Schauder-Basen/James-Raum nach [1, Kapitel 4] und [2, Kapitel 4] Andreas Buchinger 16. Dezember 2019

Schauder-Basen/James-Raum

nach [1, Kapitel 4] und [2, Kapitel 4]

Andreas Buchinger 16. Dezember 2019

Inhaltsverzeichnis

1 Schauder-Basen 3

1.1 Projektionen und Auerbach-Basen . . . 3

1.2 Definition und grundlegende Eigenschaften . . . 5

1.3 Approximationseigenschaft . . . 8

1.4 Schrumpfende und beschränkt vollständige Schauder-Basen . . . 9

2 James-Raum 14 2.1 Definition und Schauder-Basis . . . 14

2.2 Bidualraum . . . 16

Literatur 18

1 Schauder-Basen

1.1 Projektionen und Auerbach-Basen

Definition 1.1.1. Sei (X,k.k_X) ein Banachraum. EinA≤Xheißtkomplementiert, wenn es eine beschränkte lineare Projektion P :X →X mit ran(P) =A gibt.A heißt λ-komplemen- tiertmitλ∈R>0, fallskPk ≤λ. IstAabgeschlossen, so nennt man ein abgeschlossenesB ≤X (topologisches) Komplement von A, fallsX=A+^. B. ∗∗

Bemerkung 1.1.2. Offenbar gilt:

• Es handelt sich um Spezialfälle der linearen Projektionen auf einem Vektorraum bzw.

äquivalent der Zerlegungen eines Vektorraumes in die direkte Summe zweier Teilräume.

• I−P ist eine beschränkte lineare Projektion mit ker(I −P) =A.

• Wegen A= (I−P)⁻¹(0) ist ein komplementiertesA immer abgeschlossen.

• λ≥1

Beispiel 1.1.3. Nach [3, Seite 39] kann man die Hardy-Räume H^p, p ∈ [1,∞] mit abgeschlos- senen Unterräumen der entsprechenden L^p-Räume auf dem offenen komplexen Einheitskreis identifizieren. Fürp∈ {1,∞}sind diese abgeschlossenen Unterräume nach [3, Seiten 154f] nicht

komplementiert.

Lemma 1.1.4. Sei (X,k.k_X) ein Banachraum. Ein abgeschlossenes A ≤ X ist genau dann komplementiert, wenn es ein topologisches Komplement B ≤ X gibt. Genauer gilt: Für eine beschränkte lineare Projektion P mit ran(P) =A ist ker(P) ein topologisches Komplement zu A und umgekehrt ist die eindeutige lineare Projetkion P mit ran(P) = A und ker(P) = B für topologische KomplementeA, B beschränkt.

Beweis. „⇒“: Für eine beschränkte lineare Projektion P mit ran(P) = A gilt X = ran(P)+^. ker(P) und B:= ker(P) =P⁻¹(0) ist abgeschlossen.

„⇐“: Man betrachte die eindeutige lineare ProjetkionP mit ran(P) =Aund ker(P) =B. Eine konvergente Folge (xn, P(xn)) aus dem Graphen konvergiert komponentenweise. Also gibt es x, y∈X mit lim_n→∞x_n =x und lim_n→∞P(x_n) = y. Aus der Abgeschlossenheit folgen y ∈A und limn→∞xn−P(xn) = x−y ∈ B, da ja xn−P(xn) ∈ ker(P). Das liefert die eindeutige Zerlegungx=y+ (x−y) und damitP(x) =y. Folglich ist der Graph vonP abgeschlossen und P damit wegen des Satzes vom abgeschlossenen Graphen beschränkt.

Lemma 1.1.5. Sei (X,k.k_X) ein Banachraum. Sei A ≤ X abgeschlossen mit topologischem Komplement B ≤ X. Der Banachraum X/A ist dann isomorph zu B. Ist die Projektion Q mit ran(Q) = B und ker(Q) =A eine Isometrie, also kQk = 1, so ist X/A sogar isometrisch isomorph zuB. Mit der Projektion P mitran(P) =Aund ker(P) =Aist P⁰(X⁰) abgeschlossen und isomorph zuA⁰ und Q⁰(X⁰) abgeschlossen und isomorph zu B⁰. Bei kPk= 1 bzw. kQk= 1 gilt Isometrie. Weiters ist X⁰ isomorph zu A⁰×B⁰.

