0 Fallen allen FAKULT TF RINFORMATIK

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(1)TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Lehrstuhl für Physik-basierte Simulation Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Dr.-Ing. Nils Thürey, G. Kohl, L. Prantl, E. Franz. SS 2021 Übungsblatt 3 2021–04–28. Übung: KW 18 (2021–05–03 2021–05–07) Abgabe H: 2021–05–16 (bis 23:59 Uhr). Aufgabe 3.1 (P) Zufallsvariablen Gegeben sei eine Zahl a 2 {0, 1} sowie eine Zahlenfolge (x1 , x2 , . . . , xk ), wobei xi 2 {0, 1} für alle i 2 {1, . . . , k} gilt, wobei k die Länge der Zahlenfolge ist. Gefragt ist, ob a in der Zahlenfolge vorkommt. Algorithmus 1 löst diese Aufgabe. Berechnen Sie die erwartete Anzahl der Vergleiche xi = a, die dieser Algorithmus durchführt, wenn jede Eingabe mit den oben beschriebenen Eigenschaften mit derselben Wahrscheinlichkeit auftritt. Bestimmen Sie zudem die asymptotisch erwartete Laufzeit. 1 2 3 4 5 6 7 8. Input: int a, int[] (x1 , x2 , . . . , xk ) int i = 1 while i  k do if xi = a then return Ja end i=i+1 end return Nein Algorithm 1: IsElementOf. Hinweis: Verwenden Sie, wie in der Vorlesung demonstriert, binäre Zufallsvariablen (sogenannte Indikatorvariablen). Verwenden Sie zudem, dass für eine binäre Zufallsvariable Y mit P[Y = 1] = cPund P[Y = 0] = 1 c für ein c 2 [0, 1], der Erwartungswert von Y genau c ist, d.h. E[Y ] = y20,1 y · P[Y = y] = 1 · P[Y = 1] + 0 · P[Y = 0] = P[Y = 1] = c. Sie können P n+1 weiter von der Gleichung ni=0 ci = c c 1 1 für c 6= 1 Gebrauch machen. Aufgabe 3.2 (P) Komplexitätsanalyse Gegeben sei eine Zahlenfolge A[0], . . . , A[n 1], wobei die Länge n ist, und eine Zahl x aus dieser Folge. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit von Duplikaten in A vernachlässigbar gering ist. Betrachten wir den folgenden Algorithmus count(x, A): 1 2 3 4. int c = 0; for ( int i = 0; i < n ; i ++) if ( A [ i ] == x ) c ++; return c ;. E. 0. n. in allen 3 Fallen. a) Bestimmen Sie die Komplexität von count im worst-case, best-case und average-case..

(2) 2 b) Überlegen Sie sich einen alternativen Algorithmus, der auf sortierten Folgen arbeitet, und bestimmen Sie dessen Komplexität im worst-case, best-case und average-case. Vergleichen Sie diese mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil a). c) Lässt sich die Komplexität verbessern, indem man die Folge zunächst sortiert?. Aufgabe 3.3 (P) Oh ja, noch mehr Wachstum Seien f, g, h : N0 ! R Funktionen mit 9n0 : 8n > n0 : f (n), g(n), h(n) > 0. Zeigen Sie die folgenden Transitivitätsregeln“. ” (a). f (n) 2 o(g(n)). ) f (n) 2 O(g(n)). (b). f (n) 2 O(g(n)). und g(n) 2 O(h(n)). (c). f (n) 2 o(g(n)). und. g(n) 2 O(h(n)). ) f (n) 2 O(h(n)) ) f (n) 2 o(h(n)). Anmerkung: Diese Regeln sind beispielsweise in folgendem Szenario hilfreich: Angenommen, man möchte zeigen, dass f (n) 2 O(h(n)) gilt. Wenn f und h sehr komplizierte Funktionen sind, für die ein direkter Beweis schwierig ist, kann man einen Zwischenschritt verwenden: Man formuliert eine Funktion g, sodass f (n) 2 O(g(n)) und g(n) 2 O(h(n)) gilt, was über die obigen Regeln f (n) 2 O(h(n)) impliziert. Hat man g geeignet gewählt (f und g sowie g und h unterscheiden sich nur geringfügig), dann kann der Nachweis von f (n) 2 O(g(n)) und g(n) 2 O(h(n)) deutlich einfacher sein als der direkte Beweis von f (n) 2 O(h(n)). (Natürlich kann man diese Methode auch iterativ anwenden und statt einer einzelnen Zwischenfunktion auch mehrere Zwischenfunktionen g1 , g2 , . . . verwenden.) Analoge Regeln dieser Art gelten auch für ⌦ und !. Aufgabe 3.4 (E) Ohne Ende Wachstum Seien f, g, h : N0 ! N Funktionen mit 9n0 2 N : 8n > n0 : f (n), g(n), h(n) > 0. Welche der folgenden Aussagen tre↵en zu? Zeigen oder widerlegen Sie jeweils die Aussage! (a) f (n) 2 !(g(n)) ) f (n) 2 / O(g(n)) (b) f (n) 2 o(g(n)) ) f (n) 2 / ⌦(g(n)) (c) Aus f (n) 2 ⌦(g(n)) und h(n) 2 o(g(n)) folgt f (n) 2 !(h(n)) (d) Aus f (n) 2 O(g(n)) und h(n) 2 !(g(n)) folgt f (n) 2 o(h(n)) Aufgabe 3.5 (E) Zufallsvariablen-Caching Wir nehmen an, wir haben eine CPU mit einem Cache der Größe c und Arbeitsspeicher der Größe r. Beim Lesen einer Adresse wird zuerst der Cache überprüft. Dieser kann den Wert enthalten (hit) oder nicht (miss). Bei einem miss wird der Wert aus dem Arbeitsspeicher gelesen und dabei in den Cache aufgenommen. Die Zeit bei einem miss beinhaltet auch das Laden in den Cache. Die Zufallsvariable T steht für die Zeit die ein Zugri↵ in beiden Fällen benötigt: T (hit) = 2ns T (miss) = 100ns.

