Art Gallery Probleme

(1)

Anwendungen Triangulation

Elmar Langetepe University of Bonn

Algorithmische Geometrie Art Gallery/Kern 13.05.15 cElmar Langetepe SS ’15 1

(2)

Art Gallery Probleme

(3)

Art Gallery Probleme

• Einfaches Polygon gegeben: Wieviel W¨achter werden ben¨otigt?

(4)

Art Gallery Probleme

• Sichtbarkeit: Punkt p ∈ P, Sichtbarkeitspolygon: vis_P(p)

(5)

Art Gallery Probleme

• Vereinigung ergibt das gesamte Polygon!

(6)

Art Gallery Probleme

• Finde kleinste Menge an Punkten: P = Sk

i=1 vis_P(p_i)!

(7)

Art Gallery Probleme

• Finde kleinste Menge an Punkten: P = Sk

i=1 vis_P(p_i)!

(8)

Art Gallery Probleme: Untere/Obere Schranke

(9)

Art Gallery Probleme: Untere/Obere Schranke

Theorem 4.21: Ein einfaches Polygon P mit n Ecken kann stets mit _n

3

Wächtern überwacht werden. Es gibt beliebig große Beispiele, wo diese Anzahl auch benötigt wird.

(10)

Art Gallery Probleme: Untere/Obere Schranke

3

Untere Schranke, skalierbares Beispiel:

(11)

Art Gallery Probleme: Untere/Obere Schranke

3

m

(12)

Art Gallery Probleme: Untere/Obere Schranke

3

m

Obere Schranke: Beweis mit Triangulation!

(13)

Art Gallery Probleme: Obere Schranke

(14)

Art Gallery Probleme: Obere Schranke

• _n

3

W¨achter reichen aus!

(15)

Art Gallery Probleme: Obere Schranke

• _n

3

• k-F¨arbbarkeit eines Graphen (G = (V, E), E ⊆ V × V )

(16)

Art Gallery Probleme: Obere Schranke

• _n

3

• F¨arbe Knoten, jede Kante zwei verschiedene Farben

• Mindest Anzahl k Farben

(17)

Art Gallery Probleme: Obere Schranke

• _n

3

• Chromatic Number, 4-F¨arbbarkeit planarer Graphen

(18)

Art Gallery Probleme: Obere Schranke

• _n

3

• Chromatic Number, 4-F¨arbbarkeit planarer Graphen

1 2

1

3

2

3

1 2

2

1

3 3

2 1

2 e v

(19)

Art Gallery Probleme: Obere Schranke

(20)

Art Gallery Probleme: Obere Schranke

• Beweis: 3-F¨arbbarkeit einer Triangulation, Induktion!

(21)

Art Gallery Probleme: Obere Schranke

• Beweis: 3-F¨arbbarkeit einer Triangulation, Induktion!

1

2 1

3

2

3

1 2

2

1

3

1

3 3

2 1

2 e v

(22)

Art Gallery Probleme: Obere Schranke:

_n

3

1

2

1

3

2

3

1 2

2

1

3 3

2 1

2 e v

(23)

Art Gallery Probleme: Obere Schranke:

_n

3

• 3-F¨arbung verwenden

1

2

1

3

2

3

1 2

2

1

3

1

3 3

2 1

2 e v

(24)

Art Gallery Probleme: Obere Schranke:

_n

3

• W¨ahle eine Farbe, dann ist jedes Dreieck bewacht, einsehbar

1

2

1

3

2

3

1 2

2

1

3 3

2 1

2 e v

(25)

Art Gallery Probleme: Obere Schranke:

_n

3

• Es existiert eine Farbe mit ≤ ⁿ₃ vielen Knoten

1

2

1

3

2

3

1 2

2

1

3

1

3 3

2 1

2 e v

(26)

Art Gallery Probleme: Obere Schranke:

_n

3

• Es existiert eine Farbe mit ≤ ⁿ₃ vielen Knoten

• Ganzzahlig reicht: _n

3

1

2

1

3

2

3

1 2

2

1

3 3

2 1

2 e v

(27)

Anwendung Drehwinkel: 4.4 Kern eines Polygons

(i) (ii)

e

e_s e_t

(28)

Anwendung Drehwinkel: 4.4 Kern eines Polygons

• Definition: Sternf¨ormiges Polygon, es ex. p ∈ P mit vis_P(p) = P

(i) (ii)

e

e_s e_t

(29)

Anwendung Drehwinkel: 4.4 Kern eines Polygons

• Definition: Kern, ker(P) := {p ∈ P|vis_P(p) = P}

(i) (ii)

e

e_s e_t

(30)

Anwendung Drehwinkel: 4.4 Kern eines Polygons

• Definition: Kern, ker(P) := {p ∈ P|vis_P(p) = P}

• Wichtiger Bereich, Berechnung in O(n)!