Beweis. Man betrachte die Einbettungsabbildung π : B → X/A, also π(b) = b+A. Wegen kb+Ak_X/A = inf{kb−ak_X :a∈A}giltkπ(b)k_X/A≤ kbk_X, womitπstetig ist. Ausb1+A=b2+A für b1,2 ∈ B folgt b₁ −b₂ ∈ A∩B = {0}, also ist π injektiv. Außerdem ist π surjektiv, denn zu beliebigem x+A ∈X/A zerlege x=a+b eindeutig in A+^. B. Dann folgt π(b) = b+A= (b+a) +A=x+A. Nach dem Satz von der offenen Abbildung ist also π ein Isomorphismus

zwischen X/Aund B.

Im FallekQk = 1 wähle b∈B beliebig. Für a∈A folgt kbk_X =kQ(b−a)k_X ≤ kb−ak_X. Man hat also kπ(b)k_X/A ≥ kbk_X, womit π isometrisch ist.

A = ran(P) ist abgeschlossen und damit ein Banachraum. Man betrachte nun P_A⁰ :A⁰ → X⁰. Aus P_A⁰(y) = 0 für y ∈ A⁰ folgt y(P(x)) = 0 für x ∈ X. Wegen ran(P) = A ist also y = 0 und P_A⁰ : A⁰ → P_A⁰(A⁰) linear, beschränkt und bijektiv. Der Satz vom abgeschlossenen Bild liefert die Abgeschlossenheit von P_A⁰(A⁰) und damit der Satz von der offenen Abbildung die Isomorphie. Aus kP_A⁰k=kPk folgt die Aussage bez. Isometrie. Es bleibt alsoP_A⁰(A⁰) =P⁰(X⁰) zu zeigen. Für y ∈ X⁰ gilt y|_A ∈ A⁰ und damit P⁰(y)(.) =y(P(.)) = y|_A(PA(.)) = P_A⁰(y|_A)(.), also P_A⁰(A⁰) ⊇ P⁰(X⁰). Umgekehrt liefert der Satz von Hahn-Banach zu jedem y|_A ∈ A⁰ eine Fortsetzung y ∈ X⁰ und damit P_A⁰(y|_A)(.) =y|_A(P_A(.)) = y(P(.)) = P⁰(y)(.), also P_A⁰(A⁰) ⊆ P⁰(X⁰). Für Qgilt das Gleiche.

AusI =P+QfolgtI =P⁰+Q⁰, sprichX⁰ =P⁰(X⁰) +Q⁰(X⁰). Einy∈P⁰(X⁰)∩Q⁰(X⁰) erfüllt nun füra∈A, dass y(a) =Q⁰(y_Q⁰)(a) =y_Q⁰(Q(a)) =y_Q⁰(0) = 0 mit einem gewisseny_Q⁰ ∈X⁰. Analoges gilt für b∈B. Das heißt y= 0 und somit X⁰ =P⁰(X⁰)+^. Q⁰(X⁰). Die Isomorphie zu

A⁰×B⁰ ist damit klar.

Definition 1.1.6. Sei (X,k.k_X) ein Banachraum. Fürn∈N und Vektoren (e₁, . . . , e_n) ausX nennt man Funktionale (f1, . . . , fn) aus X⁰ biorthogonal und das Tupel (ei, fi)_i=1,...,n Bior- thogonalsystem, falls fi(ej) = δij für 1≤ i, j ≤n. Sind die Vektoren eine Basis von X und giltke_ik_X =kf_ik_X⁰ = 1 für 1≤i≤n, so spricht man von einer Auerbach-Basis. ∗∗

Satz von Auerbach 1.1.7. Sei (X,k.k_X) ein Banachraum. Gilt dim(X) = n für n ∈N, so gibt es eine Auerbach-Basis(ei, fi)_i=1,...,n. HatA≤X Dimensionn, so istA n-komplementiert.

Ist A abgeschlossen mit codim(A) =n, so is A ebenfalls komplementiert.

