f(x) Mathematische Methoden

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f(x) pr opädeutik um ph ysik – nich t nur fürs L ehr am t

mar tin wilk ens Mathematische Methoden

series of un-authorized lecture notes

volume 1

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2

16.November20192cMartinWilkens

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Vo rw o rt

EinnotorischesProblemimLehramtsstudiumPhysikistdieMathematikausbildung,dieimVergleichzum1-FachstudiumPhysikmagerausf¨allt.Betro↵ensindinsbeson-dereLehramtsstudierende,diewederimHaupt-nochimNebenfach(Studienordnungvor2013)bzwalsanderesFach(Studienordnungab2013)Mathebelegthaben.Ih-nen–abernichtnurihnen–sollendie“MathematischenMethoden”dasn

¨otige

HandwerkszeugvemittelnumimPhysikstudium

¨ub

erdieRundenzukommen.

DieMathMethwerdeninPotsdam

felder,DivGradRot,dieIntegrals reellenAnalysisbehandelt.ImSommersemesterfolgenimFormat2V2ieVektor-Üd werdenimFormat2V2ieVektorrechnung,komplexeZahlenundGrundlagenderÜd überzweiSemestergestreckt.ImWintersemester

¨atze

vonGaussundStokes,dieFouriertransforma-tion,undeineEinf

¨uhrung indieVariationsrechnung 1DiePortionierungderInhaltefolgtderRegel“eineWoche–einThema–einKapitel(imSkript)”.

AußerdemkleinenEin-Mal-Einsundeinergeh

¨origen

PortionDisziplinwerdenkei-nerleiKompetenzenvorausgesetzt.WerdieRegelnderBruchrechnungvergessen

1xVyÜstehtfür“xSemesterwochenstunden(SWS)VorlesungnebstySWSÜbung”.DasNorm-semesterhat15Wochen.EntsprechendsitzenSieimForma2V1Ügenau45SchulstundeninderUnirum...

cMartinWilkens316.November2019

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4

hat–unddaskannjaschonmalpassieren–wirdindenerstenVorlesungenansieerinnert.

DieNotizenerhebenkeinerleiAnspruchaufOriginalit

¨at,

sindvollst

¨andig

un-vollst¨andigundvollerunbeabsichtigterFehler.Aktualisierungenundweite-resMaterialzurVorlesungfindenSieimOrdner“Teaching”aufhttp://www.quantum.physik.uni-potsdam.de.

PhysikundMathematiksindwieeinZwillingspaar.Daseineistohnedasanderenichts,undkeinerwarehrda. 2WarumallerdingseineempirischeDisziplin,derenletzterRichterimmerdasExperiment,undeinetheoretischeDisziplin,derenletzteInstanzimmerdieBeweisbarkeit(dasManipulierenvonAussagen),sowundersamverschr¨anktsind,weißmannichtsorecht.“Warum”,fragtEugeneWignerineinembemerkenswertenAufsatzvon1960,“istdieMathematikinderPhysiksoe↵ektiv?”. 3

EineAntwortkannWignerauchnichtgeben.LesenswertistderAufsatzallemal.

GalileiGalileo,derVaterderexperimentellenNaturwissenschaften,hatsichwenigumdas“Warum”geschert,sondernkurzundb

¨undig

konstatiert:

DasBuchderNaturkannmannurverstehen,wennmanvorherdieSpra-cheunddieBuchstabengelernthat,indenenesgeschriebenist.EsistinmathematischerSprachegeschrieben,unddieBuchstabensindDreiecke,KreiseundanderegeometrischeFiguren,undohnedieseHilfsmittelistesMenschenunm

¨oglic

h,auchnureinWortdavonzubegreifen.

2Ineinergl

¨an

zendenPhilippikaOnteachingmathematics(1997,nachzulesenauf:http://pauli.uni-muenster.de/munsteg/arnold.html)geißeltdergroßeMathematikerV.I.Arnol’dseineFachkollegen,sieh

Mathematikunverh ¨attensichinderLehrevonderVerschr¨ankungvonPhyskund

¨altnism

¨aßi

gweitentfernt.Insbesonderedieehermittelm

¨aßi

gbegabtenMa-thematikerw

¨urden

nurnocheinemblutleerenG

Mediokrizit ¨otzenderreinenAxiomatikhuldigenumihre

¨at

zuverbergen.3EugeneWignerTheUnreasonableE↵ectivenessofMathematicsintheNaturalSciencesin:CommunicationsinPureandAppliedMathematics,vol.13,No.I(Februar1960).

