13.April2016 IrisE.Ziegler zurErlangungdesakademischenGradesDipl.-Phys. AuslegungderQuadrupollinsenf¨urden17MeVMYRRHA-Injektor Diplomarbeit

Diplomarbeit

Auslegung der Quadrupollinsen f¨ ur den 17 MeV MYRRHA-Injektor

zur Erlangung des akademischen Grades Dipl.-Phys.

Iris E. Ziegler 13. April 2016

N u m eri sch e Si m u l a ti on en zu r Stra h l d yn a m i k ei n es C H -D ri ftröh ren b esch l eu n i gers

Malte Schwarz September 201 4

Institut für Angewandte Physik

Goethe-Universität Frankfurt am Main

Betreuer: Prof. Dr. Holger Podlech 1. Gutachter: Prof. Dr. Holger Podlech 2. Gutachter: Dr. Marco Busch

Diese Arbeit wurde unterst¨utzt durch die Europ¨aische Union (7.EU-Forschungsrahmenprogramm, Vertragsnummer 269565)

bestehenden Problems noch akuter gemacht“.

Albert Einstein(1879-1955), deutsch-US-amerikanischerc Physiker, 1921 Nobelpreis f¨ur Physik

Quelle: Aus Atlantic Monthly, November 1945 in Einstein, ” ¨Uber den Frieden”

Hiermit versichere ich die vorliegende Arbeit selbstst¨andig und unter ausschließlicher Verwendung der angegebenen Literatur und Hilfsmittel erstellt zu haben.

Die Arbeit wurde bisher in gleicher oder ¨ahnlicher Form keiner anderen Pr¨ufungsbeh¨orde vorgelegt und auch nicht ver¨offentlicht.

Frankfurt am Main, 13. April 2016

Unterschrift

Nachdem die Deutsche Bundesregierung im Jahr 2011 im Zuge der Energiewende beschlossen hat, die Stromproduktion mittels Kernkraft einzustellen und alle Leistungs- und Prototypreak- toren bis zum Jahr 2022 stillzulegen, stehen Begriffe wie Kernenergie und Endlagerproblematik im Mittelpunkt des gesellschaftlichen und politischen Interesses. Bis zum Jahr 2022 wird die Gesamtmenge des abgebrannten Brennstoffs in Deutschland circa 10.500 Tonnen Schwermetall (t_SM) betragen. Zus¨atzlich wurden bis zum Jahr 2005 bereits 6.700t_SM in La Hague (Frankreich) und Sellafield (Großbritannien) wiederaufbereitet und die dabei anfallenden w¨armeentwickelnden Abf¨alle dort verglast [vgl. (1) S.19].

Besonders problematisch zeigt sich die Endlagerung solcher Abf¨alle mit starker W¨armeentwicklung.

Obwohl sie nur einen geringen Volumenanteil, jedoch 99 Prozent der gesamten Radioaktivit¨at ausmachen, gibt es bislang weltweit kein Endlager f¨ur derartigen hochradioaktiven Abfall [vgl.(1) S. 12]. Der abgebrannte Kernbrennstoff setzt sich zusammen aus den Aktiniden¹ Uran (93,1 Prozent, entwickelt keine W¨arme) sowie den w¨armeentwickelnden Transuranen Plutonium (1,1 Prozent), Neptunium-237, Americium und Curium. Die drei zuletzt genannten Elemente werden auch unter dem Begriff derminoren Aktiniden zusammengefasst. Sie nehmen einen Massenanteil von 0,2 Prozent des gesammten abgebrannten Brennstoffs aus Kernreaktoren ein [vgl.(1) S. 13].

Da die Radioaktivit¨at der Transurane erst nach vielen hunderttausend Jahren auf das Niveau von nat¨urlichem Uranerz abgesunken ist, repr¨asentieren sie das Hauptgef¨ahrdungspotenzial.

Der notwendige Isolationszeitraum dieser Nuklide wurde vom Arbeitskreis Auswahlverfahren Endlagerstandorte (AkEnd) auf eine Million Jahre festgelegt [vgl.(3) S.29].

Ein Verfahren, das seit den siebziger Jahren in Europa und im außereurop¨aischen Ausland erforscht wird und welches das Langzeitgef¨ahrdungspotenzial w¨armeentwickelnder Abf¨alle ver- ringert, ist dasPartitionierungs- und Transmutationsverfahren (P&T). Hierbei werden im ersten Schritt die Aktiniden (Uran,Transurane) aus den radioaktiven Abf¨allen abgetrennt (partitioniert).

Danach folgt die Transmutation der minoren Aktiniden durch Neutronenbeschuss. Dabei werden die schweren Nuklide mit langen Halbwertszeiten durch Neutronenabsorption und anschließender Spaltung in solche mit weitaus k¨urzeren Halbwertszeiten umgewandelt. Durch Transmutation wird die Dauer der Endlagerung von einer Million auf etwa f¨unfhundert bis tausend Jahre verk¨urzt [vgl.(1) S. 14].

Die Transmutation langlebiger Radionuklide l¨asst sich zum einen in Leichtwasserreaktoren (¨uberkritische Leichtwasserreaktoren, schnelle natrium-, gas - und bleigek¨uhlte Reaktoren) oder in Schnellen Br¨utern in kritischer Anordnung, zum anderen durch ein beschleunigerbetriebenes System (Accelerator Driven System (ADS)) in kritischen (k_{ef f} = 1)² und unterkritischen (k_{ef f} < 1) Reaktoren durchf¨uhren. Da die Transmutation ein schnelles Neutronenspektrum voraussetzt (E > 0,75M eV) [vgl.(4)], werden Protonen auf Energien von mehreren Hundert MeV beschleunigt und anschließend auf ein Spallationstarget geschossen.

1Aktinide ist eine Sammelbezeichnung der Elemente Actinium und der 14 im Periodensystem folgenden Ele- mente, deren Ordnungszahlen zwischen 90 und 103 liegen und worunter sich Uran und die w¨armeentwickelten Transurane Plutonium, Neptunium, Americium und Curium befinden [vgl.(2)].

2k_{ef f} ist die Anzahl neuer Spaltungen pro gespaltenem Kern

Dieses besteht aus einem Schwermetall-Gemisch (meist Blei-Wismut) und steht in direkter Verbindung mit dem unterkritischen Reaktor. Die aus dem Target abgedampften Neutronen nehmen innerhalb des Reaktors die Spaltung der Kerne vor. Somit k¨onnen mindestens 90 Prozent der langlebigen Nuklide in k¨urzerlebige oder stabile Atomkerne umgewandelt werden [vgl. (1) S.7].

Bereits im Jahr 1998 begannen am belgischen Kernforschungszentrum SCK•CEN in Mol erste Studien zum Bau eines kompletten ADS, der sich auch auf die industrielle Anwendung ubertragen l¨¨ asst. Mit dem im Jahr 2005 vom SCK•CEN vorgeschlagenen MYRRHA-Projekt (Multi-purpose hybrid research reactor forhigh-tech applications) begannen die Entwicklung und der Bau eines solchen beschleunigerbetriebenen Reaktors mit den Zielen, hohe Flussra- ten schneller Neutronen zur effektiven Transmutation zu erzielen sowie die M¨oglichkeit zur Herstellung von Brennstoffen, Radiopharmaka und Radioisotope zu bieten. Das Institut f¨ur An- gewandte Physik der Goethe Universit¨at Frankfurt beteiligt sich ¨uber die Forschungsprogramme EUROTRANS (European Research Programme for the Transmutation of High Level Nuclear Waste in an Accelerator Driven System), MAX (MYRRHA Accelerator EXperiment) und MYRTE (MYRRHA Transmutation Endeavour) am Bau des 600 MeV Linearbeschleunigers.

Die Aufgabe des IAP liegt dabei in der Entwicklung des 17 MeVMAX-Injektors. Die vorliegende Arbeit repr¨asentiert die Bestimmung des Polschuh-Profils eines zur Strahlfokussierung dienen- den Quadrupolmagneten, dessen Design sich ausschließlich auf die f¨ur den MYRRHA-Injektor charakteristischen Strahlparameter und Designeigenschaften bezieht.

