_n an, welche genau dann erfüllbar ist, wenn man ein Quadrat der Größen×nso mit Dominosteinen ausD belegen kann, dass nebeneinander liegende Steine zueinander passen. (Wir nehmen an, dass es von jedem Dominostein beliebig viele Exemplare gibt.)

(b) Beweisen Sie mit Hilfe des Kompaktheitssatzes, dass man die gesamte Ebene N×N korrekt mit Dominosteinen belegen kann, vorausgesetzt dies geht für alle endlichen Quadraten×n.

(c) Beweisen Sie die Aussage aus (b) mit Hilfe des Lemmas von König anstatt des Kompaktheitssatzes.

Hausübung

Aufgabe H1 (6 Punkte)

(a) Überprüfen Sie mit Hilfe der Resolutionsmethode, ob die folgende Formel unerfüllbar ist:

(q∨s)∧(p∨ ¬s)∧(p∨ ¬q∨r∨s)∧(q→(r→s))∧(r∨s)∧((p∧s)→r)∧(¬p∨ ¬r)

(b) Weisen Sie mit Hilfe der Resolutionsmethode die folgende Folgerungsbeziehung nach:

(p∨ ¬q∨r)∧(¬p∨q∨r)|= (¬p∧q∧r)∨(¬p∧ ¬q)∨(¬p→0)

(c) Bestimmen Sie das minimale Modell der folgenden Horn-Formelmenge:

H₀ ={(p∧t)→s, r, (q∧r)→s, t→p, t}

Aufgabe H2

(a) Für — möglicherweise unendliche — FormelmengenΦundΨschreiben wir

^Φ |= _ Ψ,

wenn jede Interpretation, die alle Formelnϕ∈ Φwahr macht, auch mindestens eine Formelψ ∈Ψ wahr macht. Zeigen Sie, dass VΦ |= WΨ impliziert, dass es endliche Teilmengen Φ₀ ⊆ Φ und Ψ₀ ⊆Ψgibt, so dassV

Φ₀ |=W Ψ₀.

(b) SeiV = {p₁, p₂, p₃, . . .}. Eine InterpretationI:V →B kann aufgefasst werden als die unendliche Bit-SequenzI(p₁)I(p₂)I(p₃). . .

P sei irgendeine Teilmenge aller solchen Sequenzen, so dass sowohlP als auch das KomplementP durch (unendliche)AL-Formelmengen spezifiziert werden können, in dem Sinne, dass

P = {I : I|= Φ}

P = {I : I|= Ψ}

für geeigneteΦ,Ψ⊆AL(V).

Zeigen Sie, dass dann sowohlP als auchP jeweils schon durch eine einzelneAL-Formel spezifiziert werden können (und also nur von endlichen Abschnitten der Sequenzen abhängen können).

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