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5

DassollnunerstmalalsBegr

dierensollen,wosiedochPhysikstudierenwollen... ¨undungreichen,warumSieausgerechnetMathestu-

Abb0.1Euklids“Elemente”–dieSpra-chederMathematikzuGalileisZeit. HeutzutagesindallerdingsnichtgeometrischeFigurendie“BuchstabenderMathe-matik”,sondernZahlen,VektorenundMorphismen,undauchdieSprache–ehemalsArithmetikundGeometrie–istumAnalysisundLineareAlgebraerweitert.

Sokommtes,dassindenEinf

AnalysiszumEinsatz IndenerstenVorlesungenzurExperimentalphysik,beispielsweise,kommenausder einenoderanderenArtmutlipliziertwerden. stelltwird,kurzmalebenDi↵erentialgleichungenintegriertundVektoreninder mancheFunktionineinerTaylorreiheentwickeltoderineinerFourierreihedarge- FederlesensogleichvonFunktionen,AbleitungenundIntegralendieRedeist,so ¨uhrungsvorlesungeneinesPhysikstudiumsohneviel

•DiequadratischeFunktionf(x)=ax 2+bx+c,nebstderFormelf¨urihreNullstellen

x1,2= b± pb24ac2a (1)

•KomplexeZahlenmitderimagin

¨aren Einheiti,definierti 2=1.

•DieExponentialfunktione xunddieTrigonometrischenFunktionensin(x),cos(x),ihrecharakteristischenMerkmale,insbesonderee axe bx=e (a+b)x,sin 2(x)+cos 2(x)=1,nebstihrerjeweiligenAbleitungf 0(x):= ddxf(x)undStammfunk-tionF(x):= Rxf(x 0)dx 0.

•DieProdukt-undKettenregelderDi↵erentialrechnungunddieTechnikderpartiellenIntegrationf¨urdieIntegralrechnung.

•DieTaylorentwicklungbzwTaylorapproximationeiner“komplizierten”Funk-tiondurcheine“einfache”Funktion

(6)

6

•Di↵erentialgleichungen,etwainForm“Masse-mal-BeschleunigunggleichKraft”.BeschleunigungistdiezweiteAbleitungdesOrtesnachderZeit,unddasbe-sagteGesetznimmtdannimeinfachstenFalldieFormdergew

¨ohnlic heDif-ferentialgleichungm d2

dt2q(t)=F(q(t))an.GesuchtistbeisoeinerDi↵erential-gleichungimmereineFunktiondiedieDi↵erentialgleichungbefriedigt,inunse-remBeispielalsoirgendeineFunktionq(t),die–wennmansiezweimalableitetundmitmmultipliziertdasgleicheliefertwiedieFunktionf(t)=F(q(t)).

undausderlinearenAlgebra

•Vektor,bildlich“Pfeil”

•L

¨ange einesVektors,Skalarprodukt~a·~b,Kreuzprodukt~a⇥~bundSpatprodukt~a·(~b⇥~c).

•Matrix,insbesondere3⇥3Matrixf¨urdieDarstellungvonTensoren(Tr¨agheits-tensoretc.)undKoordinatentransformation,insbesondereDrehungdesKoor-dinatensystems

•Determinante,f¨urdieBerechnungvonVolumina,aberauchzurBestimmungdescharakteristischenPolynomseinerlinearenDi↵erentialgleichungusw.

Wieschongesagt–indenerstenpaarVorlesungen...unddanngehtdasgenausoweiter.DieListesoll

denDingen,mitdenenSievermutlichganzschnellkonfrontiertwerden. Schulegehabthaben.DashabenSiewahrscheinlichnicht.EsistnureineListevon ¨ubrigenskeinsfallsbehaupten,dassSiedasallesschoninder

MathematiklernenentsprichtdemErlerneneinerFremdsprache.EineFremdspracheaber,indersienichtirgendwanneinkaufenoderimRestaurantbestellenk

¨onnen,

sonderneinerFremdsprachemitdersiesicheineandereFremdsprache–diePhy-sik–erschließen.WennSien