Symbole und physikalische Konstanten . . . 10

1 Einleitung . . . 1

1.1 Elektromagnete: Ein ¨Uberblick . . . 1

1.2 Motivation, Aufgabenstellung und Zielsetzung . . . 3

2 Allgemeine Grundlagen . . . 4

2.1 Maxwell-Gleichungen der Magnetostatik . . . 4

2.1.1 Divergenz der magnetischen Flussdichte . . . 4

2.1.2 Rotation der magnetischen Flussdichte . . . 5

2.2 Normalleitende Quadrupolmagnete . . . 6

2.2.1 Aufbau und Funktionsweise . . . 7

2.2.1.1 Polschuhe . . . 7

2.2.1.2 Erregerspulen . . . 7

2.2.1.3 Magnet-Eisenjoch . . . 8

2.2.1.4 Apertur . . . 8

2.2.2 Gr¨oßen und Kenndaten . . . 9

2.2.2.1 Magnetische Flussdichte und Feldgradient . . . 9

2.2.2.2 Effektive L¨ange . . . 10

2.3 Multipolentwicklung des Quadrupolfeldes . . . 11

2.4 Transversale Strahldynamik und Ionenoptik . . . 11

2.4.1 Eigenschaften eines Teilchenstrahls . . . 12

2.4.1.1 Bewegungsgleichungen . . . 13

2.4.1.2 Phasenellipse, Emittanz und Emittanzwachstum . . . 14

2.4.1.3 Courant-Snyder-Invariante und Twiss-Parameter . . . 15

2.4.1.4 Betatronfunktion und Strahlenveloppe . . . 15

2.4.2 Quadrupol-Multipletts . . . 16

2.4.2.1 Matrixformalismus und D¨unne-Linsen-N¨aherung . . . 16

2.4.2.2 Quadrupoldublett-Linse . . . 17

2.4.2.3 Quadrupoltriplett-Linse . . . 18

2.4.3 Gitterstrukturen . . . 19

3 Der MYRRHA-Injektor: MAX Referenzdesign 2014 (C3) . . . 21

3.1 Anforderungen und Sicherheitsvorkehrungen . . . 21

3.2 Bauelemente und Beschleunigerstrukturen . . . 23

3.2.1 EZR-Ionenquelle und LEBT-Sektion . . . 23

3.2.2 4-Rod-RFQ . . . 25

3.2.3 Rebuncher . . . 27

3.2.4 Normal-und supraleitende CH-Kavit¨aten . . . 29 8

3.3 Geplante Quadrupol-Multiplettanordnung . . . 31

4 Theorie der Einzelkomponenten . . . 34

4.1 Erregerspulen . . . 34

4.1.1 Standard-Quadrupolspulen . . . 34

4.1.2 Magnetische Erregung und Leistung . . . 35

4.1.3 Amperewindungszahl . . . 37

4.1.4 K¨uhlsystem . . . 37

4.1.4.1 Hohlleiterprofile und Isolierung . . . 37

4.1.4.2 Fließparameter . . . 39

4.1.4.3 K¨uhlkreisl¨aufe . . . 41

4.1.5 Spulen-Querschnittsfl¨ache und Packdichte . . . 42

4.2 Magnet-Eisenjoch . . . 42

4.2.1 Ferromagnetische Materialeigenschaften . . . 42

4.2.1.1 Magnetisierung und magnetische Suszeptibilit¨at . . . 42

4.2.1.2 Weiß’scher Ferromagnet, spontane Magnetisierung und Hystere- sekurve . . . 44

4.2.1.3 Permeabilit¨at des Stoffes . . . 46

4.2.2 Feldverhalten an Grenzfl¨achen . . . 46

4.2.3 Eisenjoch-Design . . . 48

4.3 Polschuh-Profil . . . 48

4.3.1 Vektor- und Skalarpotenzial im Komplexen . . . 48

4.3.2 Systematische Multipolfehler . . . 51

4.3.3 Wichtige Begriffe . . . 52

4.3.3.1 Good-Field-Region und Polradius . . . 52

4.3.3.2 pole-cutoff und Feldqualit¨at . . . 53

4.3.3.3 Fasenwinkel und Fasenl¨ange . . . 54

4.3.4 Methoden der Polschuh-Auslegung . . . 55

4.3.4.1 Methode 1: Auslegung durch konforme Abbildung . . . 55

4.3.4.2 Methode 2: Auslegung durch Tangentenanpassung . . . 59

5 3D-Simulationen . . . 60

5.1 Opera COBHAM 3D-Modeller . . . 60

5.1.1 Preprozessor: Modell-Aufbau anhand eines COMI-Skripts . . . 60

5.1.2 Postprozessor: Optimierung der Polfl¨ugel (manuell) . . . 72

6 Ausblick . . . 77

Anhang: homogeneity.comi : COMI-Skript zur Optimierung der Fase . . . 88

Danksagung . . . 88

Literaturverzeichnis. . . 88

Abbildungsverzeichnis . . . 88

Tabellenverzeichnis . . . 91

Symbol Physikalische Gr¨oße Wert(Fehler)+Einheit

A~ Vektorpotential -

A Fl¨achenquerschnitt der Spule m²

A Akzeptanz -

a Betatronschwingungsamplitude -

B, B~ Magnetische Flussdichte T

B⁰ Feldgradient T/m

B₀ Magnetische Flussdichte an der Polspitze T

Bρ Magnetische Steifigkeit -

Bp Magnetisches Peakfeld T

c_p W¨armekapazit¨at des Wassers 4200J/kgK

d Durchmesser der K¨uhlkan¨ale m

d Abstand zweier Mittelebenen m

d Synchronisationsbedingung -

E₀ Energie des Teilchens im Ruhezustand 938MeV (Protonen)

E Gesamtenergie MeV

E_p Energie des Protonenstrahls MeV

E_e Elektronenenergie MeV

Eion Ionisationsenergie -

F Komplexe Variable -

F~ Lorentz-Kraft N

f Packdichte kg/m³

f Reibungsfaktor -

f Brennweite m

f Frequenz -

1

f Brechkraft N

H, H~ Magnetische Feldst¨arke A/m

h Polradius ( Sollachse-Polspitze) m

I Elektrischer Strom A

j~_m makroskopische Stromdichte A/m²

K Anzahl der Spulen pro Magnet -

k Positiver Parameter -

L_magnet Geometrische L¨ange des Eisenjochs m

L_{ef f} Effektive L¨ange m

l_ave Durchschnittsl¨ange einer Windung m

L=N l_ave Spulenl¨ange m

l L¨ange der K¨uhlkan¨ale m

l Energieabweichung zum Sollteilchen -

m Ruhemasse ^{M eV}_c2

mc² Ruheenergie M eV

N Windungszahl -

N_w Anzahl der K¨uhlkreisl¨aufe pro Magnet -

N I Magnetische Erregung -

P Leistung J/s = kg·m²/s³

P_th Reaktorleitung J/s = kg·m²/s³

P_zu Spaltleistung (Target) J/s = kg·m²/s³

~

p Impuls des Teilchens ^{M eV}_c2

q Fließvolumen -

q Ladung des Teilchens C

~r Ortsvektor -

r₀ Radius der

”good field region “ m

r₀(s) Sollbahn m

Re Reynoldzahl -

R elektrischer Widerstand Ω=V/A

R Transfermatrix -

Rx, Ry Transfer-Untermatrizen -

S Strukturperiode -

T_C Curie - Temperatur K

T Strahlenergie (Ekin des Teilchens) - M eV

T Wassertemperatur K

U Spannung V

Uef f Beschleunigungsspannung V

u=w+iv Koordinate im Dipol-Raum -

V_magnet Spulen-Volumen m³

V(x, y,) Skalares Potential -

~v Fließgeschwindigkeit des Wassers m/s

~v momentane Teilchengeschwindigkeit ^m_s

xopt Pol¨uberhang(optimiert) - m

x_unopt Pol¨uberhang (nicht optimiert) - m

x_c x-Koordinate des Pol-

”cut-off“ -

x Lage zur Sollbahn x - m

x⁰ Neigung zur Sollbahn x -

y Lage zur Sollbahn y -

y⁰ Neigung zur Sollbahn y -

y_c y-Koordinate des Pol-

”cut-off“ -

z=x+iy Koordinate im Multipol-Raum -

z Wegstrecke l¨angs der Sollachse m

Z Shunt-Impedanz -

α(s) optische Funktion (Twiss-Parameter) - β(s) Betatronfunktion (Amplitudenfunktion) -

γ(s) optische Funktion (Twiss-Parameter) -

∆p Druckabfall Pa = kg/s²·m

∆ϕ= ^∆p_p Phasenabweichung zum Sollteilchen Ns= kg m/s

∆T Temperaturanstieg K

∆B

B Feldqualit¨at -

, x, y, l Emittanz -

η Magnetische Effizienz -

µ_o Permeabilit¨atszahl des Vakuums 1.257·10⁻⁶Vs/Am

µ Permeabilit¨atszahl des Stoffes Vs/Am

mu Betatronphasenvorschub -

ν Kinematische Viskosit¨at m²/s

ρ(~r, t) Ladungstr¨agerdichte 1/m³ ρ spezifischer Widerstand (Kupfer) 1.86×10⁻⁸Ω·m

ρ Bahn-Kr¨ummungsradius m

ρ(xx⁰), ρ(yy⁰) transversale Dichteverteilung -

φ Hochfrequenz Phasenlage -

ωc Kreisfrequenz (Mikrowellenheizung) -

Einleitung

Das Wirkungsprinzip eines Elektromagneten, die Erzeugung eines Magnetfeldes mittels Strom, wurde bereits im Jahr 1820 entdeckt. Die praktische Umsetzung dieser Erkenntnis gelang jedoch erst dem englischen Physiker William Sturgeon, der im Jahr 1825 den ersten Elektromagneten baute. Dieser war zwar einfach im Aufbau jedoch f¨ur die damalige Zeit ¨außerst wirkungsvoll in seiner Funktion. Er bestand aus einem mit reinem Kupferdraht umwickelten Eisenkern und war in der Lage mehrere englische Pfund-M¨unzen anzuheben. Aufgrund des enormen wissen- schaftlichen und technischen Fortschritts in der Entwicklung sowie im Bau von Elektromagneten erzeugen die modernen Vertreter dieser Art bereits Felder mit einer magnetischen Flussdichte von bis zu 95 Tesla (Hochfeld Magnetlabor Dresden (HLD), National High Magnetic Field Laboratory Los Alamos (USA)), und finden, je nach Gr¨oße, Art und Funktion in nahezu allen Beschleunigeranlagen ihre Anwendung als sogenannte strahlf¨uhrende/ fokussierende Elemente.

