UND HEVISIDE-FUNKTION ZUR BERECHNUNG DER INNEREN KRÄFTE UND VERSCHIEBUNGEN IN GEBOGENEN BALKEN

Misztal Stanis³aw Misztal Grzegorz

Technische Universität, Zielona Góra, Polen

ANWENDUNG VON δδ-DIRAC-FUNKTION UND HEVISIDE-FUNKTION ZUR BERECHNUNG DER INNEREN KRÄFTE UND VERSCHIEBUNGEN

IN GEBOGENEN BALKEN

1. Vorwort

Die Computermethoden der Berechnung von Stabkonstruktionen verlangen oft die Bestim- mung der inneren Kräfte und Verschiebungen in den Einfeldbalken bei Anwendung einer ein-heitlichen Berechnungsmethode für beliebige Belastungen. Bei Anwendung der Verschiebungsmethode zur Berechnung von Stabsystemen werden beispielsweise innere Kräfte und Verschiebungen an den Knoten gewonnen. In den Abschnitten zwischen den Knoten ist es notwendig , zwecks der Bestimmung von inneren Kräften und Verschiebungen , die Einfeldbalken zu berechnen, mit den aufgegebenen beliebigen Feldbelastungen und Randbedingungen an den Enden der Stäbe (in den Knoten) in Form von Biegemomenten und Verschiebungen.

In der dargestellter Bearbeitung wurden zur Beschreibung der diskreten Belastungsfunktio- nen auf der Stablänge die Delta-Dirac-Funktion δ(x-x_i) und die Heviside-Funktion h(x-x_j) angewendet.

2. Theoretische Grundlagen

In der praktischen Anwendungen können neben den Einzelkräften und dem Kraftpaar, als eindeutig bestimmten gröβen, beliebige stetige Belastungen auftreten, die mit der zu praktischen Zwecken ausreichenden Annährungen durch eine Reihe von Trapezlasten ersetzt werden können (im Verhältnis zu der die stetige Belastungsfunktion bestimmenden Kurve umbeschrieben, eingeschrieben oder im Mittelwert gerechnet) - Bild 2.1.

a) q(x) q

₂₂

=q

₃₁

q

₃₂

q

₁₂

=q

₂₁

q

₁₁

x x

₁₁

x

₁₂

=x

₂₁

x

₂₂

=x

₃₁

x

₃₂

q(x) q

₃₂

=q

₄₁

b ) q

₂₂

=q

₃₁

q

₄₂

q

₁₂

=q

₂₁

q

₁₁

=0 x

x₁₁ x₁₂ =x₂₁ x₂₂ =x₃₁ x₃₂ =x₄₁ x₄₂

Bild 2.1. Trapeze: a) auf der Kurve umbeschrieben, b) in die Kurve eingeschrieben Zur bestimmung der inneren Kräfte und Verschiebungen in den Einfeldbalken von beliebigan Abstützungsbediengungen (von beliebigen Randbedingungen) wurde die Differential-glaichung der Achse des verformten homogenen Balkens vom festen Querschnitt verwendet in Form von

E I d y

dx q x

⋅ ⋅z ⁴₄ = − * ( ) (2.1.)

wo:

EI_z - Biegesteifigkeit des Balkens (E - Elastizitätsmodul, I_z - Tragheitsmoment des Quer- schnitts von dem Balkenquerschnitt hinsichtlich der zentralen Haupttragheitsächse berechnet)

x - Koordinate längs der Balkenachse,

y - Verschiebung der Balkenachse (senkrecht zur x-Achse)

z - Achse, die zu der durch die Koordinaten x und y gebildeten Ebene senkrecht ist, q*(x)-Allgemeinbelastung, die alle durch die Abhängigkeit (2.2.) umbeschriebenen Belastungen auf der ganzen Balkenlänge umfaβt,

[ ]

q x P_i x x_i q h x x q h x x M x x

i np

xj j xj j k

k nm

k j

nq

* ( )= ⋅ ( − )+ ⋅ ( − )− ⋅ ( − ) + ⋅ ^'( − )

= = =

∑

^δ

∑ ∑

^δ

1 1 1 2 2

1 1

, (2.2.)

in der:

np - Zahl der Einzelkräfte in dem gegebenen Balkenfeld,

nq - Zahl der stetigen Trapezlasten in dem gegebenen Balkenfeld,

nm- Zahl der Einzelmomente in dem gegebenen Balkenfeld.

q_1xj = q_1j + b_jj (x - x_1j), q_2xj = q_2j + b_jj (x - x_2j), (2.3.) b_jj = (q_2j - q_1j) / (x_2j - x_1j) (2.4.) δ(x-x_i), δ^‘(x-x_i) - δ - Dirac - Funktion und ihre Ableitung nach Variable x;

