Zusammenhang Delaunay 2D/Konvexe H¨ ulle 3D

(1)

Voronoi Diagramme: Transformationen, Verallgemeinerungen

Elmar Langetepe University of Bonn

Algorithmische Geometrie Transformationen 08.07.15 cElmar Langetepe SS ’15 1

(2)

Zusammenhang Delaunay 2D/Konvexe H¨ ulle 3D

(3)

Zusammenhang Delaunay 2D/Konvexe H¨ ulle 3D

• Reduktion von DT(S) auf ch(S⁰) im IR³

(4)

Zusammenhang Delaunay 2D/Konvexe H¨ ulle 3D

• Konvexe H¨ulle im IR³, Punktmenge S⁰

(5)

Zusammenhang Delaunay 2D/Konvexe H¨ ulle 3D

• Ergebnis: Konvexer Polyeder

(6)

Zusammenhang Delaunay 2D/Konvexe H¨ ulle 3D

• Keine vier Punkte in einer Ebene: Dreiecksfl¨achen

(7)

Zusammenhang Delaunay 2D/Konvexe H¨ ulle 3D

• Berechnungsverfahren: Randomisierte inkrementelle Konstruktion

(8)

Zusammenhang Delaunay 2D/Konvexe H¨ ulle 3D

• Analog zum 2-dimensionalen Verfahren:

(9)

Zusammenhang Delaunay 2D/Konvexe H¨ ulle 3D

• Analog zum 2-dimensionalen Verfahren:

Erwartete Laufzeit O(n log n)

(10)

Projektion Punkte 2D nach 3D

(11)

Projektion Punkte 2D nach 3D

• Paraboloid im IR³: P = {(x, y, z) ∈ IR³; x² + y² = z}

(12)

Projektion Punkte 2D nach 3D

• Rotation der Parabel {Y ² = Z} um die Z-Achse

(13)

Projektion Punkte 2D nach 3D

• Punkt p = (x, y) projeziere p⁰ = (x, y, x² + y²) auf P

Z=X²+Y² E

Z

C'

C p p'

q q'

r r'

(14)

Projektion Punkte 2D nach 3D

• Punkt p = (x, y) projeziere p⁰ = (x, y, x² + y²) auf P

• Auf Punktmengen S fortsetzen

Z=X²+Y² E

Z

C'

C p p'

q q'

r r'

(15)

Kreisprojektion

Z=X²+Y² E

Z

C'

C p p'

q q'

r r'

(16)

Kreisprojektion

Lemma 6.17 Sei K der Rand eines Kreises in der XY -Ebene. Dann ist die geschlossene Kurve K⁰ auf dem Paraboloid P in einer Ebene des IR³ enthalten.

Z=X²+Y² E

Z

C'

C p p'

q q'

r r'

(17)

Kreisprojektion

Projektion des Kreises liegt in einer Ebene!

Z=X²+Y² E

Z

C'

C p p'

q q'

r r'

(18)

Kreisprojektion

Projektion des Kreises liegt in einer Ebene!

Beweis: Direkte Manipulation!

Z=X²+Y² E

Z

C'

C p p'

q q'

r r'

(19)

Konsequenz Delaunay Triangulation

Z=X²+Y² E

Z

C'

C p p'

q q'

r r'

(20)

Konsequenz Delaunay Triangulation

Theorem 6.18 Sei S eine endliche Punktmenge in der XY -Ebene.

Dann ist die Delaunay-Triangulation von S gleich der Projektion der unteren konvexen H¨ulle von S⁰ auf die XY -Ebene.

Z=X²+Y² E

Z

C'

C p p'

q q'

r r'

(21)

Konsequenz Delaunay Triangulation

Theorem 6.18 Sei S eine endliche Punktmenge in der XY -Ebene.

Dann ist die Delaunay-Triangulation von S gleich der Projektion der unteren konvexen H¨ulle von S⁰ auf die XY -Ebene.

Beweis: Zusammenhang leerer Delaunay-Kreis und Ebene auf konvexer H¨ulle

Z=X²+Y² E

Z

C'

C p p'

q q'

r r'

(22)

Voronoi Diagramm: Andere Metriken

(23)

Voronoi Diagramm: Andere Metriken

• Bislang Euklidische Metrik: L₂(p, q) = p

|p₁ − q₁|² + |p₂ − q₂|²

(24)

Voronoi Diagramm: Andere Metriken

|p₁ − q₁|² + |p₂ − q₂|²

• Manhattan Metrik: L₁(p, q) = |p₁ − q₁| + |p₂ − q₂|

(25)

Voronoi Diagramm: Andere Metriken

|p₁ − q₁|² + |p₂ − q₂|²

• Maximum-Metrik: L_∞(p, q) = max(|p₁ − q₁|, |p₂ − q₂|)

(26)

Voronoi Diagramm: Andere Metriken

|p₁ − q₁|² + |p₂ − q₂|²

• Einheitskreise

(27)

Voronoi Diagramm: Andere Metriken

|p₁ − q₁|² + |p₂ − q₂|²

• Einheitskreise

• Konvexe Distanzfunktionen

(28)

Voronoi Diagramm: Andere Metriken

|p₁ − q₁|² + |p₂ − q₂|²

• Einheitskreise

• Voronoi-Diagramme daf¨ur

(29)

Definition: Konvexe Distanzfunktion

0

C C

r

r'

q'

q p

(30)