¨amlic

hphysikalischeSachverhaltebeschreiben,und

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7

schließlichauchverstehen,danntre↵enSiemathematischeAussagen

üb erphysika-lischeGrößen.JohannKeplers“DieQuadratederUmlaufzeitenverhaltensichwiedieKubendergroßenHalbachsen”istsoeineAussage–auchwennSiehierkeinGleichheitszeichensehenundkeineFormel.VerstehentunSiedieseAussagealsma-thematischnotwendigeKonsequenzeinerKombinationdesNewton’schenGravitati-onsgesetzes,demzufolgedieAnziehungskraftzweierMassenumgekehrtproportionaldemQuadratihresAbstands,mitdemÄquivalenzprinzip,demzufolgesichtr

¨age

undschwereMasseeinesK

sindPhysik,dieKonsequenzensindnichtsalseinmathematischesEssay. 4 ¨orpersbisaufsHaargleichen.Wohlgemerkt,diePrinzipien

SolcheEssayszulesen,undimt¨aglichenPhysikerdaseinselberkleineEssayszuverfassenbedarfesmehralsnurdie“Buchstaben”zukennenundzuerkennen.Siem

¨ussenauchW

¨orter

undvollst

¨andige S¨atze

bildenk

¨onnen,

m¨oglic

hstmitrichtigerKommasetzung.Siem

Gleichung,odereineBeweis... AnhangA:LogikfürLaien.Fallsmanvergessenhat,waseineAussageist,eine zumindestinihrenGrundzügenbeherrschen.EinekurzeersichtfindetsichimÜb üssen–kurzgesagt–auchdieGrammatikderMathematik

EsgibtKollegendie

Physiker BetrachtungenderAnalysis–imJargongenannt“dieEpsilontik”–f¨urdenwahren ¨uberzeugtsind,dassbeispielsweisedieganzenGrenzwert-

¨ub

erfl

integrieren!DerRestistwasf¨urErbsenz ¨ussigeGrammatikist:Hauptsache,mankanndenSinusableitenund

¨ahler

sagensie,undf¨ursErbsenz

¨ahlen

hatmaninderPhysikschongarkeineZeit.DerKollegehatnat

¨urlic

hv

¨ollig

Recht:nie-mand,dernochalleTassenimSchrankhat,wirdimt¨aglichenGesch

kommtnurdurchung.DerKollegehatdenSinusschontausendmalabgeleitet,¨Ub leitungdesSinuszurEpsilontikgreifen.DasmussZack-Zackgehen,undZack-Zack ¨aftbeiderAb-

4Newtonginghier

desKurses. malebenkurzausderTaufehob–vgl.dieHandreichung“Kepler,Newtonundso”aufderWebseite drittesGesetz.SeinEndpunktwarseinGravitationsgesetz,wobeideraufdemWegdieAnalysis ¨ubrigensgenauinderanderenRichtungvor.SeinAusgangspunktwarKeplers

(8)

8

undnungehtdasbeiihmganzmechanisch(er“sieht”sofortCosinus).DasFun-dament–dieEpsilontik–konnteihmdabeigetrostausseinemBlickfeldgeraten.Aberwennerzur¨uckdenktanseineeigeneStudienzeitf¨alltihmvielleichtauf,dassgeradeseineeigeneEinsichtindieFestigkeitdesFundamentsesihmschließlicher-laubthat,sichausdemKellerindieoberenEtagenzubewegen.Undwennerdenngefragtwird,wiemandenn p2ausrechnet,dannwirderzwardieAntwortnichtparathaben, 5abererwirdho↵entlicheinenWegzur

dorteineEckeamFundamentangebenk ¨uckindenKellerkennen,und

¨onnen,womandieAntwortfindet.

Eshilftalsonichts.Nur“Rechnenk

¨onnen”

reichtnichtaus.ManmussauchdieFundamentekennenundsichihrerFestigkeitselbstvergewisserthaben.Manmuss–umnocheinBildzubem

Zahl,beiFolgeundReihe,beiKleinundGroß.Dabeimussmanaberm ¨uhen–beiAdamundEvaanfangen.BeiMengeund

¨oglic

hstschnellauchSinusableitenundTangensintegrierenk

¨onnen.

Tja–wenndasmalgutgeht...

MathematiklernenSienichtinderVorlesung.DiezeigtallenfallseinenrotenFa-denderihrSelbststudiumerleichternsoll.MathematiklernenSieindemSieinderVorlesungmitschreiben,IhreMitschriftzuHauseinOrdnungbringen,die¨Ubun-genbearbeitenund–mitPapierundBleistiftgewappnet–einMathebuchlesen.Empfohlenseihier

•AlfredRieckersundKurtBr¨auer“EinladungzurMathematik”,Logos2002.Tutwasesbehauptet.Nichtsonderlichsystematisch,aberguterLeitfadenf¨urdieVorlesung.

