@ Technische Universit¨ at Carolo-Wilhelmina zu Braunschweig
Institut f¨ ur Theoretische Physik
Dr. Andreas Honecker
Physikalische Rechenmethoden II
Ubungsblatt 3 ¨
Abgabe bitte bis: Mittwoch, 12. Mai 2004, 13:00 1. Berechnen Sie die Arbeit des Kraftfeldes
F~ = 1 1 +x2+y2
y
−x
beim Verschieben einer Masse von A = −1
0
nach B = 1
0
entlang der drei folgenden Wege:
x y
(a)
(c) (b)
Diskutieren Sie die Abh¨angigkeit der Arbeit vom Weg ! 2. Setzen Sie eine Parametrisierung in
Z
~r·d~r = Z
(xdx+ydy+zdz)
ein und zeigen Sie, daß das Linienintegral unabh¨angig vom Weg ist ! Geben Sie dann ein Potential ψ(~r) des Vektorfeldes~r an !
3. Wir betrachten Kugelkoordinaten
~r=
x y z
=
rsinϑcosϕ rsinϑsinϕ
rcosϑ
1
und w¨ahlen als Parameter u=ϕ, v=ϑ.
(a) Bestimmen Sie die Tangentenvektoren ~tu und ~tv ! Zeigen Sie: ~tu ·~tv = 0 ! Skizzieren Sie die Linien konstanten u, v sowie die zugeh¨origen Tangentenvek- toren !
(b) Verifizieren Sie dA =
~tu×~tv
dudv=r2sinϑdϕdϑ!
(c) ¨Uberzeugen Sie sich, daß das Integral ¨uber die Kugeloberfl¨ache das erwartete Ergebnis liefert:
Z
k~rk=R
dA= 4πR2 !
4. Ein radialsymmetrisches VektorfeldF~ (~r) =f(r)~ermit einer Funktionf(r) des Radius r durchflute eine Kugelschale vom Radius R. Bestimmen Sie den Fluß durch diese Kugelschale
Φ = Z
k~rk=R
F~ (~r)·dA~ !
5. Berechnen Sie den Fluß Φ eines zylindersymmetrischen Vektorfeldes F~(~r) = f(ρ)~eρ
durch die geschlossene Oberfl¨ache A eines Zylinders mit Radius R und H¨ohe H um die z-Achse !
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