(i) (ii)

e

e_s e_t

(31)

Struktur: Schnitt von Halbebenen

p v

e e'

H⁺(e) H^-(e)

(32)

Struktur: Schnitt von Halbebenen

Jede Kante e definiert zwei Hablebenen H⁻(e) und H⁺(e)

v e

e'

H⁺(e) H^-(e)

(33)

Struktur: Schnitt von Halbebenen

Jede Kante e definiert zwei Hablebenen H⁻(e) und H⁺(e) Lemma 4.22 ker(P) = \

Kante e∈P

H⁺(e)

p v

e e'

H⁺(e) H^-(e)

(34)

Struktur: Schnitt von Halbebenen

Jede Kante e definiert zwei Hablebenen H⁻(e) und H⁺(e) Lemma 4.22 ker(P) = \

Kante e∈P

H⁺(e)

Beweis: Beidseitige Inklusion!

v e

e'

H⁺(e) H^-(e)

(35)

Schnitt von H

⁺

(e)

e_t e_s

b a

(36)

Schnitt von H

⁺

(e)

• Schnitt von Halbebenen, Ω(n log n), spezielle Halbebenen

e_t e

b a

(37)

Schnitt von H

⁺

(e)

• Nicht alle Halbebenen tragen zum Kern bei

e_t e_s

b a

(38)

Schnitt von H

⁺

(e)

• Definition: Wesentliche Halbebenen H⁺(e)

e_t e

b a

(39)

Schnitt von H

⁺

(e)

• Definition: Wesentliche Halbebenen H⁺(e)

• Uber Drehwinkel beantworten¨

e_t e_s

b a

(40)

Drehwinkelfolgen

e_t e_s

b a

(41)

Drehwinkelfolgen

α_max := max

i6=j α_i,j = α_s,t

e_t e_s

b a

(42)

Drehwinkelfolgen

α_max := max

• Bezeichnung: α(e, f), Drehwinkel zwischen Kanten

e_t e_s

b a

(43)

Drehwinkelfolgen

α_max := max

• Bezeichnung: α(e, f), Drehwinkel zwischen Kanten

• α_max zu groß, Kern leer

e_t e_s

b a

(44)

Leerer Kern?

(45)

Leerer Kern?

Lemma 4.23 Falls der maximale Drehwinkel α_max von P gr¨oßer gleich 3π ist, ist der Kern leer.

(46)

Leerer Kern?

e_t e_s

b a

(47)

Leerer Kern?

e_t e_s

b a

Beweis: Spezielle Kantenfolge existiert mit ¨ublen Halbebenen!

(48)

Weitere Folgerung!

(49)

Weitere Folgerung!

Korollar 4.24 Sei der maximale Drehwinkel α_max von P kleiner gleich 3π ist, dann gilt f¨ur je zwei Kanten e_i, e_j: −π < α(e_i, e_j).

(50)

Weitere Folgerung!

Korollar 4.24 Sei der maximale Drehwinkel α_max von P kleiner gleich 3π ist, dann gilt f¨ur je zwei Kanten e_i, e_j: −π < α(e_i, e_j).

Beweis: Einfach!

(51)

Wichtige Teilfolgen ausw¨ ahlen, rekursiv

Aus maximaler Teilfolge: e_s, e_s+1, . . . , e_t f₀ := e_s

f_i+1 :=







erste Kante e hinter f_i mit α(f_i, e) > 0, falls f_i noch vor e_t liegt,

undefiniert sonst.

e_t e_s

b a

(52)

Wichtige Teilfolgen ausw¨ ahlen, rekursiv

Aus maximaler Teilfolge: e_s, e_s+1, . . . , e_t b₀ := e_t

b_i+1 :=







letzte Kante e vor b_i mit α(e, b_i) > 0, falls b_i noch hinter e_s liegt,

undefiniert sonst.

b a

(53)

Wichtige Teilfolgen ausw¨ ahlen, rekursiv

e_t e_s

b a

(54)

Wichtige Teilfolgen ausw¨ ahlen, rekursiv

Theorem 4.25 Sei P ein einfaches Polygon mit maximalem

Drehwinkel < 3π. Dann geh¨ort jede f¨ur den Kern wesentliche Kante von P zur Folge F oder zur Folge B.

b a

(55)

Wichtige Teilfolgen ausw¨ ahlen, rekursiv

Beweis!

e_t e_s

b a

(56)

Wichtige Teilfolgen ausw¨ ahlen, rekursiv

Beweis! Vorteil?

b a

(57)

Wichtige Teilfolgen ausw¨ ahlen, rekursiv

Beweis! Vorteil?

Die Folgen B und F sind sortiert nach Steigungen!!

e_t e_s

b a

(58)

Ergebnisse sammeln: Kern in O(n)

(59)

Ergebnisse sammeln: Kern in O(n)

Theorem 4.26 Der Kern eines einfachen Polygones mit n Ecken kann in Zeit und Platz O(n) berechnet werden.

(60)

Ergebnisse sammeln: Kern in O(n)

Beweis:

(61)

Ergebnisse sammeln: Kern in O(n)

Beweis:

• Maximale Teilfolge α_max: Sweep Maximum Subvektor O(n)

(62)

Ergebnisse sammeln: Kern in O(n)

Beweis:

• Daraus die Folgen F und B: Je O(n)

(63)

Ergebnisse sammeln: Kern in O(n)

Beweis:

• Schnitt der Halbebenen der Folgen F und B, sortiert nach Steigung: Je O(n)

(64)

Ergebnisse sammeln: Kern in O(n)

Beweis:

• Schnitt der Halbebenen der Folgen F und B, sortiert nach Steigung: Je O(n)

• Schnitt zweier konvexer Mengen: Untere/Obere Kontur X-monotoner Ketten in jeweils O(n)