•SiegfriedGroßmann“MathematischerEinf

¨uhrungs

kurs–f¨urdiePhysik”,8.Auflage,B.G.Teubner2000.MitAusnahmederRechnensimKomplexenisthieraufnur344Seitenalleszusammengefasst,“wasmansobraucht”.Etwas

5esseidenergreiftzubesondersgeistreichenAntwortMitdemComputer!

(9)

9

“rechenorienterter”alsRieckers/Br

¨auer;

setztallerdingsvoraus,dassSieihrAbivorG12gemachthaben...ambesteninden1970’erJahrenoderdavor.

•HerrmannSchulz“PhysikmitBleistift”,7.Auflage,HarriDeutsch2009.Sehrgut,wennmanschoneinenrotenFadenhat,abernichtweiß,woderhinf

¨uhrt.

AusgezeichnetdiePflegevonPapier-und-Bleistift.

Etwash

¨artere

Kost,aberGrundlagedieserVorlesung

•FriedhelmErwe“Di↵erential-undIntegralrechnung”(Band1:ElementederInfinitesimalrechnungundDi↵erentialrechnung,Band2:Integralrechnung),B.I.Hochschultaschenb

nerationenvonMathe-undPhysikstudentengedient. [ISBN3-411-00030-9und3-411-00031-7].SolideWertarbeit.HatbereitsGe- ¨ucherBde.30und31,B.I.-Wissenschaftsverlag1962,

•KonradK

moderner.Empfehlenswert. 7].ThematischeBreiteundTiefeinetwawieErwe,inderSpracheetwas 41282-4]und“Analysis2”(3.Auflage),Springer2000[ISBN3-540-66902- ¨onigsberger“Analysis1”(5.Auflage),Springer2001[ISBN3-540-

•KlausJ

¨anic

h“Mathematik1–Geschriebenf¨urPhysiker”und“Mathematik2–Geschriebenf

¨ur

Physiker”,Springer2001und2002[ISBN3-540-41976-4und3-540-42839-9].InparlierendemTondasvolleProgrammf¨urdenkanonischenFachstudentenimPhysikBachelor.ZuweilengehtdieGratwanderungzwischenFachsystematikderMathematikundZielgruppenorientierungPhysikschief.Dasst

¨ort

diePuristen,l¨asstmichabervergleichsweisekalt.

•“AnalysisI”und“AnalysisII”vonHerbertAmannundJoachimEscher,Birkh

K ¨auser.MeinederzeitigenFavoriten.NichtganzsotrockenwieErweoder

¨onigsb

erger,nichtganzsoverplaudertwieJ

¨anic

h.Insbesondereauchf¨urStudierendederMathematikhervorragendgeeignet.

(10)

10

VertiefendeMonographienzuspeziellenKapiteln:

•Heinz-DieterEbbinghausetal.“Zahlen”,3.Auflage,Springer1992.Ok–eherwasf¨urAficionados.AberzauberhaftinseinenAusf

¨uhrunge

nzurIdeenge-schichtederMathematik.Alsogenaudasrichtigef¨urStudierendeinLehr-amtsstudieng

¨angen

...

•KlausJ

7].EinwunderbaresLehrbuchzueinemwichtigenWerkzeugderPhysik.F ¨anich“LineareAlgebra”,7.Auflage,Springer1998[ISBN3-540-64535-

¨ur

Mathematik-undPhysikstudierendegleichermaßengeeigent.

•KlausJ

3-540-58878-7].Hierfindetsich,wasbeiGroßmannfehlt–n ferentialgleichungen,SpezielleFunktionen”,3.Auflage,Springer1995[ISBN ¨anich“Analysisf¨urPhysikerundIngenieure–Funktionentheorie,Dif-

¨amlic

hArithmetikundAnalysisimKomplexen.

•KlausJ

6].Dasklingtwiedivgradrot,istabereigentlicheinewundersch ¨anich“Vektoranalysis”,2.Auflage,Springer1993[ISBN3-540-57142-

¨one

Einf

¨uhrung

indieDi↵erentialgeometrie.HateinenEhrenplatzaufmeinemRegal.Brau-chenSieaberallenfallsimzweitenTeil(Sommersmester).