Beweis. Im Falle dim(X) = n sei x₁, . . . , x_n ∈X eine Basis. Zu beliebigen u₁, . . . , u_n ∈K₁(0) seiv(u1, . . . , un) definiert als Determinante jener Matrix, derenj-te Zeile für 1≤j≤ndie Ko- ordinaten vonuj inx1, . . . , xnsind. Mit dieser Wahl ist|v|stetig auf dem Kompaktum (K1(0))ⁿ, da die Koordinaten stetig von den Vektoren abhängen (alle Normen aufX sind äquivalent, also wähle die 1-Norm in der gegenständlichen Basis) und die Determinante als Polynomfunktion stetig ist. Damit nimmt diese Funktion ein Maximum an. Aus der Linearität der Determinante in jedem Eintrag folgt zunächst, dass es e₁, . . . , e_n ∈ X gibt, sodass v(e₁, . . . , e_n) den Wert des Maximums annimmt. Weiters folgt erneut aus der Linearität und der Maximalität, dass ke_jk_X = 1 für 1 ≤ j ≤ n. Wegen v(e1, . . . , en) 6= 0 ist e1, . . . , en auch eine Basis von X. Die linearen Abbildungen

fi(x) := v(e1, . . . , ei−1, x, ei+1, . . . , en)

v(e₁, . . . , e_n) ,1≤i≤n erfüllen nach Definitionfi(ej) =δij und kf_ik_X⁰ = 1 für 1≤i, j≤n.

Im Falle dim(A) = n finden wir eine Auerbach-Basis (e_i, f_i)_i=1,...,n von A. Man setzt nun die f_i, i = 1, . . . , n vermittels des Satzes von Hahn-Banach zu Funktionalen auf X mit Operator- norm 1 fort und betrachtet den Operator

P :

(X→A

x7→^Pn_i=1fi(x)ei

.

Offensichtlich handelt es sich um eine Projektion mit ran(P) = A. Schließlich gilt für x ∈ X mitkxk_X ≤1, dass

kP(x)k_X ≤

n

X

i=1

|f_i(x)|ke_ik_X ≤

n

X

i=1

1 =n.

Im Falle codim(A) =n für abgeschlossenesA folgt die Aussage sofort aus Lemma 1.1.4.

1.2 Definition und grundlegende Eigenschaften

Definition 1.2.1. Sei (X,k.k_X) ein normierter Raum. Eine Schauder-Basis sind Vektoren (e₁, . . . , e_n) oder eine Folge (e_j)_j∈N ausX, sodass es zu jedemx∈X eindeutigeKoordinaten (a₁, . . . , a_n) bzw. (a_i)_i∈N ausC(R) gibt, sodass x=^Pn_i=1a_ie_i bzw. x=^P∞_i=1a_ie_i.

Die kanonischen Projektionen Pj,1 ≤ j ≤ n bzw. Pj, j ∈ N sind definiert als Pj(x) :=

Pj

i=1aiei. Man setzt dann auch P0 ≡0. ∗∗

Bemerkung 1.2.2. Sei (X,k.k_X) ein normierter Raum mit Schauder-Basis. Fürn∈Nist die ka- nonische ProjektionPntatsächlich eine Projektion mit der linearen Hülle der erstennSchauder-

Basisvektoren als Bild.

Bemerkung 1.2.3. Sei (X,k.k_X) ein normierter Raum mit Schauder-Basis.X ist separabel, da ja endliche rationale Linearkombinationen der Elemente der Schauder-Basis dicht liegen.

Bemerkung 1.2.4. Klarerweise folgt aus der Definition, dass Schauder-Basen linear unabhängig sind und damit ein normierter Raum genau dann eine endliche Schauder-Basis besitzt, wenn er endlich-dimensional ist. In diesem Falle sind die Begriffe Schauder-Basis und Basis äquivalent.

Lemma 1.2.5. Sei(X,k.k_X)ein normierter Raum mit Schauder-Basis(e₁, . . . , e_n)oder(e_j)_j∈N. Dann gilt für kanonische ProjektionenPj, Pk mit geeignetenj, k∈N:

(a) dim(ran(Pj)) =j.

(b) PjP_k =P_kPj =P_min(j,k).