0 dla x ≠ x_i

δ(x-x_i) = (2.5.) ∞ dla x = x_i

Die Stammfunktion der δ - Dirac - Funktion ist die Heviside - Funktion h(x-x_i) 0 dla x < x_i

h(x-x_i) = (2.6.) 1 dla x ≥ x_i

Das Schema des beanspruchten Einfeldbalkens und die angenommenen Bezeichnungen wurden auf dem Bild 2.2. Natürlich können auf der Balkenfeldlänge die beliebige Zahl der

„np” Belastungen in Form von Einzelkräften P_i , die beliebige Zahl der „nq” in Form von Trappezlasten q_xj sowie die beliebige Zahl der Einzelmomente M_k auftreten. Auf dem Bild 2.2. wurden die Einzelkräfte , die Trapezlast und das Einzelmoment dargestellt, als die Reprä- sentanten dieser drei Belastungmengen.

P

i

q

2j

M

k

q

2xj

q

1j

q

1xj

x

x

i

x

1j

y(x) x

x

2j

x

k

y l

Bild 2.2. Statisches Balkenschema und die angenommenen Bezeichnungen Nach der Differentiation der Funktion h(x-x_i) erhielt man

⋅ d − + = − dx[ (h x x_i) A] δ(x x_i) (2.7.)

Die Stammfunktionen der δ - Dirac - Funktion sind die folgende Abhängigkeiten:

^{⋅ d}

[

^{− ⋅ − + ⋅ +}

]

^{− + = −}

dx x x h x x A x B d

dx h x x A x x

i i i i

2

2 ( ) ( ) [ ( ) ] δ( ) (2.8.)

⋅ −

⋅ − + ⋅ + ⋅ +



 

 = − d

dx

x xⁱ h x x_i A x B x C x x_i

3 3

2

2

2 2

( )

( ) / δ( )

(2.9.)

d dx

x xⁱ h x x_i A x B x C x D x x_i

4 4

3

3 2

6 6 2

( )

( ) / / ( )

− ⋅ − + ⋅ + ⋅ + ⋅ +



 

 =δ − (2.10.) Die graphische Interpretation der δ - Dirac - Funktion , ihrer Ableitung und auch ihrer Stammfunktionen wurde auf dem Bild 2.3. dargestellt. Die Integrationkonstanten A, B, C, D, die in den Gleichungen (2.7.) - (2.10.) auftreten und die das Ergebnis der Differential- gleichung (2.1.) sind wurden aus den Randbedingungen je nach der Art der Balkenunter- stützung an beiden Enden (jeweils zwej Randbedingungen an jedem Balkenende) bestimmt.

x

_i

l

o δ

^‘

(x-x

_i

) o δ(x-x

_i

) o h(x-x

_i

) 1

o (x-x

_i

)*h(x-x

_i

) o (x-x

_i

)

²

/2 * h(x-x

_i

) o (x-x

i

)

³

/6 * h(x-x

i

)

Rys. 2.3. Die graphische Interpretation der δ - Dirac - Funktion, ihrer Ableitung sowie ihrer Stammfunktionen

Indem die Abhängigkeit (2.1.) einfach mal x integriert wurde, bei Berücksichtigung (2.2.) erhielt man:

[ ]

T x EI d y

dx P h x x q x x b x x h x x

z i i

i np

j j jj j j

j nq

( )= − = − ⋅ ( − )− ( − )+ ⋅( − ) / ⋅ ( − )+

= =

∑ ∑

3

3 1

1 1 1 2

1 1

2

⁺

[

^{⋅ − + ⋅ −}

]

^{⋅ − − ⋅ − +}

=

=

∑

∑

^{q j x x j bjj x x j h x x j Mk x xk A}

k nm

j nq

2 2 2

2

2

1 1

2

( ) ( ) / ( ) δ( ) (

2.11.)

M x EI d y

dx P x x h x x

z i i i

i np

( )= − = − ⋅( − )⋅ ( − )+

∑

= 2

2 1

[ ]

− ⋅ − + ⋅ − ⋅ − +

∑

= ^{q j x x j bjj x x j h x x j} j

nq

1 1 2

1 3

1 1

2 6

( ) / ( ) / ( )

[ ]

+ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − +

∑

= ^{q j x x j bjj x x j h x x j} j

nq

2 2

2

2 3

2 1

2 6

( ) / ( ) / ( )

− ⋅ − + ⋅ +

∑

= ^{Mk h x xk A x B} k

nm

( )

1

(2.12.)

