Aufgabe Betrachten Sie eine station¨are Str¨omung zwischen zwei unendlich langen, koaxialen, (langsam) rotierenden Kreiszylindern

Technische Universit¨at Wien WS 2009/10 Institut f¨ur Analysis u. Scientific Coumputing

Prof. Dr. A. Arnold / Dipl.-Math. J. Geier

6. ¨Ubungsblatt zur VL

“Zeitabh¨angige Probleme in Physik und Technik”

(inkompressible Navier-Stokes Gleichungen/Vektorfelder) 1. Aufgabe

Betrachten Sie eine station¨are Str¨omung zwischen zwei unendlich langen, koaxialen, (langsam) rotierenden Kreiszylindern. Das homogene Fluid werde durch die inkompres- siblen Navier-Stokes Gleichungen + Haftbedingungen beschrieben.

a) Bestimmen Sie eine radialsymmetrische, station¨are L¨osung unter der Annahme f = 0, ^∂p_∂z = 0 undu_z =u_z(r).

b) Geben sieu_θ und den Druck p an, wenn der ¨außere Zylinder fehlt und der innere den Radius R und die Winkelgeschwindigkeit ω hat.

Bemerkung: Die hier berechnete laminare Str¨omung (

”konzentrische Couette Str¨omung“) ist f¨ur kleine Rotationsgeschindigkeiten des Innenzylinders stabil. Andernfalls bilden sich Wirbel (

”Taylor Wirbelstr¨omung“), da die durch die Zentrifugalkraft beschleunigte Fl¨ussigkeit am inneren Zylinder nach außen dr¨angt (siehe Bilder).

Hinweis: Die DGL y⁰⁰+¹_ry⁰−_r¹2y= 0 hat L¨osungen der Form y(r) = r^α. Weiterhin gilt divu = 1

r

∂

∂r(ru_r) + 1 r

∂

∂θu_θ + ∂

∂zu_z .

2. Aufgabe

Es sei Z_R={x∈R³

x²₁+x²₂ < R²} der offene Zylinder mit Radius R und Ω =R³\Z_R. Auf Ω sei die Str¨omung u gegeben durch

u(x) = wR

x²₁+x²₂





−x2

x₁ 0



 .

Zeigen Sie, dass rotu= 0 gilt und berechnen Sie ein (mehrwertiges)

”Potential“ Φ : Ω−→

R mit u=∇Φ.

3. Aufgabe

Es seien~a,~b∈R³. Finden Sie ein Vektorfeld~u= (u, v, w)^T: R³ −→R³ mit rot~u = ~b , div~u = ~a·~x .

Ist die L¨osung eindeutig?

4. Aufgabe

Finden Sie ein Vektorfeld~u= (u, v)^T: R² −→R² mit

rot~u = 0, div~u= 0 und v_y = 2x 3y²−x² (x²+y²)³ . Ist die L¨osung eindeutig? Geben Sie ein Potential ϕ mit ~u=∇ϕ an.

Die/eine L¨osung u ist eine sogenannte Dipolstr¨omung. Skizzieren Sie u.