Trotz unterschiedlicher Bauart besitzen alle Elektromagnete einen aus einem ferromagnetischen Material aufgebauten Kern sowie eine normal- beziehungsweise supraleitende Erregerspule.

1.1 Elektromagnete: Ein ¨ Uberblick

Ihr Einsatz in der Beschleunigertechnik liegt unter anderem in dem Wunsch begr¨undet, die Strahl- qualit¨at, ein f¨ur den Erfolg vieler Experimente wichtiger Parameter, kontinuierlich zu verbessern.

Neben der Impuls- beziehungsweise Energiesch¨arfe und der zeitlichen Struktur des Strahls ist die Strahlqualit¨at abh¨angig von der geometrischen B¨undelung in transversaler Richtung. Diese ist notwendig um ein Auseinanderlaufen der Teilchen aufgrund von Raumladungseffekten (repulsive Coulomkr¨afte) und unterschiedlichen Anfangsparametern (Position, Winkel) zu verhindern. Eine solche transversale Fokussierung erfolgt mithilfe von Quadrupolmagneten, die anhand ihrer speziellen Funktionsweise jeden Teilchenstrahl so pr¨aparieren, dass eine Strahltaille mit der Ortsausdehnung ∆x und einer Winkelunsch¨arfe ∆x⁰ entsteht. Beide Parameter definieren die Emittanz π_x = π∆x∆x⁰, die ein Maß f¨ur die geometrische B¨undelung (hier in x-Richtung) darstellt. Je kleiner die Werte der Emittanz sind, desto besser ist die Strahlqualit¨at [vgl. (6) S.7].

Neben der Fokussierung ist in nahezu allen Beschleunigeranlagen, insbesondere in solchen mit ann¨ahernd kreisf¨ormiger Teilchenbahn (Synchrotron, Collider), eine gezielte Ablenkung des Strahls notwendig. Hier kommen sogenannte Ablenkmagnete zum Einsatz.

Zu ihnen geh¨oren ¨uberwiegend Dipolmagnete, bestehend aus zwei Polen und einem dazwischen verlaufenden homogenen Magnetfeld. F¨ur detaillierte Aussagen zu deren unterschiedliche Bau- formen (C-Magnet, H-Magnet, Window-Frame Magnet) sowie deren Vor- und Nachteile siehe [(6) S. 84 - 86]. An dieser Stelle sei der ebenfalls zur Gruppe der Ablenkmagnete z¨ahlende Gradientmagnet genannt. Dieser spezielle Dipolmagnet weist die F¨ahigkeit auf aufgrund einer keilf¨ormigen Anordnung der Pole sowie des daraus resultierenden linear verlaufenden Feldgradi- enten den Strahl simultan zu fokussieren/ defokussieren und abzulenken (combined function magnet).

Des Weiteren ist neben der Fokussierung und Ablenkung des Strahls eine Korrektur st¨orender Aberrationen, wie sie in vielen ionenoptischen Systemen auftreten, anhand von Elektromagneten m¨oglich. Anschaulich sei dies am Beispiel der chromatischen Aberration, ein von der Impuls- abweichung δ= ∆p/p₀ abh¨angiger Fehler zweiter Ordnung gezeigt. So erfahren beispielsweise Teilchen mit einer positiven Impulsabweichung ∆p/p₀>0 eine schw¨achere Ablenkung als solche, f¨ur die ∆p/p₀<0 gilt, was zu einer dispersiven Aufweitung des Strahls in den Ablenkmagne- ten f¨uhrt [vgl. (6) S. 193]. Die so entstandene Dispersion hat negative Auswirkungen auf die Emittanz und folglich auf die Qualit¨at des Strahls. Erf¨ahrt nun ein dispersiver Strahl eine Fokussierung durch einen Quadrupolmagneten, erfolgt eine Verschiebung des Brennpunktes in longitudinaler Richtung (chromatische Aberration). Eine Korrektur dieses Effekts ist mit Hilfe von Sextupolmagneten m¨oglich, wobei hier zus¨atzlich zwischen fokussierenden und defo- kussierenden Sextupolmagneten unterschieden wird. W¨ahrend der F-Sextupol die Brennweite verk¨urzt, erfolgt durch den D-Sextupol eine Verl¨angerung dieser, wodurch die Wiederherstellung des vorgesehenen Brennpunktes erfolgt [vgl.(7) S.9 ].

Abbildung 1.1: Spulenstrom, Polarit¨at und Kraftrichtung eines Dipol,- Quadrupol- und Sextu- polmagneten f¨ur einen positiven Strahlstrom [vgl.(7) S. 8]

.

Abbildung 1.2: Entstehung und Korrektur einer chromatischen Aberration [vgl.(7) S.10]

Alle diese Aspekte zeigen, dass Elektromagnete eine Reihe wichtiger Anwendungsm¨oglichkeiten bieten. Der folgende Abschnitt formuliert die Motivation, welche die Anfertigung der vorliegen- den Arbeit rechtfertigt sowie die Aufgabenstellung und Zielsetzung derselben.

1.2 Motivation, Aufgabenstellung und Zielsetzung

Ein Magnet, unabh¨angig von Gr¨oße und Funktion, sollte niemals als eigenst¨andig funktio- nierendes und in sich abgeschlossenes Element betrachtet werden. Er ist vielmehr Teil eines Systems, nach dessen physikalische Gegebenheiten er ¨außerst pr¨azise entwickelt, ausgerichtet und integriert wurde. Diese Tatsache verleiht ihm durchaus den Namen

”Unikat“ und erlaubt es keinesfalls, einen f¨ur ein

”anderes“ Projekt entwickelten Magneten zu verwenden, sondern erfordert vielmehr ein spezielles, das heißt auf das jeweilige System (MYRRHA-Injektor) abge- stimmtes, Magnet-Design.

Der Aufgabenbereich der vorliegenden Arbeit umfasst die Bestimmung des Polschuh-Profils eines zur Strahlfokussierung dienenden Quadrupolmagneten. Der Mindestwert des Feldgradienten B’ sowie der Innendurchmesser des Strahlrohres, nach dessen Vorgaben sich die Erstellung des Designs richtet, betragen 50 T/m sowie 0.04 m. Die Entwicklung der Polschuh-Kontur sowie die der als Subsystem geltenden Erregerspulen und des Magnet-Eisenjochs beziehen sich allesamt auf die f¨ur den MYRRHA-Injektor (Referenzdesign 2014 (C3)) [vgl.(8)] typischen Strahlpara- meter (Emittanz, Apertur) und Designeigenschaften ( Platzangebot, benachtbarte Bauelemente).

”The goal is to produce a product just good enough to perform reliably with a sufficient safety factor at the lowest cost an on time“.

TH. Zickler, CERN [vgl.(9)]

Die physikalischen Anforderungen m¨ussen in so hohem Maße erf¨ullt sein, dass sie eine hin- reichende Betriebssicherheit, Zuverl¨assigkeit und Wirtschaftlichkeit des Quadrupolmagneten garantieren. Folgende Teilziele lassen sich demnach formulieren:

• Erhalt eines homogenen und uniformen Magnetfeldes/Feldgradienten. (gew¨unschte Feld- qualit¨at ^∆B_B = 10⁻³)

• Reduzierung st¨orender Multipolkomponenten n-ter Ordnung

• Minderung von S¨attigungseffekten im Magnet-Eisenjoch

• Erhalt eines ¨okonomischen und sicheren Spulensystems (erforderliche Leistung bei m¨oglichst geringem Strom und Materialverbrauch, hochqualitativ verarbeitete Spulen-Isolierung (Vermeidung von ¨Uberhitzung))

Allgemeine Grundlagen

2.1 Maxwell-Gleichungen der Magnetostatik

Magnetostatische Felder sind zeitlich konstant. Sie entstehen durch statische elektrische Str¨ome (^∂ρ_∂t = 0 → ∇ ·~j_m = 0, ρ=ρ(~r, t) = Ladungstr¨agerdichte). Die von James Clerk Maxwell im 19.

Jahrhundert formulierten Maxwell-Gleichnungen verkn¨upfen zeitunab¨angige Str¨ome mit den von ihnen erzeugten Magnetfeldern. Sie erm¨oglichen die exakte Berechnung der magnetischen FlussdichteB~ und lassen dar¨uber hinaus grundlegende Eigenschaften des Magnetfeldes erkennen.

Kurz: Die Maxwell-Gleichungen der Magnetostatik bilden das Fundament derselben. Ein Großteil der in dieser Arbeit dargestellten physikalischen Prozesse greift auf diese Gleichungen zur¨uck.

Aufgrund dessen folgt in diesem Kapitel eine kurze Einf¨uhrung beider Grundgleichungen, die sich sowohl in differentieller als auch in integraler Form darstellen lassen.

2.1.1 Divergenz der magnetischen Flussdichte

DasBiot-Savart-Gesetz, welches zun¨achst die von einem linearen elektrischen Leiter erzeugte magnetische Flussdichte B(~~ r) formuliert, l¨asst sich durch den ¨Ubergang zum sogenannten Stromfaden (~j_md³r⇒Id~r) auf beliebige Stromdichten~j_m(~r) erweitern (siehe Abbildung (2.1)).

Bei der hier verwendeten Stromdichte~j_m handelt es sich um eine makroskopische Gr¨oße, die von der mikroskopischen Stromdichte (siehe Kapitel 4, Unterabschnitt (4.2.1.1)) zu unterscheiden ist [vgl.(10) S.171].