EI x EI d y

dx P x x h x x

z z i i i

i np

⋅

=

= = −

∑

⋅ − ⋅ − +

θ( ) [( ) / ] (² )

1

2

⁻

[

^{⋅ − + ⋅ −}

]

^{⋅ − +}

∑

= ^{q j x x j bjj x x j h x x j} j

nq

1 1

3

1 4

1 1

6 24

( ) / ( ) / ( )

⁺

[

^{⋅ − + ⋅ −}

]

^{⋅ − +}

∑

= ^{q j x x j bjj x x j h x x j} j

nq

2 2 3

2 4

2 1

6 24

( ) / ( ) / ( )

−

∑

^Mk ⋅^{(x x}− ^k)⋅^{h x(} −^xk) + ⋅^{A x2 /2}+ ⋅ +^{B x C} (2.13.)

EI_z y P_i x x_i h x x_i

i

⋅ = −np ⋅ − ⋅ − +

∑

= ^{[( ) / ] (3 )}

1

6

[ ]

− ⋅ − + ⋅ − ⋅ − +

∑

= ^{q j x x j bjj x x j h x x j} j

nq

1 1 4

1 5

1 1

24 120

( ) / ( ) / ( )

[ ]

+ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − +

∑

= ^{q j x x j bjj x x j h x x j} j

nq

2 2

4

2 5

2 1

24 120

( ) / ( ) / ( )

− ⋅ − ⋅ − + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

∑

= ^{Mk x xk h x xk A x B x C x D}

k nm

[( ) / ] (² ) ³ / ² /

1

2 6 2

(2.14.)

Die Integrationskonstanten A, B, C, D, die id den Gleichung (2.11.) - (2.14.) auftreten und die das Ergebnis der Integration der Differentialgleichung (2.1.) sind, werden aus den Randbedingungen je nach der Art der Balken unterstützung an beiden Enden bestimmt

(jeweils zwei Randbedingungen an jedem Balkenende).

3. Beispiel für Bestimmung von Integrationskonstanten für den frei gelagerten Balken mit den auf beiden Stützen A und B aufgegebenen Verschiebungen

(M₁ i M₃ - Einspannungsmomente an den Stabenden, als Feldmomente angesehen, den Stützen A und B unendlich nach gelegen)

Für x=0, dy/dx=θA;sowie y =y_A daher die Integrationskonstanten .

C EI= _z⋅θ_A (3.1)

D=EI y_z⋅ _A (3.2.)

np=2; nq=2; nm=3

M

1

P

1

P

2

q

11

q

₂₁₌

q

₁₂

q

₂₂

M

2

M

3

A B y

_A

θ

A

y

_B

l

θ

_B

Bild 3.1.

Für x=l, dy/dx=θB; sowie y =y_B,.

A l B l C EI_{z B} R P_i l x_i h l x_i

i

⋅ + ⋅ + + _⋅ = = np ⋅ − ⋅ − +

∑

= 2

3

2 1

2 2

/ θ [( ) / ] ( )

⁺

[

^{⋅ − + ⋅ −}

]

^{⋅ − +}

∑

= ^{q j l x j bjj l x j h l x j} j

nq

1 1

3

1 4

1 1

6 24

( ) / ( ) / ( )

⁻

[

^{⋅ − + ⋅ −}

]

^{⋅ − +}

∑

= ^{q j l x j bjj l x j h l x j} j

nq

2 2

3

2 4

2 1

6 24

( ) / ( ) / ( )

+ ⋅ − ⋅ −

∑

= ^{Mk l xk h l xk} k

nm

( ) ( )

1

(3.3.)

{

A l B l C D l EI y l R

l P l x h l x

z B i i i

i np

⋅ + ⋅ + + + ⋅ = = ⋅ − ⋅ − +

∑

= 2

4

3 1

6 2 1

6

/ / / / [( ) / ] ( )

[ ]

+ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − +

∑

= ^{q j l x j bjj l x j h l x j} j

nq

1 1

4

1 5

1 1

24 120

( ) / ( ) / ( )

[ ]

− ⋅ − + ⋅ − ⋅ − +

∑

= ^{q j l x j bjj l x j h l x j} j

nq

2 2

4

2 5

2 1

24 120

( ) / ( ) / ( )

^{+ ⋅ − ⋅ −}

}

∑

= ^{Mk l xk h l xk} k

nm

[( ) / ] (² )

1

2

(3.4) Daher erhielt man zwei lineare Gleichungen zur Bestimmung von

Integrationskonstanten

A l⋅ ² /2+ ⋅ + +B l C EI_z⋅θ_B =R₃

A l⋅ ² /3+ ⋅ + ⋅ + ⋅B l 2 C 2 D l/ + ⋅2 EI_z ⋅y_B /l= ⋅2 R₄ Indem mit Seiten subtrahiert wurde und nach den Transformationen erhielt man:

^A

[ ]

l C D l EI_{z B} EI_z y_B l R R

= 6 + ⋅ − _⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅

2 2 2

2 / θ / 3 4 (3.5.)

^B=1_l

[

^{R3 − ⋅A l2 /2− −C EIz⋅ ⋅θB}

^]

(3.6.)