(3) 3 Sei n die Anzahl der bisher gelesenen unterschiedlichen Adressen. Für die Wahrscheinlichkeit nehmen wir vereinfachend an: P r[hit] = min(n, c)/r P r[miss] = 1 P r[hit]. Warum verändert sich die Tre↵erwahrscheinlichkeit mit steigender Anzahl an Anfragen zunächst? Berechnen Sie E[T ] für ein angenommenes embedded System mit einem Cache von c = 64 und einem Arbeitsspeicher von r = 128000 für n >= c. Aufgabe 3.6 (H) Dynamisches Array - Diese Aufgabe zählt für den Notenbonus. Sie finden die Aufgabe und weitere wichtige Informationen unter https://artemis.ase. in.tum.de/#/courses/119/exercises/3748..

(4) 3 1. 2k migliore. Xi. PIX X. EHI. Eingaben. Xi wird mit a verglichen. 1. 2k. 1. È. fir das Array. Xi. li. 1. art ii 1 2 34. 1. 2. 2k. ing Anzahi. 1. xiong i1. an Vergleichen. 2k E. 1001. li 1. È1. zi. i. Funktion y ist linear Ernartongswent ist linear. pia. place. È END È worst case best case. q b. und. Ayla. Pixies Hinweis. p atto. È. te c. 0 K 0 1. 1. average case.

(5) 3 2. 0in. a. allen 3. in. Fallen. Binaire Sacha. b. int. Leo. 0. c. le. while. if. 4. la. 1. m. r. 12. Hr. m. ren. Atm while m. mie 1 Ad Atm etti. s'È. Itr. m. while. 1 12 f A length 88 Atm D rechts von Atm etti stehtebenfallse.in. m. Mtt. return c else if mt. Atm. 1. else m. return 0. È. 1. e.

(6) worst. case. average. Iiinrt zur laufze.it 04 da alle n dwplikategez.cihtt warden unissero ht. wird. case. login mal slanfzeit.in 040gal. maximal. ansgefiihrt. also besser als in. best case. a. kommthureinmal.in und. zum. genova. an. A var. Mitte. der. laufzeit.COM c. 3.3. a. da il n jades Element ciumal betrachlet warden Fin vergleichsbasiertesortieraigorittimen muss iiegtdielanfzeitsog.cn in Rcn login. Wein devin sortieren Koster. Gdf. aut. Definition. da. intestardì. 0cg. 0cg. c. I. funktionendieasymptotisc langsouneroderglei.ch. schnell. als gwachs.eu.

(7) b. f. E 0cg. Es. gibe. und e in. Definiere no. tu. no. fin gin fin. kn. no. f. Anz no. n. soda. and. c. e. c'him Dawn. no no. gin. e. Ch. e. no no. gin. E. mai. no. und. 0. c. c. km no fCn Fn noi gin Fn. f. geoch. gilt. c. E chCn. e. gin. e. and. c. c. e. h. c. c. gin. E ch. n. n. c e. fetch c. og. and. ge Och. Fc 7C. 0. Hn. 0. Ino Ino. 1c. 0. Fc 0. fin Ic. E c. fin. e c. f. e. gin Fc. 0. gin. V. 0. no ns.no. Ino. und. gin. Tino. und. f e och. gin. fin. E. oggi. gin. E. c'hln. Ind E. und e. Fn 7 Maisanono. c'hln. Anz no E c'hln.

(8) Jc. fin. E c c. fa f. nn. 0 e. Tino. Fc 0. 0. 01h. c. h. Anz. no. n. c c. Tino. Anz. no. fin. E. c. h. n.

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