B~(~r) =µ₀ I 4π

Z

C

d~r⁰×(~r−~r)

|~r−~r⁰ |³ = µ0

4π Z

d³r⁰~j_m~r⁰× ~r−~r⁰

|~r−~r⁰ |³ (2.1)

[∇_r×~j_m(~r⁰)] 1

|~r−~r⁰ | =−[~j_m(~r⁰)× ∇_r] 1

|~r−~r⁰ | =~j_m(~r⁰)× ~r−~r⁰

|~r−~r⁰ |³ (2.2) Gleichung (2.1) l¨asst das Superpositionsprinzip f¨ur magnetische Felder erkennen. Demnach uberlagern sich die Felder zweier Stromverteilungen linear, sodass sich die resultierende Strom-¨ dichte j~_m aus der Summe der einzelnen zusammensetzt. Durch Einsetzen von Gleichung (2.2) in Gleichung (2.1) l¨asst sich die magnetische Flussdichte B~(~r) als Rotation eines Vektorfeldes A~ schreiben:

B(~~ r) = µ₀ 4π

Z

∇r×~j_m(~r) 1

|~r−~r⁰ | =∇r× µ₀ 4π

Z

d³r ~j_m(~r⁰)

|~r−~r⁰ | (2.3) Das Vektorpotenzial A(~~ r), ein Analogon zum skalaren Potenzial der Elektrostatik, ist wie folgt definiert:

A(~~ r) = µ0

4π Z

d³ ~jm(~r⁰)

|~r−~r⁰ | (2.4)

B~ =∇ ×A~ =

ˆi ˆj kˆ

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

A_x A_y A_z

(2.5)

∇ ·B~ =∇ ·(∇ ×A) = 0~ (2.6) Gleichung (2.6) stellt somit die homogene Maxwell-Gleichung der Magnetostatik dar. Dem- nach ist die Divergenz der magnetischen Flussdichte B(~~ r) Null, das heißt,B(~~ r) ist ein reines Rotationsfeld und somit quellenfrei. Mithilfe des gaußschen Satzes [vgl.(10) S.27], der Volu- meneigenschaften eines Vektorfeldes mit dessen Oberfl¨acheneigenschaften verkn¨upft, erh¨alt man schließlich die integrale Form der Gleichung (2.6). Diese zeigt, dass der Fluss durch die Oberfl¨ache F eines beliebigen Volumens V Null ist. Es existieren demnach keine magnetischen Ladungen beziehungsweise Monopole.

Z

V

∇ ·BdV~ = Z

F

B~ ·d ~F = 0 (2.7)

2.1.2 Rotation der magnetischen Flussdichte

Da sich das im ganzen Raum definierte Vektorfeld B(~~ r) als Summe eines rotationsfreien (longitudinalen) und divergenzfreien (transversalen) Anteils zerlegen l¨asst (Zerlegungssatz f¨ur Vektorfelder [vgl.(10) S.36]), und wegen Gleichung (2.4) die Divergenz des Feldes B(~~ r) bereits

Null ergibt, bleibt f¨ur den Transversalanteil folgende Beziehung:

B(~~ r) = rot

"

1 4π

Z

d³r⁰rot B(~~ r⁰)

|~r−~r‘|

#

(2.8) Die differentielle Form derinhomogenen Maxwell-Gleichung der Magnetostatik folgt aus dem Vergleich mit Gleichung (2.3):

∇ ×B~ =µ₀~j_m (2.9)

Abbildung 2.1: Berechnung der magnetischen Flussdichte B~ eines linearen elektrischen Leiters anhand des Biot-Savart-Gesetzes [vgl.(10) S.171]

.

Elektrische Str¨ome erzeugen demnach magnetische (Wirbel)-Felder. Die integrale Darstellung, das sogenannteamp`eresche Durchflutungsgesetz, gelingt mit Hilfe desstokesschen Satzes(H

SB~·d~s= R

F(∇ ×B~)·d ~F ), der f¨ur beliebige Vektorfelder das Linienintegral ¨uber dem Rand einer Fl¨ache mit dem entsprechenden Fl¨achenintegral verkn¨upft:

I

S

B~ ·d~r =µ₀ Z

F

~j_m·d ~f =µ₀I (2.10)

Die Vakuumpermeabilit¨at µ₀ ist eine Proportionalit¨atskonstante zwischen der magnetischen Feldst¨arke H~ und der magnetischen Flussdichte B~ im Vakuum. Sie betr¨agt 1,2566·10⁻⁶N/A² beziehungsweise 4π×10⁻⁷Tm/A. (n¨aheres hierzu sowie zur Permeabilit¨at des Stoffes µsiehe Unterabschnitt (4.2.1.3)).

2.2 Normalleitende Quadrupolmagnete

Quadrupolmagnete mit normalleitenden Erregerspulen finden ihren Einsatz in der MEBT (medium energy beam transport) - Sektion des MYRRHA-Injektors ab einer Teilchenenergie von 1.5 MeV [vgl.(8)]. Die Feldverteilung solcher Magnete wird ausschließlich durch das Profil ih- rer Polschuhe bestimmt. Zudem ist die magnetische FlussdichteB~ dieses Magnettypen aufgrund der S¨attigungsmagnetisierung (siehe Unterabschnitt (4.2.1.2)) im Eisenjoch begrenzt(B ≤2T).

Mit supralleitenden Magneten erreicht man Werte von bis zu 18T, wobei ihre Feldverteilung einzig durch die Stromdichteverteilung bestimmt wird, was wiederum eine ¨außerst genaue Spulenwicklung voraussetzt [vgl.(6) S.93].

Ob normal- oder supraleitende Magnete zum Einsatz kommen entscheidet die magnetische Steifigkeit (Bρ). In Nieder- und Mittelenergiebeschleunigern ist diese Gr¨oße auf einige 10 Tesla- meter [Tm] begrenzt. Liefert Bρ Werte oberhalb dieser Grenze, ben¨otigt man zur Fokussierung

des Strahls h¨ohere B-Felder, welche nur mit supraleitenden Magneten erreichbar sind. Die~ magnetische Steifigkeit, auch

”B-RHO- Wert“genannt, ist wie folgt definiert:

Bρ= 1 qc

pT²+ 2T E₀ (2.11)

Mit q = Ladung in Coulomb, c = Lichtgeschwindigkeit in Meter/Sekunde, T = Strahlenergie, E₀ = Ruhemasse des Teilchens und ρ = Bahn-Kr¨ummungsradius [vgl. (7) S.1].

2.2.1 Aufbau und Funktionsweise

2.2.1.1 Polschuhe

Quadrupolmagnete besitzen vier Polschuhe, wobei sich die Nord- und S¨udpole jeweils ge- gen¨uberliegen. Die Polschuhoberfl¨achen stellen ¨Aquipotenzialfl¨achen des skalaren Potenzials V(x,y) dar. F¨ur diese gelten: xy = ^h₂² = const.. In Wirklichkeit besitzen sie jedoch aufgrund der Endlichkeit ihres Profils nur in der Umgebung der Polspitze eine ann¨ahernd hyperbelf¨ormige

Abbildung 2.2: Aufbau eines Quadrupolmagne- ten. Die Polschuhe wurden so ausgerichtet, dass der Magnet invariant gegen¨uber einer 90^◦ - Dre- hung ist.

Kontur. Die Abweichung von der idea- len Hyperbel macht sich in Multipol- komponenten h¨oherer Ordnung bemerk- bar. Es gilt demnach anhand von Simu- lationsrechnungen den sogenannten pole- cutoff (siehe Unterabschnitt (4.3.3.2)) so zu w¨ahlen, dass trotz Endlichkeit des Pro- fils sowie der daraus entstehenden Mul- tipolkomponenten h¨oherer Ordnung die gew¨unschte Feldqualit¨at (^∆B_B ) erreicht wer- den kann (Einzelheiten zur Feldqualit¨at siehe Unterabschnitt (4.3.3.2)) [vgl.(6) S.

88].

2.2.1.2 Erregerspulen

Die aus Kupfer, f¨ur Detektormagnete aus Alu- minium, gefertigten und wassergek¨uhlten Er- regerspulen sind jeweils um die einzelnen Pol- schuhe gewickelt. Bei nicht zu hohen Strom- dichten und Leistungen k¨onnen auch luft- gek¨uhlte Spulen eingesetzt werden. Der Fluss des demineralisierten Wassers erfolgt durch (meist) kreisrunde Hohlr¨aume, welche sich in-

nerhalb der einzelnen Kupferleiter befinden (siehe hierzu Unterabschnitt (4.1.4.1)). Die Windungszahl N sowie die Anzahl der Schichten erfolgt durch Berechnungen in Abh¨angigkeit von der Stromdichte~j_m. Diese stellt f¨ur derarti- ge Optimierungsprozesse einen wichtigen Design-Parameter dar. Die Isolierung zwischen den einzelnen Windungen sowie die um den gesamten Spulenk¨orper besteht aus einem epoxidharz- beschichteten Glasfaserband [vgl. (11)].