(c) ∀x∈X :P_j(x)→x bzw. P_n(x) =x.

Umgekehrt gebe es beschränkte ProjektionenP_j,1≤j ≤nbzw. P_j, j∈Nauf einem normierten Raum (X,k.k_X) mit den Eigenschaften (a), (b), (c). Man kann nun für passende j aus N Vektoren 0 6= ej ∈ran(Pj)∩ker(Pj−1) beliebig wählen und erhält so eine Schauder-Basis von X mit kanonischen ProjektionenP_j,1≤j≤n bzw. P_j, j∈N.

Beweis. Offensichtlich erfüllen kanonische Projektionen (a), (b) und (c).

Sei also umgekehrt (X,k.k_X) ein normierter Raum mit ProjektionenP_j,1≤j≤nbzw.P_j, j ∈N mit den Eigenschaften (a), (b), (c). Mit der NotationP₀≡0 wähle man nun für geeignetesj ∈N einen Vektor 06=ej ∈ran(Pj)∩ker(Pj−1). Gäbe es so einen Vektor nicht, so hätte man einen Widerspruch zu codim(ker(Pj−1)) = j−1, also (a). Wegen ran(Pj−1) ≤ ran(P_j), was aus (b) folgt, hat man sogar dim(ran(P_j)∩ker(Pj−1)) = 1. Deshalb gilt wegen (c), dass

x= lim

j→∞P_j(x) = lim

j→∞(P_j(x)−P₀(x)) = lim

j→∞

j

X

i=1

(P_i(x)−Pi−1(x))

=

∞

X

i=1

(Pi(x)−Pi−1(x)) =

∞

X

i=1

Pi(x−Pi−1(x))

| {z }

∈ran(Pi)∩ker(Pi−1)

=

∞

X

i=1

aiei

für eine Folge (ai)_i∈N ausC(R) oder

x=P_n(x) =

n

X

i=1

a_ie_i

für (a₁, . . . , a_n) aus C(R). Die P_j sind stetig also hat man wegen ker(P_j) ≤ ker(Pj−1), was aus (b) folgt, für andere Koeffizienten (b_i)_i∈N bzw. (b₁, . . . , b_n) aus C(R), und wieder wegen ran(Pj−1)≤ran(Pj) induktiv, dassPj(x) =^Pj_i=1biei, sprichbjej =Pj(x)−Pj−1(x) =ajej.

Lemma 1.2.6. Sei (X,k.k_X) ein normierter Raum mit Schauder-Basis. Sind die kanonischen Projektionen gleichmäßig beschränkt mit einer Schranke M ∈ R>0, so ist die Schauder-Basis auch Schauder-Basis der VervollständigungX.ˆ

Beweis. Endlichdimensionale normierte Räume sind bereits Banachräume, also genügt es un- endlichdimensionale zu betrachten. Man überprüft dazu die Gültigkeit der Voraussetzungen von Lemma 1.2.5. Bekanntermaßen kann man die kanonischen ProjektionenPn, n∈Neindeutig zu linearen, beschränkten ˆP_n, n∈Nauf der Vervollständigung ˆXfortsetzen.Xliegt dicht in ˆXund Pj(X), j∈Nist endlichdimensional, also abgeschlossen in ˆX. Das liefert ˆPj( ˆX) =Pj(X), j∈N, womit insbesondere die ˆPj, j ∈ N Projektionen sind. Aus Stetigkeit und Dichtheit folgt auch Pˆ_jPˆ_k = ˆP_kPˆ_j = ˆP_min(j,k) für j, k ∈ N. Für ˆx ∈ Xˆ wähle man eine Folge (x_m)_m∈N in X mit limm→∞x_m = ˆx. Dann gilt

kPˆn(ˆx)−xkˆ _X ≤ kPˆn(ˆx)−Pn(xm)k_X +kP_n(xm)−xmk_X +kx_m−xkˆ _X

≤(1 +M)kx_m−xkˆ _X +kP_n(xm)−xmk_X,

also lim_n→∞Pˆ_n(ˆx) = ˆx. Aus e_j ∈P_j(X)∩ker(Pj−1) folgt e_j ∈ Pˆ_j( ˆX)∩ker( ˆPj−1), womit die

Aussage gezeigt ist.

