Das Maßproblem. Hannes Benne. 1. November Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Informatik. Das Maßproblem Das Inhaltsproblem Literatur

Das Maßproblem

Hannes Benne

Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Informatik

1. November 2018

H.Benne Das Maßproblem 1 / 34

Gliederung

1 Das Maßproblem

Eigenschaften von Maßen Formulierung des Maßproblems Satz von Vitali

2 Das Inhaltsproblem

3 Literatur

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Gliederung

1 Das Maßproblem

Eigenschaften von Maßen Formulierung des Maßproblems Satz von Vitali

2 Das Inhaltsproblem

3 Literatur

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Das Maßproblem

Lässt sich jeder Teilmenge desRⁿ auf sinnvolle Weise ein Volumen zuordnen?

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Eigenschaften von Maßen

Positivität:Keiner Mengen soll ein negatives Volumen zugeordnet werden.

0≤µ(A)fürA∈ P(Rⁿ)

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Eigenschaften von Maßen

Translationsinvarianz:Verschiebt man eine Menge im Raum, soll sich ihr Volumen nicht ändern.

µ(A) =µ(A+x)fürA∈ P(Rⁿ),x ∈Rⁿ

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Eigenschaften von Maßen

σ−Additivität:Wird eine Menge in abzählbar viele disjunkte Teile zerlegt, soll die Summe der Volumina dieser Teilmengen gleich dem Volumen der ursprünglichen Menge sein.

µ(

∞

[

k=1

A_k) =

∞

X

k=1

µ(A_k)fürA_k ∈ P(Rⁿ),k =1,2, . . .

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Eigenschaften von Maßen

Normiertheit:Der n-dimensionale Einheitswürfel soll Volumen eins haben.

µ([0,1]ⁿ) =1

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Weitere Eigenschaften

Aus den bisher geforderten Eigenschaften folgt:

µ(∅) =0

µ({x}) =0 fürx ∈Rⁿ µ(A)≤µ(B)fallsA⊆B

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Das Maßproblem [Lebesgue, 1902]:

Finde eine Abbildungµ:P(Rⁿ)→R∪ {∞}, mit den folgenden Eigenschaften:

0≤µ(A)

µ(A) =µ(A+x)fürA∈ P(Rⁿ),x ∈Rⁿ µ(S∞

k=1A_k) =P∞

k=1µ(A_k)fürA_k ∈ P(Rⁿ),k =1,2, . . . µ([0,1]ⁿ) =1

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Der Satz von Vital [Vitali, 1905]

Das Maßproblem ist nicht lösbar.

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Das Auswahlaxiom

∀u((∅∈/u∧ ∀x∀y(x∈u∧y∈ u∧x6=y⇒x∩y=∅))⇒ ∃v∀x(x∈u⇒ ∃!y(y∈x∧y∈v)))

Zu jeder Menge von disjunkten nichtleeren Mengen gibt es eine Menge, die aus jeder dieser Mengen genau ein Element enthält.

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Vitalimengen

Wir definieren folgendermaßen eine Äquivalenzrelation aufR: x ∼y :⇔x−y ∈Q

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Vitalimengen

Nach dem Auswahlaxiom existiert eine Menge, die aus jeder Äquivalenzklasse von∼im Intervall[0,1]genau einen Repräsentanten enthält. Eine solche MengeV ⊆[0,1]von Repräsentanten, nennen wir Vitali-Menge.

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Vitalimengen

Seiq₁,q₂,q₃, . . .eine Abzählung der rationalen Zahlen im Intervall[−1,1]. Wir definieren:

V_k ={v +q_k|v ∈V}fürk ∈N

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Nichtmessbarkeit von Vitalimengen

Es gilt

∞

[

k=1

V_k ⊆[−1,2].

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Nichtmessbarkeit von Vitalimengen

Es gilt

[0,1]⊆

∞

[

k=1

V_k ⊆[−1,2].

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Nichtmessbarkeit von Vitalimengen

Aus der Monotonie von Maßen folgt:

µ([0,1])≤µ(

∞

[

k=1

V_k)≤µ([−1,2]).

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Nichtmessbarkeit von Vitalimengen

Aus der Monotonie von Maßen folgt:

1≤µ(

∞

[

k=1

V_k)≤3

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Nichtmessbarkeit von Vitalimengen

Wegenσ - Additivität von Maßen folgt:

1≤

∞

X

k=1

µ(V_k)≤3

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Nichtmessbarkeit von Vitalimengen

Wegen Translationsinvarianz von Maßen gilt

µ(V_k) =µ(V +p_k) =µ(V)für allek ∈N, und deswegen:

1≤

∞

X

k=1

µ(V)≤3

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Nichtmessbarkeit von Vitalimengen

Fall 1:µ(V) =0. Dann ist

∞

X

k=1

µ(V) =0≥1.

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Nichtmessbarkeit von Vitalimengen

Fall 2:µ(V)>0. Dann ist

∞

X

k=1

µ(V) =∞ ≤3.

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Nichtmessbarkeit von Vitalimengen

Wir haben also die Annahme, es gäbe ein positives, translationsinvariantes,σ-additives und normiertes Maß zu einem Widerspruch geführt.

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Gliederung

1 Das Maßproblem

Eigenschaften von Maßen Formulierung des Maßproblems Satz von Vitali

2 Das Inhaltsproblem

3 Literatur

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Das Inhaltsproblem

Finde eine Abbildungµ:P(Rⁿ)→R∪ {∞}, mit den folgenden Eigenschaften:

0≤µ(A)

µ(A) =µ(β(A))fürA∈ P(Rⁿ), und eine Bewegungβ µ(Sn

k=1A_k) =Pn

k=1µ(A_k)fürA_k ∈ P(Rⁿ),k =1,2, . . . ,n µ([0,1]ⁿ) =1

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Satz von Banach [1923]

Das Inhaltsproblem ist lösbar fürR¹undR², aber es ist nicht eindeutig lösbar.

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Galileo Galilei

"Wollen wir die Körper teilen in eine endliche Anzahl von Teilen, so ist es unzweifelhaft, dass wir sie nicht zusammensetzen können zu Körpern, die mehr Raum einnehmen als früher."

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Satz von Banach-Tarski [1924]

Sein≥3 und seienA,B⊆Rⁿbeschränkte Mengen mit nichtleerem Inneren. Dann existieren eine endliche disjunkte ZerlegungA₁, . . .A_k vonAund zugehörige Bewegungen β₁, . . . , β_k derart, dassBdie disjunkte Vereinigung von β₁(A₁), . . . , β_k(A_k)ist.

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Banach-Tarski-Paradoxon

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Satz von Hausdorff [1914]

Das Inhaltsproblem ist fürn≥3 nicht lösbar.

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Gliederung

1 Das Maßproblem

Eigenschaften von Maßen Formulierung des Maßproblems Satz von Vitali

2 Das Inhaltsproblem

3 Literatur

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Literatur

Struve, Michael (2007): Analysis III, Department of Mathematics, ETH Zürich,

https://people.math.ethz.ch/~struwe/Skripten/AnalysisIII- SS2007-18-4-08.pdf

(27.10.2018)

Elstrodt, Jürgen (2011): Maß- und Integrationstheorie, 7.

Auflage, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York

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