2.2.1.3 Magnet-Eisenjoch

Der Aufbau desEisenkerns ist abh¨angig von den physikalischen Anforderungen an den jeweiligen Magneten. F¨ur den Gleichstrombetrieb eignet sich ein solcher Magnet, dessen Joch aus einem soliden und zusammenh¨angenden St¨uck Eisen gefertigt ist. Das von den Spulen erzeugte und zeitunabh¨angige Magnetfeld erf¨ahrt keinerlei St¨orungen durch induzierte Wirbelstr¨ome. Jedoch kann ein solcher Magnet, dessen Joch jene massive Bauart aufweist, nicht rapide gepulst werden.

Weisen die Magnetfelder hingegen eine Zeitabh¨angigkeit auf (Strahlen mit unterschiedlicher magnetischer Steifigkeit Bρ, (zum Beispiel die Beschleuniger am UNILAC), linearer Feldanstieg mit der Zeit in vielen Synchrotrons (energiesynchrone Felderh¨ohung)), eignen sich gepulste Magnete. Diese garantieren bei niedriger Wiederholrate Energieeinsparungen sowie Einsparungen in der K¨uhlleistung (zum Beispiel die Injektion ins SIS). Zur Vermeidung von Wirbelstrom- effekten, ausgel¨ost durch zeitabh¨angige Magnetfelder (Faraday’sches Induktionsgesetz), wird der gepulste/gerampte Magnet wie ein Transformator aus einzelnen gegeneinander isolierten Lamellen aufgebaut (geblechter Jochaufbau). Polschuhe und Erregerspulen sind dabei rotations- symmetrisch zur Magnetachse angeordnet (weiteres zum Jochaufbau sowie zu den jeweiligen Materialeigenschaften siehe Abschnitt (4.2)) [vgl.(12)], [vgl.(6) S. 57], [vgl. (7) S. 238].

2.2.1.4 Apertur

Der Raum zwischen den jeweiligen Polschuhspitzen, welcher zur Installation des Strahlrohres vorgesehen ist, wird alsApertur bezeichnet. Sie beinhaltet die sogenannte Good- Field-Region, die Dicke des Strahlrohres (0.3−2mm) sowie einen Freiraum (0.0−2mm) f¨ur die Installation und Ausrichtung [vgl.(9)].

Der Aufbau unterscheidet sich zudem durch unterschiedliche Anordnungsm¨oglichkeiten der einzelnen Komponenten (siehe Abbildung (2.3)).

Abbildung 2.3: Unterschiedliche Komponentenanordnung: (v.l.) Standardquadrupol 1 mit maxi- maler Polbasisverbreiterung, Standardquadrupol 2 ohne Polbasisverbreiterung, Collins- bezie- hungsweise

”Figure of Eight“ -Quadrupol, Panofsky

Funktionsweise: Die gewickelten Spulen erzeugen ein transversal-magnetisches Quadrupolfeld, sodass die Teilchen im Abstandr von der Sollachse eine linear zunehmende fokussierende/defo- kussierende Kraft (Lorentz-Kraft F~ = q(~v×B~ +E)) erfahren. Abh¨~ angig von der Stromrichtung innerhalb der Spulen entsteht senkrecht zu dieser das von den Spulen erzeugte Magnetfeld.

Senkrecht zur Stromrichtung und zum Magnetfeld steht die Lorentz-Kraft (¨uberpr¨ufbar durch Drei-Finger-Regel (siehe auch Abbildung 1.1)). Der Quadrupolmagnet wirkt in einer Ebene

fokussierend und in der dazu senkrechten Ebene defokussierend. F¨ur einen positiven Feldgra- dienten B⁰ gilt: fokussierend in x-Richtung und defokussierend in y-Richtung (vice versa f¨ur einen negativen Feldgradienten) [vgl. (6) S. 136]. Aufgrund dessen und zum Erhalt einer starken Fokussierung werden Quadrupolmagnete zu sogenanntenionenoptischen Systemen (Dubletts, Tripletts) zusammengesetzt (siehe Abschnitt (2.4.2)).

2.2.2 Gr¨ oßen und Kenndaten

Als Kenndaten werden jene physikalischen Gr¨oßen bezeichnet, deren charakteristische Verhal- tensweisen ausschließlich dem Quadrupolmagneten zuzuordnen sind. Gr¨oßen dieser Art sind der Feldgradient B⁰, die magnetische Flussdichte B~ und ihre r¨aumliche Verteilung sowie die effektive L¨ange L_{ef f}.

2.2.2.1 Magnetische Flussdichte und Feldgradient

Der Innenbereich des Quadrupols ist feldfrei. Demnach kann die magnetische Flussdichte B~ wegen ∇ ×~ B~ = 0 als Gradient eines skalaren Potenzials V(x, y) dargestellt werden. Mit Hilfe von Gleichung (2.5) erh¨alt man folgende Beziehungen:

V(x, y) = −B⁰xy (2.12)

B~ =−∇V~ =−ˆi∂V

∂x −ˆj∂V

∂y −ˆk∂V

∂z (2.13)

B_x =B⁰y, B_y =B⁰x, |B~ |=|B⁰ |r (2.14)

B⁰ = ∂B_y

∂x = ∂B_x

∂y = B₀

h (2.15)

Hierbei istB0 der Feldwert an der Polspitze undh der Polradius, genauer, der Abstand zwischen Sollachse und Polspitze. Das B~ - Feld stellt somit eine lineare Funktion des Polradius’ h dar.

Diese charakteristische Eigenschaft verliert beim Eintritt der magnetischen Flussdichte B~ in das Magnet-Eisenjoch aufgrund der S¨attigungsmagnetisierung des Eisens ihre G¨ultigkeit [vgl.(6) S.

88]. Zur Vereinheitlichung von Gleichung (2.15) verwendet man den Betrag des Feldgradienten

|B⁰| und definiert mit Hilfe des

”B-RHO-Wertes “den Parameter k wie folgt:

k = |B⁰ | (Bρ)0

= |B₀ | h

1 (Bρ)0

(2.16) Gelten die Relationenk_x =k ,k_y =−ksowie (B⁰ >0), so handelt es sich um einen in x-Richtung fokussierenden und in y-Richtung defokussierenden Quadrupolmagneten [vgl. (6) S. 136].

Des Weiteren zeigt der Feldgradient B⁰ eine direkte Proportionalit¨at zur Amperewindungszahl N I. F¨ur den Quadrupolmagneten gilt:

N I_quadrupole= B⁰h² 2ηµ0

(2.17)

Die Gr¨oßeη beschreibt die magnetische Effizienz als das Verh¨altnis zwischen der Amperewin- dungszahl N I_Apertur und der Summe aus N I_Apertur und N I_Eisen [vgl.(7) S.106] (n¨aheres hierzu sowie zur Herleitung von Gleichung (2.17) siehe Abschnitt (4.2.3) und (4.1.2)).

2.2.2.2 Effektive L¨ange

Die effektive L¨ange L_{ef f} z¨ahlt ebenso wie der Feldgradient B⁰ zu den charakteristischen Gr¨oßen des Quadrupolmagneten.

Abbildung 2.4: Blaue Kurve: Magnetische Flussdichte B~ als Funktion des Weges in longitudinale Richtung. Rote Kurve: Effektive L¨ange L_{ef f} des Magneten [vgl.(9)]

.

Sie beschreibt die magnetische Flussdichte B~ l¨angs der Sollbahn r~0(s) als Funktion des Weges in Strahlrichtung. Sie ist streng von der geometrischen L¨angeL_iron des Jochs zu unterscheiden.

Nach Abbildung (2.4) f¨allt die magnetische FlussdichteB~ am Ende des Eisensjochs nicht spontan auf Null sondern erstreckt sich als sogenanntes Randfeld bis weit in den Außenbereich hinein.

Die Reichweite hierf¨ur liegt in der Gr¨oßenordnung mehrerer Polradien h [vgl. (6) S. 90]. Es gilt:

L_{ef f} = 1 B₀

Z ∞

−∞

B(s)ds ; L_{ef f} =L_iron+h (0.6h) (2.18)

Der Wert (0.6h) bezieht sich auf Erregungen mit S¨attigungsmagnetisierung [vgl.(6) S.91].

2.3 Multipolentwicklung des Quadrupolfeldes

Jedes Magnetfeld kann nach Multipolen entwickelt werden. Betrachtet man das Feld als eine

Abbildung 2.5: Multipolentwicklung anhand von Zylinderkoordinaten [vgl.(6) S. 91]

.

ebene zweidimensionale Verteilung, gen¨ugen hierf¨ur zwei Komponenten (zum Beispiel die kartesischen Koordina- ten der magnetischen Flussdichte B_x und B_y). F¨ur die Multipolentwicklung erh¨alt man mit dem Ortsvektor r = p

x²+y² sowie mit dem Winkel ϕ = arctan(^y_x) folgende Ausdr¨ucke in Zylinderkoordinaten: (siehe Ab- bildung (2.5))

Br(r, ϕ) =

∞

X

n=1

r r₀

n−1

(−ancosnϕ+bnsinnϕ)(2.19)

B_φ(r, ϕ) =

∞

X

n=1

r r₀

n−1

(a_nsinnϕ+b_ncosnϕ) (2.20)

Die Koeffizienten b_n und a_n stehen f¨ur die normalen beziehungsweise schiefwinkeligen³ Komponenten. Die Polschuhe sollten so ausgelegt werden, dass f¨ur den Quadrupolmagneten nur der Koeffizient b₂ ungleich Null wird. Alle anderen Anteile sollten Null beziehungsweise m¨oglichst klein sein. Allerdings sind durch Inhomogenit¨aten im Eisen Multipolkomponenten h¨oherer Ordnung kaum zu vermeiden. Ist der Quadrupolmagnet invariant gegen¨uber einer 90^◦-Drehung, so besitzt er folgende Harmonische: n = 2,6,10,14, ..., das heißt, nur f¨ur solche treten Multipole auf [vgl. (6) S. 91].

