Technische Universit¨at Wien WS 2009/10 Institut f¨ur Analysis u. Scientific Coumputing
Prof. Dr. A. Arnold / Dipl.-Math. J. Geier
6. ¨Ubungsblatt zur VL
“Zeitabh¨angige Probleme in Physik und Technik”
(inkompressible Navier-Stokes Gleichungen/Vektorfelder) 1. Aufgabe
Betrachten Sie eine station¨are Str¨omung zwischen zwei unendlich langen, koaxialen, (langsam) rotierenden Kreiszylindern. Das homogene Fluid werde durch die inkompres- siblen Navier-Stokes Gleichungen + Haftbedingungen beschrieben.
a) Bestimmen Sie eine radialsymmetrische, station¨are L¨osung unter der Annahme f = 0, ∂p∂z = 0 unduz =uz(r).
b) Geben sieuθ und den Druck p an, wenn der ¨außere Zylinder fehlt und der innere den Radius R und die Winkelgeschwindigkeit ω hat.
Bemerkung: Die hier berechnete laminare Str¨omung (
”konzentrische Couette Str¨omung“) ist f¨ur kleine Rotationsgeschindigkeiten des Innenzylinders stabil. Andernfalls bilden sich Wirbel (
”Taylor Wirbelstr¨omung“), da die durch die Zentrifugalkraft beschleunigte Fl¨ussigkeit am inneren Zylinder nach außen dr¨angt (siehe Bilder).
Hinweis: Die DGL y00+1ry0−r12y= 0 hat L¨osungen der Form y(r) = rα. Weiterhin gilt divu = 1
r
∂
∂r(rur) + 1 r
∂
∂θuθ + ∂
∂zuz .
2. Aufgabe
Es sei ZR={x∈R3
x21+x22 < R2} der offene Zylinder mit Radius R und Ω =R3\ZR. Auf Ω sei die Str¨omung u gegeben durch
u(x) = wR
x21+x22
−x2
x1 0
.
Zeigen Sie, dass rotu= 0 gilt und berechnen Sie ein (mehrwertiges)
”Potential“ Φ : Ω−→
R mit u=∇Φ.
3. Aufgabe
Es seien~a,~b∈R3. Finden Sie ein Vektorfeld~u= (u, v, w)T: R3 −→R3 mit rot~u = ~b , div~u = ~a·~x .
Ist die L¨osung eindeutig?
4. Aufgabe
Finden Sie ein Vektorfeld~u= (u, v)T: R2 −→R2 mit
rot~u = 0, div~u= 0 und vy = 2x 3y2−x2 (x2+y2)3 . Ist die L¨osung eindeutig? Geben Sie ein Potential ϕ mit ~u=∇ϕ an.
Die/eine L¨osung u ist eine sogenannte Dipolstr¨omung. Skizzieren Sie u.