Satz 1.2.7. Sei(X,k.k_X)ein unendlichdimensionaler Banachraum mit Schauder-Basis(e_j)_j∈N. Dann ist

p:

(X →R≥0

x7→sup_n∈Nk^Pn_i=1a_ie_ik_X (1.2.1) eine Norm aufX. Weiters ist(e_j)_j∈Neine Schauder-Basis von(X, p)mit denselben kanonischen ProjektionenPj, j∈N, welche sogar bezüglichpgleichmäßig durch1beschränkt sind. Schließlich ist (X, p) ein Banachraum und p zu k.k_X äquivalent.

Beweis. Aus kxk_X = limn→∞k^Pn_i=1aieik_X folgen die Wohldefiniertheit von p und p ≥ k.k_X. Homogenität und Dreiecksungleichung folgen sofort, also ist p eine Norm. Um zu zeigen, dass (e_j)_j∈N eine Schauder-Basis von (X, p) ist, greift man auf Lemma 1.2.5 zurück. Die Punkte (a) und (b), sowie die Tatsachen 0 6= ej ∈ ran(Pj)∩ker(Pj−1) für j ∈ N und dass Pj, j ∈ N Projektionen sind, sind unabhängig von der Norm und vererben sich deshalb von (X,k.k_X) auf (X, p). Wegen

p(x−P_j(x)) = sup

k∈N

kP_k(x)−P_k(P_j(x))k_X = sup

k≥j

kP_k(x)−P_j(x)k_X →0 gilt auch (c). Bezüglich (X, p) hat man wegen des Lemmas vom iterierten Supremum

kP_jk= sup

x∈K₁^p(0)

p(P_j(x)) = sup

x∈K₁^p(0)

sup

k∈N

kP_k(P_j(x))k_X = sup

k∈N

sup

x∈K₁^p(0)

kP_k(P_j(x))k_X

= sup

k∈N

nsupⁿkP_min(j,k)(x)k_X :x∈X mit sup

i∈I

kP_i(x)k_X ≤1^oo≤1,

womit die kanonischen Projektionen gleichmäßig durch 1 beschränkt sind. Also ist (ej)_j∈N eine Schauder-Basis von (X, p).

Man betrachte jetzt die Vervollständigung ˆX von X bezüglich p. Wegen Lemma 1.2.6 gibt es zu ˆx∈Xˆ eine eindeutige Folge (aj)_j∈N mit ˆx=^P∞_i=1aiei bezüglich p. Aufgrund vonp≥ k.k_X ist die Reihe eine Cauchy-Folge in (X,k.k_X) und somit vermöge der Vollständigkeit bezüglich k.k_X gegen ein x ∈ X konvergent. Daraus folgt aber auch die Konvergenz gegen x in (X, p), da es sich ja um dieselben kanonischen Projektionen handelt. In Summe gilt x = ˆx, sprich

(X, p) ist vollständig. Die Identität von (X, p) nach (X,k.k_X) ist linear, bijektiv und wegen p≥ k.k_X stetig. Nach dem Satz von der offenen Abbildung ist die Identität auch offen, also ein

Homöomorphismus, womit pund k.k_X äquivalent sind.

Korollar 1.2.8(Banach). Sei(X,k.k_X)ein Banachraum mit Schauder-Basis. Die kanonischen Projektionen sind gleichmäßig beschränkt.

Beweis. In endlichdimensionalen Räumen ist die Aussage klar. Im unendlichdimensionalen Fal- le ist p aus (1.2.1) nach Satz 1.2.7 eine zu k.k_X äquivalente Norm, welche die kanonischen

Projektionen gleichmäßig durch 1 beschränkt.

Definition 1.2.9. Sei (X,k.k_X) ein Banachraum mit Schauder-Basis. Das Supremum der Ope- ratornormen der kanonischen Projektionen nennt man Basiskonstante. Die Schauder-Basis heißt normiert, wenn alle Basisvektoren normiert sind. Schließlich heißt sie monoton, falls

die Basiskonstante 1 ist. ∗∗

Bemerkung1.2.10. Sei (X,k.k_X) ein Banachraum mit Schauder-Basis. Seiej für passendesj ∈N ein Basisvektor und Pj die entsprechende kanonische Projektion. Aus Pj(ej) =ej schließt man kP_jk ≥1, weswegen auch die Basiskonstante größer gleich 1 sein muss. Ist die Basis monoton, so haben damit alle kanonischen Projektionen Norm 1. Vermittels des Satzes 1.2.7 kann man

X umnormieren, sodass die Schauder-Basis monoton ist.