2.4 Transversale Strahldynamik und Ionenoptik

Zur Beschreibung eines Teilchenstrahls eignet sich das in Abbildung (2.6) dargestellte Stan- dardkoordinatensystem der Beschleunigerphysik, welches in der Differenzialgeometrie auch krummliniges Koordinatensystem genannt wird [vgl.(6) S. 119]. Es beschreibt die Bahn eines beschleunigten Teilchens anhand folgender Metrik:

~

r(s) =~r₀(s) +x(s)~u_x(s) +y(s)~u_y(s) (2.21) Es gelten folgende Beziehungen:

• Das ebene, transversale (x,y)-Koordinatensystem beschreibt die momentane Position des Teilchens, welches sich entlang der zentralen Bahn bewegt. Der Nullpunkt sowie die Richtung dieses Koordinatensystems bewegen sich mit dem beschleunigten Teilchen.

3Der schiefwinkelige Quadrupolmagnet ist um 45^◦ gedreht. Er koppelt horizontale und vertikale Betatron- schwingungen [vgl. (6) S. 92]

Abbildung 2.6: (x,y,s)-Standardkoordinatensystem der Beschleunigerphysik [vgl.(6) S. 118]

.

• DieSollbahn ~r₀(s) wird durch die Bekanntheit des Beschleunigertyps sowie aller ionenopti- scher Systeme ebenfalls als bekannt vorausgesetzt.

• ~r₀(s) liegt in der magnetischen Mittelebene des jeweiligen Quadrupolmagneten.

• (x,y)-Ebene = Normalebene zur zentralen Bahn r~₀(s)→ ~u_s ⊥(x, y) - Ebene

• ~u_x liegt in der magnetischen Mittelebene und zeigt nach links

• ~u_y ⊥~u_x ⊥~u_s

• ρ₀ = Kr¨ummungsradius der zentralen Bahn r~₀(s)

2.4.1 Eigenschaften eines Teilchenstrahls

Zur vollst¨andigen Beschreibung eines paraxialen Strahls⁴ in transversaler Richtung gen¨ugen die Orts- und Richtungsabweichungen xx⁰ und yy⁰, die den 2-dimensionalen Phasenraum (jeweilige Ebene senkrecht zur Sollbahn ~r₀(s)) aufspannen. Die Inhalte der longitudinalen Strahldynamik (Phasenabweichung ∆ϕ, Phasenfokussierung, Energiegewinn ∆W, Synchrontronschwingung

sowie longitudinale Emittanz und Akzeptanz) lassen sich in [(6), Kapitel 8] nachlesen.

x(s) =















 x

px

ps

y

py

ps

∆W

∆ϕ

















=















 x

dx ds

y

dy ds

∆W

∆ϕ

















=















 x x⁰ y y⁰

∆W

∆ϕ

















(2.22)

4Strahl, dessen Ortsabweichung sehr klein gegen¨uber der Brennweite f und des Kr¨ummungsradius ρ0 ist [vgl.(6) S. 117]

x(s) =

















Lage zur Sollbahn x Neigung zur Sollbahn x

Lage zur Sollbahn y Neigung zur Sollbahn y Energieabweichung zum Sollteilchen

Phasenabweichung zum Sollteilchen

















(2.23)

x⁰ = p_x

p = ∆x

∆s y⁰ = p_y

p = ∆y

∆s (2.24)

Die Gr¨oßen x, x⁰, y, y⁰ undW sowie die der longitudinalen Emittanz werden in den Einheiten mm, mrad, MeV, ns.MeV oder degr.MeV angegeben.

2.4.1.1 Bewegungsgleichungen

Wird ein Teilchen beschleunigt, so erreicht es ann¨ahernd Lichtgeschwindigkeit. Es ist daher notwendig, den Bewegungszustand aus Sicht der speziellen Relativit¨atstheorie zu betrachten.

Die Gesamtenergie E sowie die kinetische EnergieT eines Teilchens lassen sich im Rahmen der relativistischen Kinematik folgendermaßen berechnen, [vgl.(6) S.25]

E =

(mc²)²+ (~pc)²¹₂

(2.25)

T =E−mc² (2.26)

wobei eine Ablenkung, Fokussierung und Beschleunigung erst durch die Wechselwirkung mit magnetischen und elektrischen Feldern erfolgen kann (Lorentzkraft: F~ = q(E~ +~v ×B)). Die~ dabei auftretenden Radial- und Tangentialbeschleunigungen (dabei handelt es sich um eine kreisf¨ormige Ablenkung mit dem Kr¨ummungsradius ρ0 sowie um eine ¨Anderung der Betr¨age von~v und ~p) lassen sich wie folgt darstellen:

γmv²

ρ q ~E⊥, pv =q ~E⊥ρ (2.27)

γmv²

ρ q ~B⊥, p=q ~B⊥ρ (2.28)

Der Lorentzfaktorγ = _mc^E2 mitmc²als Ruheenergie erfasst die relativistische Massenzunahme des Teilchens w¨ahrend der Beschleunigung [vgl.(6) S17]. Im Bereich eines reinen Quadrupolmagneten, dessen Sollbahn~r₀(s) einer Geraden entspricht, gelten mit k_x = +^B

0q

p0 und k_y =−^B

0q

p0 folgende Bewegungsgleichungen (homogene Differenzialgleichungen 2. Ordnung) in linearer N¨aherung⁵ :

5die an einen Punkt angrenzende lineare Funktionf :R→Rmit x→mx+n;m, n∈R

x⁰⁰+k_x(s)x= 0 y⁰⁰+k_y(s)y= 0 (2.29) F¨ur k>0 (horizontal defokussierender Quadrupolmagnet) ergibt sich als L¨osung derHill⁰schen DGL:

x(s) = x₀cosh√

ks+ x⁰₀

√

ksinh√

ks, x⁰(s) = x₀√

ksinh√

ks+x₀cosh√

ks (2.30)

2.4.1.2 Phasenellipse, Emittanz und Emittanzwachstum

Die Dichteverteilungen ρ(xx⁰),ρ(yy⁰) (Gaußverteilungen im ein- und zweidimensionalen Raum) eines Teilchenstrahls lassen sich durch ellipsenf¨ormige Umrandungen (Phasenellipsen) definieren.

Diese repr¨asentieren die Eigenschaften eines Teilchenstrahls und k¨onnen durch

Abbildung 2.7: Phasenellipse. Die schwarz um- randetet Fl¨ache entspricht der RMS-Emittanz.

[vgl.(13)]

symmetrische 2×2-Matrizenσ_x, σ_y beschrie- ben werden. Exemplarisch sei im folgenden die Phasenellipse der transversalen x-Komponente dargestellt:

σ_x =

σ₁₁ σ₁₂ σ₂₁ σ₂₂

=

σ₁₁ σ₁₂ σ₁₂ σ₂₂

(2.31) Sie zeichnet sich durch die Gleichheit ihrer Ne- bendiagonalelemente aus, wobei das Matrixele- mentσ₁₂ ein Maß f¨ur die Korrelation zwischen x und x⁰ darstellt [vgl.(6) S. 152]. Dar¨uber hinaus weisen die σ_x und σ_y-Matrizen die Ei- genschaft auf, dass ihre Determinante stets den Wert 1 annimmt. Diese Tatsache geht aus dem Liouville’schem Theorem hervor, welches besagt, dass das von Teilchen besetzte Pha- senraumvolumen konstant bleibt, sofern kei- ne Teilchen-Teilchen-Wechselwirkungen exis- tieren [vgl.(13)]. Die Gr¨oße der umrandeten Fl¨ache E_x stellt die Emittanz _x als G¨utemaß der Strahlqualit¨at dar.

Ex =πx =πp

detσx =π q

σ11σ12−σ²₁₂ (2.32)

Zur besseren Vergleichbarkeit von Strahlqualit¨aten in verschiedenen Beschleunigeranlagen werden h¨aufig invariante Emittanzen, das heißt, auf gleichem Impuls normierte Emittanzen angegeben.

Diese ergeben sich aus der adiabatischen D¨ampfung⁶ f¨ur einen Impuls p=mβγ mit βγ = 1.

π=πβγ (2.33)

6_x= ^const_p = adiabatische D¨ampfung, das heisst, die Emittanz ist umgekehrt proportional zum momentanen Teilchenimpuls w¨ahrend der Hochbeschleunigung.

Um nicht nur die Gr¨oße der umrandeten Fl¨ache sondern auch die Dichteverteilung der Teil- chen innerhalb dieser Fl¨ache zu ber¨ucksichtigen, bietet sich die Definition der RMS-Emittanz⁷ beziehungsweise der 1σ -Emittanz an:

_x =p

hx²ihx⁰²i − hxx⁰i² (2.34) Zur Emittanzvergr¨oßerung tragen ¨uberwiegend Raumladungseffekte bei niedrigen Teilchenener- gien bei. So ist die Coulombwechselwirkung zwischen den Teilchen indirekt proportional zu ihren Geschwindigkeiten und Dichten. Durch Ionisation entstehen negativ geladene Ionen, die sich innerhalb einer Potenzialmulde, zum Beispiel innerhalb eines intensiven und positiv geladenen Io- nentrahls, als Sekund¨arelektronen anreichern und so zur Kompensation der Raumladung f¨uhren.

