Mathematisch-
Naturwissenschaftliche Fakultät
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Andreas Prohl Cedric Beschle
Numerik stationärer Differentialgleichungen
Sommersemester 19 Tübingen, 28.06.2019
Übungsaufgaben 10
Problem 1. Dieses Problem ist eine Modifikation vonProblem 3auf dem letzten Übungsblatt. SeiO ⊂ R3 ein beschränktes Lipschitzgebiet,f :O → R, sowieβ~ :O → Rkonstant. Wir wollen die existente Lösungu∈H10∩H2 des folgenden Problems mithilfe einer linear-konformen FEM approximieren:
−∆u+β~· ∇u+u=f aufO.
Hierzu verwenden wir einenH10-konformen lineren FE-Ansatz (auf regulärer Triangulierung vonO) mit Lösunguh∈Uh⊂H10. Zeigen Sie: Es existiert eine KonstanteC >0, sodaß
ku−uhk
L2 ≤Ch2kuk
H2. (1)
Bemerkung:Verwenden Sie hierzu den Aubin-Nitsche-Trick.
Problem 2.SeiU(1)h ={vh ∈H10 : vh
T∈P1(T) ∀T ∈Th}derH10-konforme lineare FE-Ansatz auf der Basis einer regulären TriangulierungTh des beschränkten Lipschitz-GebietesO ⊂R3.
Wir fixieren einT ∈Th. Zeigen Sie, daß eine KonstanteC >0unabhängig vonhexistiert, sodaß maxx∈T |uh(x)| ≤ C
|T| Z
T
|uh(x)|dx ∀uh∈U(1)h .
Bemerkung:Starten Sie hierzu mit der entsprechenden Ungleichung auf dem Referenzelement (warum gilt nachfolgende Abschätzung hier?)
max
ξ∈Tb
|ubh(ξ)| ≤Cb Z
Tb
|buh(ξ) dξ ∀ubh ∈P1(T)b
und argumentieren Sie dann mithilfe der Kettenabbildung fürbu=u◦χ.
Abgabe: 04.07.2019.
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