Bemerkung1.2.11. Seien (X,k.k_X) ein unendlichdimensionaler Banachraum mit Schauder-Basis (e_j)_j∈N und k ∈ N. Die kanonische Projektion P_k ist nach Korollar 1.2.8 beschränkt, womit ker(P_k)+ ran(P^. _k) =X nach Lemma 1.1.4 eine Zerlegung in topologische Komplemente ist. Nun gilt ran(Pk) = span{e₁, . . . , ek} und offenbar auch ker(Pk) = ran(I−Pk) = span{e_j :j > k}, also X= span{e₁, . . . , e_k}+ span{e^. _j :j > k}.

Korollar 1.2.12. Sei (X,k.k_X) ein unendlichdimensionaler Banachraum mit Schauder-Basis (ej)_j∈N. Dann sind äquivalent:

(A) Die Basis ist monoton.

(B) Für alle n∈N und alle Folgen (aj)_j∈N ausC(R) mit X3^P∞_i=1aiei gilt k^Pn_i=1aieik_X ≤ k^P∞_i=1aieik_X.

(C) Für allen∈N und beliebigea₁, . . . , a_n+1∈C(R) gilt k^Pn_i=1a_ie_ik_X ≤ k^Pn+1_i=1 a_ie_ik_X. (D) Mit der Norm p aus (1.2.1) gilt p= (X,k.k_X).

Beweis. Zunächst gilt (A) ⇔ (B) offensichtlich wegen der Definition der Basiskonstante und der kanonischen Projektionen. Ebenfalls sofort bekommt man aufgrund von k^P∞_i=1aieik_X = lim_n→∞k^Pn_i=1a_ie_ik_X für (a_j)_j∈N aus C(R) mit X 3 ^P∞_i=1a_ie_i, dass (B) ⇔ (C). Mithilfe der letzten Gleichheit folgert man auch (D)⇒(B) und (C) ⇒ (D), da das Supremum in (1.2.1) zu

einem Limes wird, bzw. umgekehrt.

Beispiel 1.2.13. Für die Räume c₀(N) und `_p(N) für p ∈ [1,∞) ist (δ_ij)_j∈N offensichtlich eine

monotone Schauder-Basis.

Korollar 1.2.14. Sei(X,k.k_X) ein Banachraum mit Schauder-Basis(e₁, . . . , e_n) oder(e_j)_j∈N. Die Abbildung

e⁰_j :

(X→C(R)

x7→a_j, (1.2.2)

wobei j ∈ N passend gewählt sei und a_j die Koordinate von x zu e_j sei, ist ein Funktional mit ke_jk_Xke⁰_jk_X⁰ ≤ 2B, wobei B ∈ R0 die Basiskonstante ist. Weiters sind diese Funktionale separierend.

Beweis. Die Linearität und die Punktetrennung sind klar. Die Stetigkeit mit der Operatornor- mabschätzung folgt aus

ke⁰_jk_X⁰ = sup

x∈K1(0)

|e⁰_j(x)|= sup

x∈K1(0)

|e⁰_j(x)|ke_jk_Xke_jk⁻¹_X =ke_jk⁻¹_X sup

x∈K1(0)

ke⁰_j(x)ejk_X

=ke_jk⁻¹_X sup

x∈K₁(0)

kP_j(x)−Pj−1(x)k_X ≤ ke_jk⁻¹_X 2B.

Definition 1.2.15. Sei (X,k.k_X) ein Banachraum mit Schauder-Basis (e₁, . . . , e_n) oder (e_j)_j∈N. Die (e⁰₁, . . . , e⁰_n) oder (e⁰_j)j∈N aus (1.2.2) nennt man Koordinatenfunktionale. Außerdem nennt man (ej, e⁰_j)_j=1,...,n bzw. (ej, e⁰_j)_j∈N erweiterte Schauder-Basis. ∗∗

Beispiel 1.2.16. Auerbach-Basen sind klarerweise normierte, erweiterte Schauder-Basen.