Definition: Konvexe Distanzfunktion

• Einheitskreis C kompakte, konvexe Menge im IR²

0

C C

r

r'

q'

q p

(31)

Definition: Konvexe Distanzfunktion

• Nullpunkt in C enthalten

0

C C

r

r'

q'

q p

(32)

Definition: Konvexe Distanzfunktion

• Abstand von p nach q:

0

C C

r

r'

q'

q p

(33)

Definition: Konvexe Distanzfunktion

• Abstand von p nach q: C verschieben, Strahl von p durch q schneidet Rand von C bei q⁰

0

C C

r

r'

q'

q p

(34)

Definition: Konvexe Distanzfunktion

• Abstand von p nach q: C verschieben, Strahl von p durch q schneidet Rand von C bei q⁰

• d_C(p, q) := _|pq^|pq|₀_|, Skalierungsfaktor f¨ur q

0

C C

r

r'

q'

q p

(35)

Konvexe Distanzfunktion

(36)

Konvexe Distanzfunktion

• d_C(p, q) = 0 gdw. p = q

(37)

Konvexe Distanzfunktion

• d_C(p, q) = 0 gdw. p = q

• Dreiecksungleichung gilt

(38)

Konvexe Distanzfunktion

• d_C(p, q) = 0 gdw. p = q

• Symmetrie d_C(p, q) = d_C(q, p) falls C symmetrisch bezgl. (0, 0)

(39)

Konvexe Distanzfunktion

• d_C(p, q) = 0 gdw. p = q

• Einheitskreis: {x ∈ IR²; d_C(0, x) ≤ 1}

(40)

Konvexe Distanzfunktion

• d_C(p, q) = 0 gdw. p = q

• Einheitskreise: L₁ und L_∞

(41)

Konvexe Distanzfunktion

• d_C(p, q) = 0 gdw. p = q

(42)

Konvexe Distanzfunktion

• d_C(p, q) = 0 gdw. p = q

• Nicht streng konvex!

(43)

Konvexe Distanzfunktion

• d_C(p, q) = 0 gdw. p = q

• Nicht streng konvex!

• Voronoi-Diagramm, Bisektoren, Voronoi-Regionen

(44)

Konvexe Distanzfunktion: Bisektoren

0 1 1

(i) B_C(p,q) (ii)

p p

q q

B_C(p,q) (iii)

C

(45)

Konvexe Distanzfunktion: Bisektoren

• Beispiel L₁

0 1 1

(i) B_C(p,q) (ii)

p p

q q

B_C(p,q) (iii)

C

(46)

Konvexe Distanzfunktion: Bisektoren

• Beispiel L₁

• Fl¨achige Bisektoren, falls p, q auf Ecken eines Quadrates liegen liegen

0 1 1

(i) B_C(p,q) (ii)

p p

q q

B_C(p,q) (iii)

C

(47)

Konvexe Distanzfunktion: Bisektoren

• Beispiel L₁

• Abhilfe: Als Rechteck interpretieren

0 1 1

(i) B_C(p,q) (ii)

p p

q q

B_C(p,q) (iii)

C

(48)

Konvexe Distanzfunktion: Bisektoren

• Beispiel L₁

• Abhilfe: Als Rechteck interpretieren

• Senkrechte Elemente sind Bisektor, Fl¨achen verteilen

0 1 1

(i) B_C(p,q) (ii)

p p

q q

B_C(p,q) (iii)

C

(49)

Konvexe Distanzfunktionen: Bisektorbestimmung

(50)

Konvexe Distanzfunktionen: Bisektorbestimmung

• Bisektor zwischen p und q

(51)

Konvexe Distanzfunktionen: Bisektorbestimmung

• Kopien der Einheitskreise

(52)

Konvexe Distanzfunktionen: Bisektorbestimmung

• Wachsen lassen, Schnittpunkte beschreiben Bisektor

(53)

Konvexe Distanzfunktionen: Bisektorbestimmung

• Streng konvex, keine F¨achen

(54)

Konvexe Distanzfunktionen: Bisektorbestimmung

• Streng konvex, keine F¨achen

• Beispiele: Applet

(55)

Konvexe Distanzfunktionen: Unterschiede

p

q

x

p r

p q q r

r C(x)

(56)

Konvexe Distanzfunktionen: Unterschiede

Drei Punkte auf dem Rand eines leeren L₁-Kreises. Zentrum bildet keinen Voronoi Knoten.

p

q

x

p r

p q q r

r C(x)

(57)

Konvexe Distanzfunktionen: Unterschiede

Drei Punkte auf dem Rand eines leeren L₁-Kreises. Zentrum bildet keinen Voronoi Knoten. Beispiel!

p

q

x

p r

p q q r

r C(x)

(58)

Konvexe Distanzfunktionen: Gemeinsamkeiten

(59)

Konvexe Distanzfunktionen: Gemeinsamkeiten

Lemma 5.20 Sei d_C eine konvexe Distanzfunktion. Dann ist jede Voronoi-Region VR_C(p, S) sternf¨ormig und enth¨alt p im Kern.

(60)

Konvexe Distanzfunktionen: Gemeinsamkeiten

Beweis: Widerspruch! Wie bisher!!

(61)

Konvexe Distanzfunktionen: Gemeinsamkeiten

Beweis: Widerspruch! Wie bisher!!

Korollar 5.21 Jede Voronoi-Region bez¨uglich einer konvexen Distanzfunktion ist zusammenh¨angend.