Achja–eh’ichsvergesse:lernengeschiehtdurch

¨uben.Undge

¨ubt wirdmitPapierundBleistift(oderKugelschreiber). 6

.Aufgabe0-1(1Punkt)

SchreibenSieunsdiejenigenFormelnauf,dieIhnenimLaufederWochebegegnen,etwaindenVorlesungenzurExperimentalphysik,unddieIhnenunklarsind.

6...bittenichtmitF

¨uller.

F¨u

ller(unddas“Korrekturinstrument”Tintenkiller)sindgutf¨urLiebesbriefe,aberinmathematisch-naturwissenschaftlichenDisziplinenungeeigneteSchreibwerk-zeuge.

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11

.Aufgabe0-2(Galilei’sFallgesetz)(6Punkte)

Inden“Discorsi”schreibtGalileiinderEinleitungzumDrittenTag

[...]EinigeleichtereS

¨atze h¨ort

mannennen:wiezumBeispiel,dassdienat

¨urlic

heBewegungfallenderschwererK

¨orp

ereinestetigbeschleunigtesei.InwelchemMasseaberdieseBeschleunigungstattfinde,istbishernichtausgesprochenworden;dennsovielichweiss,hatNiemandbe-wiesen,dassdievomfallendenK

¨orp

eringleichenZeitenzur

StreckensichzueinanderverhaltenwiedieungeradenZahlen. ¨uckgelegten

SoweitGalilei.Wiepasstdaszudem,wasSieinderSchulegelernthaben?

Anmerkung:GalileikanntenochkeineInfinitemsimalrechnung.DiewurdeerstvonNewtonundLeibnizerfunden.

.Aufgabe0-3(1Punkt)

GehenSieaneineKreidetafel.SkizzierenSiefreih

¨andig einenKreis(Durchmesserca50cm)undtragenseinenMittelpunktein.Wenner“ei-ig”aussieht,wiederholenSiedie¨Ubungbissieeinigermaßenzufriedensind.

(12)

12

(13)

Inha lt

1Arithmetik231.1DierationalenZahlenunddieAxiomedesK

¨orp

ers...24

1.2DiereellenZahlen...291.2.1ArchimedischeOrdnung...30

1.2.2Betrag...311.2.3PotenzundWurzeln...311.3Aufgaben...33

2KomplexeZahlen37

2.1Definition...37

2.2Gauss’scheZahlenebene...39

2.3Polardarstellung...412.4Aufgaben...42

(14)

14INHALT

3Vektor45

3.1Vektorraum...463.2Norm(L

¨ange)

...523.3...undSkalarprodukt(Winkel)...533.4Kreuzprodukt(Fl

¨ache)...55

3.5...undSpatprodukt(Volumen)...573.6Aufgaben...60

4LineareAbbildung67

4.1Vektorraumhomomorphismen...68

4.2Matrixdarstellung...704.3Adjungierte...744.4Unit

4.5Aufgaben...76 ¨areundOrthogonale...75

5ElementederMatrizenrechnung79

5.1Rechenregeln...795.2RangsatzundelementareUmformungen...81

5.3Determinante...83

5.4LineareGleichungssystemeundMatrixinversion...865.5Aufgaben...91

(15)

INHALT15

6EigenwertproblemundHauptachsentransformation93

6.1Motivation...936.2CharakteristischesPolynom...936.3Hauptachsentransformation...976.4Aufgaben...99

7FormundTensor101

7.1LinearformundDualraum...101

7.2WoeinemKovektorenbegegnen...undwiemanausihnenVektorenmacht...1057.3Pull-BackundTransponierte...108

7.4Bilinearform...108

7.5...undMultilinearform...1117.6Aufgaben...113

8ElementederInfinitesimalrechnung115

8.1Zahlenfolgen,KonvergenzundGrenzwert...116

8.2Reihen...120

8.3Exponentialfunktion...122

8.4...undVerwandte...1258.5Aufgaben...128

(16)

16INHALT

9ElementederDi↵erentialrechnung131

9.1Stetigkeit...131

9.2Di↵erenzierbarkeit...1329.3Ableitungsregeln...134

9.4H

9.5Aufgaben...138 ¨ohereAbleitungen,Extrema...136

10ElementederIntegralrechnung141

10.1Riemann-integrierbareFunktionen...142

10.2Rechenregeln...143

10.3Beispiele...14510.4PartielleIntegrationundSubstitution...14610.5Aufgaben...147

11Taylorentwicklung149

11.1Motivation...149

11.2Taylorpolynom...150

11.3Taylorreihe...15111.4Aufgaben...152

12Fourierentwicklung15512.1FourierpoynomeundBesselscheApproximation...156

(17)