Des Weiteren treten im Bereich von Ionenquellen aufgrund geringer Teilchengeschwindigkeiten sogenannte Kleinwinkelstreuungen auf. Sowohl diese, als auch Nichtlinearit¨aten in der Ionenoptik, wie beispielsweise Aberrationen, Instabilit¨aten der jeweiligen Felder, unzureichend ausgerichtete Fokussierelemente sowie ein fehlangepasster Strahl (Phasenellipse 6= Maschinenellipse, Filamen- tation⁸der Phasenraumverteilung) tragen zu einer Vergr¨oßerung der Emittanz bei [vgl.(6) S. 115].

2.4.1.3 Courant-Snyder-Invariante und Twiss-Parameter

Zur vollst¨andigen Beschreibung der Ellipse eines zirkulierenden Teilchenstrahls eignen sich neben

Abbildung 2.8: Courant-Snyder- Invariante als Phasenellipse [vgl.(6) S.251]

der Emittanz auch die sogenannten Twiss-Parameter αβγ.

Sie beschreiben die Form der Ellipse anhand der optischen Funktionen α(s), β(s), γ(s) mit einer Ellipsen-Fl¨ache von F = πa². Gleichung (2.35) definiert die Courant-Snyder- Invariante als eine Konstante der Bewegung innerhalb des zweidimensionalen Phasenraums. Diese verh¨alt sich direkt proportional zum Quadrat der Betatronschwingungsampli- tude a [vgl.(6) S.250].

γx²+ 2αxx⁰ +βx⁰² = =a² (2.35)

2.4.1.4 Betatronfunktion und Strahlenveloppe In Anbetracht der vorherrschenden fokussierenden Kr¨afte werden die Teilchen innerhalb der Strahlenveloppe, welche f¨ur einen angepassten Strahl definiert ist, durch

x_max(s) = √ p

β(s), x⁰_max(s) = √ p

γ(s) (2.36)

zu transversalen Betatronschwingungen um die Sollbahn~r₀(s) angeregt. Eine solche Schwingung besitzt die lokale Wellenzahlk(s) = _λ(s)^2π und kann ¨uber die Streckeλals abgeschlossen angesehen

7engl. root mean square -

”quadratischer Mittelwert“

8spiralf¨ormige (

”filaments“) Dichteverteilung aufgrund der Abh¨angigkeit des Betatronphasenvorschubsµpro Umlauf von der Schwingungsamplitude a. [vgl.(6)S. 257]

werden. Der Strahlradius (Schwingungsamplitude a) als eine von der Emittanz abh¨angigen Gr¨oße wird durch die Betatronfunktion β(s) beschrieben, die in vielen Ver¨offentlichungen auch als Amplitudenfunktion bezeichnet wird [vgl. (6) S.259] und deren Periodizit¨at sich mit C als Umfangl¨ange wie folgt schreiben l¨asst:

β(s+C) =β(s) (2.37)

Abbildung 2.9: (a) Die Einh¨ullende (rot) einer periodischen Gitterstruktur entspricht ebenfalls einer periodischen Funktion. Die in gr¨un dargestellte Betatronfunktion β(s) zeigt die maximale Auslenkung der Teilchen um die Strahlachse. (b) stellt eine Einzelellipse auf der xx⁰-Ebene dar.

[vgl.(8) S.12]

2.4.2 Quadrupol-Multipletts

Da der Quadrupolmagnet eine in einer Ebene fokussierende und in der dazu senkrechten Ebene defokussierende Wirkung zeigt, werden zum Erhalt einer starken Fokussierung Quadrupol- singletts zu sogenannten ionenoptischen Systemen zusammengesetzt.

2.4.2.1 Matrixformalismus und D¨unne-Linsen-N¨aherung

Die Darstellung der in der Ionenoptik relevanten Elemente (Driftstrecken, Solenoide, Ablenk- und Quadrupolmagnete) basiert auf dem von K.L. Brown entwickelten Matrixformalismus [vgl.

(6) S. 123]. Dabei wird ein einzelnes ionenoptisches Element in linearer N¨aherung durch die sogenannte 6×6 dimensionale Transfermatrix R beschrieben.

R =

















R₁₁ R₁₂ 0 0 0 R₁₆ R21 R22 0 0 0 R26

0 0 R₃₃ R₃₄ 0 0 0 0 R₄₃ R₄₄ 0 0 R₅₁ R₅₂ 0 0 1 R₅₆

0 0 0 0 0 1

















(2.38)

F¨ur die Transversal-Komponenten (x,y) eines Quadrupolmagneten gen¨ugt die Betrachtung der 2×2 dimensionalen (3×3 dimensional bei Ablenkmagnete durch zus¨atzliche Orts - und

Winkeldispersionskomponenten) Untermatrizen (R_x, R_y), die sich durch die Entkoppelung der Transfermatrix R wie folgt darstellen lassen:

R_x=

R₁₁ R₁₂ R21 R22

; R_y =

R₃₃ R₃₄ R43 R44

(2.39) Ein Quadrupolsinglett l¨asst sich durch die sogenannteD¨unne-Linsen-N¨aherung charakterisieren.

Durchl¨auft ein Strahl einesph¨arische Linse (Quadrupollinse), erf¨ahrt dieser eine durch Brechung auf der Mittelebene hervorgerufene Richtungs¨anderung ∆x⁰. Diese ist direkt proportional zur Ortsabweichung x₀ (siehe Abbildung (2.10)). Folgender Ausdruck beinhaltet zudem die Brechkraft ¹_f sowie die Brennweite f:

∆x⁰ =−1

fx₀ (2.40)

Abbildung 2.10: Darstellung der Orts-(x₀) und Richtungsabweichung (∆x⁰) beim Passieren des Strahls durch eine Sammel- (links) und eine Zerstreuungslinse (rechts) [vgl.(6) S. 147 oben].

f_x ≈f = 1

kL, f_y ≈ −f =− 1

kL (2.41)

Die Brennweitenfx undfy (siehe Gleichung (2.41)) sind abh¨angig vom jeweiligen Feldgradienten B⁰, vom Impuls ~p der Teilchen sowie von der magnetischen Steifigkeit Bρ. Diese Tatsache geht aus Gleichung (2.16) hervor, die den in Gleichung (2.41) enthaltenen positiven Parameter k definiert.

2.4.2.2 Quadrupoldublett-Linse

Die Kombination mehrerer Elemente (Multipletts) zu einem ionenoptischen System erfolgt durch Multiplikation aller Transfermatrizen R der im System enthaltenen Einzelelemente.

Das Quadrupoldublett z¨ahlt zu den einfachsten doppelfokussierenden Systemen und besteht aus zwei entgegengesetzt gepolten Quadrupolmagneten. Diese periodische Anordnung der Einzelele- mente mit f₁ = +f und f₂ = −f bezeichnet man als alternierende Gradientenfokussierung. Mit d als Abstand der beiden Mittelebenen erh¨alt man folgende Brechkraft:

1 F = 1

f₁ + 1 f₂ − d

f₁f₂ (2.42)

Abbildung 2.11: Strahlverlauf innerhalb einer Dublett-Linse. Das Resultat entspricht einer starken Fokussierung in transversaler Richtung.

2.4.2.3 Quadrupoltriplett-Linse

Innerhalb eines Quadrupoltripletts besitzt der mittlere Magnet eine den beiden ¨außeren entge- gengesetzte Polarit¨at. In einemsymmetrischen Triplett weist das innere Element, im Gegensatz zu den beiden ¨außeren, doppelt so große Werte f¨ur die effektive L¨ange Lef f und die Brennweite f auf. Die in x-Richtung fokussierenden ¨außeren Quadrupole haben die Brechkraft ¹_f, w¨ahrend die f¨ur das mittlere Element −²_f betr¨agt. Das symmetrische Triplett ist in seiner Wirkungsweise dem zweier kombinierter und entgegengesetzt gepolter Dubletts gleichzusetzen.

Abbildung 2.12: Strahlverlauf innerhalb einer Triplett-Linse [vgl. (14)].

Die exakte Bestimmung der in diesem Kapitel genannten Parameter ist durch die jeweilige Transfermatrix sowie mithilfe des Codes

”TRANSPORT“ m¨oglich und f¨urin Serie geschaltete Quadrupolmagnete unerl¨asslich. Diese setzten eine ¨außerst strenge Symmetriebedingung der einzelnen Elemente voraus. Dies bedeutet sowohl gleiche Driftstrecken l vor und hinter dem System als auch gleichgroße FeldgradientenB⁰ der einzelnen baugleichen Quadrupolmagnete [vgl.

(6) S181-186.]. Des weiteren l¨asst sich durch ein spezielles nummerisches Verfahren (

”non-linear least-square fit“) die exakte Berechnung der Transfermatrix R bewerkstelligen und erh¨alt daraus die genaue Lage der Haupt- und Brennebenen sowie der Brennweitenf_x, f_y eines symmetrischen Tripletts.

2.4.3 Gitterstrukturen

Abbildung (2.13) zeigt verschiedene Anordnungsm¨oglichkeiten der einzelnen Elemente innerhalb einer Beschleunigersektion.

Abbildung 2.13: Verschiedene Anordnungsm¨oglichekeiten zum Erhalt einer starken Fokussierung.

