14.3 Anwendung auf die Spin-Bahn-Kopplung

Skript zur 21. Vorlesung “Quantenmechanik”, Freitag den 1. Juli, 2011.

14.3 Anwendung auf die Spin-Bahn-Kopplung

Wir wenden nun diese allgemeine Ergebnisse auf den Fall j1 = lund j2 =s an. Wir finden so, dass die m¨oglichen Eigenwerte ~²j(j + 1) des Gesamtdrehimpulsoperators ˆj² durch

j =

l±¹₂ (wenn l≥1)

1

2 (wenn l= 0)

gegeben werden. Die zugeh¨orige Eigenzust¨ande werden mit|jmlimitm=−j, . . . , jangedeutet.

Der Spin-Bahn Hamilton Operator ˆHSO ist diagonal in dieser Basis, und mithilfe der Gle- ichung

ˆl·ˆs= 1 2

ˆj²−ˆl²−sˆ² finden wir, dass

hnjml|HˆSO|njmli = ~²

2 [j(j+ 1)−l(l+ 1)−s(s+ 1)]

× 1 2m²c²

Z

dr r²|Rnl(r)|²1 r

d dr

−e² r

= mc²(Zα)⁴ 4n³l(l+¹₂)(l+ 1) ×

l (j =l+¹₂),

−l−1 (j =l−¹₂) f¨url >0 und

hnjml|HˆSO|njmli = 0 f¨url= 0.

Alle drei Korrekturen zusammen ergibt dann:

∆E_n,j=l±¹

2,l = e²Z² 2a0n²

(Zα)² n²

3 4− n

j+ ¹₂

Dieser Energie-Eigenwert wird mit ⁿl_j bezeichnet, wobei f¨ur den Nebenquantenzahl l die spektroskopische Notation l = S,P,D,F,. . . verwendet wird.

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l= 0,1

n= 1 l= 0 n= 3 l= 0,1,2

3D 5/2 3P

1/2 3D

3/2 3S

1/2 3P

3/2

n= 2 ²P_3/2

2P

1/2 ²S_1/2

1S 1/2

(Entartung) (2) (4) (4) (4) (8) (6)

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