INHALT17

12.2Fourierreihen...15812.3Aufgaben...164

13Gew

¨ohnlicheDi↵erentialgleichungen167

13.1Di↵erentialgleichungenersterOrdnung...169

13.2LineareDi↵erentialgleichungen...172

13.3LineareDGLmitkonstantenKoeffizienten...174

13.4VariationderKonstanten...17713.5Aufgaben...179 14Wasesgibt191 14.1SkalaresFeld...192

14.2Vektorfeld...193

14.3Kovarianz...19414.4Aufgaben...198 15KurvenimR 3199 15.1ParametrisierteKurve...200

15.2GeschwindigkeitundTangenten-Einheitsvektor...200

15.3BeschleunigungundHauptnormale...202

15.3.1BinormaleundbegleitendesDreibein...203

15.3.2DieFrenetschenFormeln...205

(18)

18INHALT

15.4Aufgaben...206

16ElementederDi↵erential-undIntegralrechnungimR n20916.1PartielleAbleitung...209 16.2IntegrationimR n...21116.3Aufgaben...213

17Gradientundso215

17.1RichtungsableitungundtotalesDi↵erential...215

17.2Gradient...21617.3ExtremwertevonFunktionenf:R n!R...22017.4ExtremwertaufgabenmitNebenbedingungen...22117.5Aufgaben...222

18Divergenzundso22518.1Fl

18.3Aufgaben...230 18.2FlussundDivergenz...228 ¨achen...226

19Rotationundso233

19.1DivGradRotundderVektordi↵erentialoperator~r...23619.2Aufgaben...237

(19)

INHALT19

20Integrals

¨atzederVektoranalysis239

20.1SatzvonGauss...239

20.2SatzvonStokes...24020.3Aufgaben...244 21PartielleDi↵erentialgleichungen245 21.1Di↵erentialgleichungenundLokalit ¨atsprinzip ...245

21.2EinZoovonpartiellenDi↵erentialgleichungen...247

21.31DWellengleichung(SchwingendeSaiteo. ¨a) ...248

21.4TrennungderVariable...250

21.5L ¨osungdesAnfangswertproblems...252 21.6¨Ubungen...254 22Diracs-Funktion259 22.1Intro...259

22.2Darstellungender-Funktion...261

22.3Eigenschaften...264

22.4Mehrdimensionale-Funktionen...265

22.5-FunktionundGreenscheFunktionen...266

23DieFourier-Transformation27123.1Heuristik...271

(20)

20INHALT

23.2DefinitionundBeispiele...273

23.3Rechenregeln...27523.4Aufgaben...278

24Variationsrechnung281

24.1Brachistochrone-Problem...281

24.2Kettenlinie...286

24.3Fermat’schesPrinzip...29124.4DasPrinzipderkleinstenWirkung...292

25ElementederFunktionentheorie299

25.1KomplexeDi↵erenzierbarkeit...29925.2DerkomplexeLogarithmus...301

25.3Cauchy-Riemann’scheDi↵erentialgleichungen...302

25.4Laurentreihe...304

25.5Cauchy’scherIntegralsatz...305

25.6ResiduensatzundResiduenkalk

¨ul

...30725.7AnalytischeFortsetzung...31025.8BerechnungvonIntegralenimResiduenkalk

¨ul

...31025.9Aufgaben...311

ALogikf¨urLaien315

(21)

INHALT21

A.1Aussagenlogik...315

A.2BeweiseundderUmgangmitGleichungen...320

A.3DasPrinzipdervollst¨andigenInduktion...324

A.4Aufgaben...327

BMengenundAbbildungen329

B.1Mengen...329

B.2Relationen...334

B.3Ordnungsrelation,Schranken...336

B.4Abbildungen...337

B.5Aufgaben...343

CKonstruktionderreellenZahlen345

C.1Dienat

¨urlic

henZahlenunddasPrinzipdervollst¨andigenInduktion.345

C.2DieganzenZahlen...353

C.3DierationalenZahlen...357

C.4DerDedekind’scherSchnittunddiereellenZahlen...362

DRaumundZeitvonNewtonbisEinstein367

D.1R

¨aumlic

hundzeitlicheErfahrungen...367

D.2RaumundZeitbeiNewton...370

D.3...beiLeibnizundKant...373

(22)

22INHALT

D.4...beiMachundbeiEinstein...374

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Inha lt