(F) = fokussierendes Element, (D) = defokussierendes Element und (O) = Driftstrecke (frei von strahlf¨uhrenden Elementen)

Die zuvor eingef¨uhrte Betatronfunktion nimmt ihren Maximalwert innerhalb eines Fokussie- relementes an. Die Lage des Minimalwertes (Strahltaille) befindet sich mittig zwischen zwei Quadrupolmagneten beziehungsweise auf der Mittelebene der jeweiligen Zerstreuungslinse [vgl.

(8) S.11]. Die ¨aquidistanten Abst¨ande zwischen den Elementen innerhalb einer Gitterstruktur bezeichnet man als Strukturperioden S. Diese, verkn¨upft mit der Wellenl¨ange λ(s) = 2πβ(s) definieren den Betatronphasenvorschub µ als Fortschritt einer Schwingung innerhalb einer Strukturperiode. Dieser ist, angegeben in Grad, wie folgt definiert:

µ=

I d¯s

β(¯s) = 360^◦S

λ (2.43)

Um eine stabile transversale Fokussierung innerhalb einer Gitterstruktur zu garantieren, ist der Betrag von µnach oben begrenzt (Stabilit¨atskriterium). Die Stabilit¨atsgrenze ergibt sich aus der Forderung |cosµ|<1 beziehungsweise µ≤180^◦. Auf der Grenzlinie (µ= 180^◦) zwischen dem stabilen und dem instabilen Bereich durchkreuzt das Teilchen die Sollachse nachdem es zu diesem Zeitpunkt bereits eine halbe Betatronschwingung vollzogen hat. Da jedoch die Strahlenveloppe einer realistischen Teilchenverteilung durch Hindernisse (zum Beispiel durch W¨ande der Vakuumkammer) begrenzt wird, erh¨alt man eine maximal m¨ogliche Strahlemittanz (Akzeptanz, Admittanz) A = π_max. Diese garantiert einen stabilen Transport des Strahls

innerhalb einer Gitterstruktur [vgl. (6) S. 253 und (8) S.12].

Der MYRRHA-Injektor: MAX Referenzdesign 2014 (C3)

3.1 Anforderungen und Sicherheitsvorkehrungen

MYRRHA-ADS: Mit einem Strahlstrom von 4 mA im cw⁹-Modus wird der Protonenstrahl im Haupt-Linac von E_p = 17MeV auf E_p = 600MeV beschleunigt. Die am Target erzeugten schnellen Neutronen (Spektrum: E >0.75MeV [vgl.(4)], Neutronenfluss: 2·10¹⁷n/s [vgl. (15)]) sorgen f¨ur eine effektive Transmutation der hochradioaktiven Nuklide innerhalb des Reaktors.

Abbildung 3.1: Der MYRRHA-ADS besteht aus zwei identischen Injektoren (parallele Redundanz, von 0 MeV bis 17 MeV), einem Hauptbeschleuniger, bestehend aus spoke- und elliptischen Kavit¨aten (von 17 MeV bis 600 MeV) sowie einem innerhalb des Reaktors angebrachten Target zur Produktion schneller Neutronen.

Anforderungen an den Protonenbeschleuniger:Der im unterkritischen Bereich (k_{ef f} <1) agierende MYRRHA-Reaktor (k_{ef f} = 0.95) stellt aufgrund seiner physikalisch-technischen Eigenschaften hohe Anforderungen an den Protonenbeschleuniger. Zur Aufrechterhaltung der Reaktorleistung P_th von 70MW_th (im ADS-Modus) sowie zur ¨Uberwachung und Steuerung der Kritikalit¨at ben¨otigt der Reaktor sowohl einen zuverl¨assigen wie st¨orungsfreien Protonenstrahl als auch eine externe Quelle zur Produktion schneller Neutronen. Die durch diese Neutronen

9engl. continuous wave

Abbildung 3.2: links: Temperaturabfall in der Ummantelung der Brennelemente als Funktion der Zeitdauer eines Strahlausfalls. rechts: Die Protonenenergie ist direkt proportional zur Neutronenzahl.

zugef¨uhrte Spaltleistung P_zu= (1−k)P_th erm¨oglicht eine Regulierung der ReaktorleistungP_th. SowohlP_thals auchP_zulassen sich zudem durch die Variabilit¨at des StrahlstromsI_p steuern. Das Neutronenproduktionsverh¨altnis ^N_Nⁿ

p, welches die Anzahl der am Target ausgel¨osten Neutronen pro Proton angibt ist direkt proportional zur Protonenenergie E_p (siehe Abbildung (3.2)). Bei einer Strahlenergie vonE_p = 600MeV k¨onnen demnach im Target etwa 10 Neutronen pro Proton erzeugt werden [vgl. (8)].

Folgen einer St¨orung:Bei einem Strahlausfall kommt es zum Stillstand der Neutronenproduk- tion im Target, was dazu f¨uhrt, dass die Kernreaktionen im unterkritischen Reaktor exponentiell abnehmen. Die daraus resultierenden ¨Anderungen der Temperatur (siehe Abbildung (3.2)) tragen zu einer massiven Besch¨adigung des Targets und der Ummantelung der Brennelemente bei [(8)].

Sicherheitsvorkehrungen: Da die Dauer eines Strahlausfalls ausschlaggebend daf¨ur ist, ab welchem Zeitpunkt die Materialbelastung im Reaktor zunehmend kritisch wird, werden f¨ur den MYRRHA-ADS m¨ogliche St¨orf¨alle im Hinblick auf Zeitdauer und Anzahl spezifiziert und festgelegt (siehe Tabelle (3.1)).

Stahlausf¨alle Anzahl der Ausf¨alle

>3s (MTBF>250h) 10 pro Quartal

>0.1s 100 pro Tag

<0.1s keine Einschr¨ankungen

Tabelle 3.1: Anzahl der erlaubten Strahlausf¨alle in Abh¨angigkeit von der Zeit

Um die Zuverl¨assigkeit des beschleunigerbetriebenen Reaktors zus¨atzlich zu erh¨ohen steht f¨ur anf¨allige Bauelemente wie beispielsweise Hochfrequenzregelungen und Netzteile [vgl.(5) S.212] ein zweites, baugleiches und in seiner Funktion identisches Element zur Verf¨ugung. Die- ses Konzept der seriellen Redundanz findet seine Anwendung ausschließlich im Mittel- und Hochenergiebereich (Haupt-Linac) ab einer Strahlenergie von 17 MeV. F¨ur Energien unterhalb

dessen (0 MeV bis 17 MeV) gilt das Prinzip der parallelen Redundanz. Demnach sind zwei identische Injektoren vorgesehen, die im regul¨aren ADS-Betrieb jeweils einen Protonenstrahl in den Hauptbeschleuniger transportieren, wobei ein Dipolmagnet (beam splitter, siehe Abbildung (3.1)) in der MEBT-Sektion (MediumEnergy Beam Transport-Sektion) daf¨ur sorgt, dass nur einer der beiden Strahlen das Target erreicht. Im Falle einer St¨orung, die durch einen Detektor erfasst und best¨atigt (100 ms) wird und nach der Weiterleitung dieser Informationen an das Kontrollsystem und der dortigen Verarbeitung (250 ms), ist der Dipolmagnet in der Lage, inner- halb von 1s seine Polarisation zu ¨andern und den Ausfall des Protonenstrahls mit dem jeweils zweiten zur Verf¨ugung stehenden zu kompensieren (1.5 s). Da sich die Kritik¨alit¨at des Reaktors auch ¨uber die geforderte Strahlleistung von 2.4 MW steuern l¨asst, sorgt ein Kicker-Magnet am Ende des Haupt-Linacs f¨ur die Unterbrechung des Dauerstrichbetriebs und die Erzeugung eines gepulsten Strahls dessen Tastverh¨altniss¹⁰ eine schnelle Anpassung der Strahlleistung und somit die Steuerung der Kritikalit¨at erm¨oglicht [vgl.(8)].

3.2 Bauelemente und Beschleunigerstrukturen

Der Injektor (MAX-Referenzdesign C3 (2014)) besitzt eine L¨ange von 19.5 m. Er besteht (von links), aus einer EZR-Ionenquelle und LEBT(Low Energy Beam Transport, 0 keV bis 30 KeV), einem zur Vorbeschleunigung dienenden 4-Rod-RFQ (4.2m, 0.03 MeV bis 1.5 MeV) zwei Rebunchern sowie einer normal- und einer supralleitenden CH-Sektion (1.5 MeV bis 17MeV).

Zwischen RB1 und RB2 ist ein Quadrupoltriplett vorgesehen. Weitere 13 Quadrupoldubletts befinden sich im CH-Abschnitt jeweils zwischen den einzelnen CH-Kavit¨aten (gelb, Abbildung (3.3)).

Abbildung 3.3: Schematischer Aufbau des MAX-Referenzdesigns C3 (2014) [vgl.(13)]

3.2.1 EZR-Ionenquelle und LEBT-Sektion

Man unterscheidet zwischen Elektron-Zyklotron-Resonanz-Ionenquellen mit f < 2.45GHz zur Erzeugung intensiver Strahlen niedrig geladener Ionen und solchen mit f > 2.45GHz f¨ur Strahlen hoch geladener Ionen.

10engl.

”duty factor “ist das Verh¨altnis der zeitlichen L¨ange eines Pulses zur Periodenzeit der Pulsung. [vgl. (6) S. 7]