1 AUFGABE 12

1 AUFGABE 12 1

1 Aufgabe 12

Es gilt τj =j, also sindµj =j+³₂ die Greville-Abszissen.

Wir wissen aus dem Skript:

Satz 1.1. Gilt Qj(· −τ)^ν−1= Ψ^n,ν_j (τ) so hat Qdie Ordnung ν.

Q₀(· −τ)² =αg(µ_j+a) +βg(µ_j +b) =α(0 +3

2 +a−τ)²+β(0 + 3

2+b−τ)²

=α(9 4 +3

2·2a−3τ+a²−2aτ+τ²) +β(9

4 + 3b−3τ +b²−2bτ+τ²)

= (α+β)9

4+ 3(aα+bβ) +a²α+b²β+ (−3α−2aα−3β−2bβ)τ+ (α+β)τ² Die soll identisch sein mit

Ψ³₀(τ) = (1−τ)(2−τ) = 2−3τ +τ² Koeffizientenvergleich liefert

α+β = 1

3α+ 2aα+ 3β+ 2bβ = 3⇒3(α+β) + 2aα+ 2bβ= 3 + 2aα+ 2bβ = 3⇒aα+bβ = 0 und

(α+β)9

4 + 3(aα+bβ) +a²α+b²β= 2⇒ 9

4 + 0 +a²α+b²β= 2⇒a²α+b²β=−1 4

Nun betrachten wir uns die Abh¨angigkeiten der vorkommenden Variablen - schließlich haben wir in denQ_jg ein Glied

”zu wenig“ und entsprechend zus¨atzliche Abh¨angigkeiten.

1. Fall:a=b:

−1

4 =a²α+b²β=a(aα+bβ) =a·0 = 0 Also ist a6=b. Es folgt

α= 1−β⇒0 =a(1−β) +bβ=a+β(b−a)⇒ −a=β(b−a)⇒β= −a b−a

⇒α= 1−β= 1 + a

b−a = b−a+a

b−a = b b−a a²α+b²β =a² b

b−a+b² −a

b−a = a²b−b²a

b−a = ab(a−b)

b−a =−ab=^! −1

4 ⇒ab= 1 4