@ Technische Universit¨ at Carolo-Wilhelmina zu Braunschweig
Institut f¨ ur Theoretische Physik
Dr. Andreas Honecker
Physikalische Rechenmethoden II
Ubungsblatt 2 ¨
Abgabe bitte bis: Mittwoch, 5. Mai 2004, 13:00
1. Zeigen Sie, daß der Laplace-Operator angewandt auf ein Skalarfeld A in Kugelkoor- dinaten die folgende Form hat:
∆A= 1 r2
∂
∂r
r2∂A
∂r
+ 1
r2sin2ϑ
∂2A
∂ϕ2 + 1 r2sinϑ
∂
∂ϑ
sinϑ∂A
∂ϑ
! Hinweis: Verwenden Sie die Ergebnisse von Aufgabe 1.8(c) und 1.8(d).
2. Berechnen Sie
(a) ∆ (1/r) in drei Dimensionen (r =p
x2+y2+z2), (b) ∆ (lnr) in zwei Dimensionen (r=p
x2+y2) ! Diskutieren Sie in beiden F¨allen das Verhalten bei r= 0 ! 3. Zeigen Sie:
(a) Die Rotation eines Vektorfeldes A~ ist quellenfrei: ∇ ·~
∇ ×~ A~
= 0 , (b) der Gradient eines Skalarfeldes A ist wirbelfrei: ∇ ×~
∇A~
= 0 ! 4. Zeigen Sie, daß das Vektorfeld
A~(~r) =
yz−sin (x−y)
xz+ sin (x−y) + cos z2+y xy+ 2zcos z2+y
wirbelfrei ist !
5. Die Quellen des Vektorfeldes A~ ×B~ sind durch die Wirbel der Felder A~ und B~ be- stimmt. Wie ?
6. Gegeben sei ein Vektorfeld F~(~r) = r12 (~ω×~r) mit ~ω = const. W¨ahlen Sie die z- Achse eines kartesischen Koordinatensystems in Richtung~ω und geben Sie das Feld in kartesischen Koordinaten an ! Skizzieren Sie das Feld in der Ebenez = 0 ! Berechnen Sie die Divergenz und die Rotation des Feldes !
7. Berechnen Sie die Divergenz des Vektorfeldes A~ =
B~ ×∇C~
! Wo sind die Quellen des Feldes A~ ?
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