Beispiel 1.2.17. Ein vollständiges Orthonormalsystem eines Hilbertraumes ist genau dann eine normierte Schauder-Basis, wenn der Hilbertraum separabel ist. Da die kanonischen Projektionen nichttriviale Orthogonalprojektionen sind, ist die Basis auch monoton. Die Koordinatenfunk-

tionale sind die Abbildungen auf die Fourierkoeffizienten.

Satz 1.2.18 (Banach). Sei (X,k.k_X) ein unendlichdimensionaler Banachraum. Eine Folge (ej)_j∈N ist genau dann eine Schauder-Basis des Raumes, wenn folgende Punkte gelten:

(1) Allee_j, j∈Nsind ungleich 0.

(2) Es gibt ein M ∈ R>0 mit k^Pn_i=1a_ie_ik_X ≤ Mk^Pm_i=1a_ie_ik_X für beliebige m, n ∈ N mit m≥n und allea1, . . . , am ∈C(R).

(3) span{e_j :j∈N}=X

Beweis. Jede Schauder-Basis erfüllt all diese Punkte, wenn man fürMdie Basiskonstante wählt.

Andererseits definiere man fürn∈Ndie Abbildung P_n:

(span{e_j :j ∈N} →span{e₁, . . . , en} x7→^Pn_j=1a_je_j

mit den Koeffizienten a1, . . . , an∈C(R) vonx bezüglich e1, . . . , en. Es handelt sich klarerweise um gleichmäßig durch M beschränkte Projektionen, welche (a), (b) und (c) aus Lemma 1.2.5 erfüllen. Weiters gilt 06=e_j ∈ran(P_j)∩ker(Pj−1) fürj∈N. Folglich ist (e_j)_j∈N eine Schauder- Basis von span{e_j :j∈N}mit kanonischen ProjektionenP_j, j ∈N. Vermöge der gleichmäßigen Schranke M und span{e_j :j ∈N} =X liefert Lemma 1.2.6, dass (ej)_j∈N eine Schauder-Basis

von X ist.

1.3 Approximationseigenschaft

Definition 1.3.1. Sei (X,k.k_X) ein unendlichdimensionaler Banachraum. Man sagt, dass die Approximationseigenschaft gilt, falls jeder kompakte Operator Grenzwert einer Folge von

Operatoren mit endlichdimensionalem Bild ist. ∗∗

Lemma 1.3.2. Sei (X,k.k_X) ein unendlichdimensionaler Banachraum. Falls sich die Identi- tät auf jeder kompakten Teilmenge von X gleichmäßig durch eine Folge von Operatoren mit endlichdimensionalem Bild approximieren lässt, gilt die Approximationseigenschaft.

Beweis. Für einen kompakten Operator T ist T(K1(0)) kompakt. Damit gibt es eine Folge (F_n)_n∈Nvon Operatoren mit endlichdimensionalem Bild, welche aufT(K₁(0)) gleichmäßig gegen I konvergiert. Ergo gilt

kF_nT −Tk = sup{F_nT(x)−T(x) :x∈K1(0)} ≤supFn(x)−I(x) :x∈T(K1(0)) .

Daraus folgt limn→∞FnT =T.

Satz 1.3.3. Auf jedem unendlichdimensionalen Banachraum (X,k.k_X) mit einer Schauder- Basis (ej)_j∈N gilt die Approximationseigenschaft.

Beweis. Sei K⊆X kompakt. Die kanonischen Projektionen haben nach Lemma 1.2.5 endlich- dimensionales Bild und konvergieren punktweise gegen die Identität. Sei B die Basiskonstante und seien y₁, . . . , y_m ∈ K, m ∈ N vermöge der Kompaktheit so gewählt, dass jedes x ∈ K zu einem yk, k ∈ {1, . . . , m} Abstand kleiner _B+2^ε , ε ∈ R>0 hat. Sei weiter n0 ∈ N so groß, dass kP_n(y_k)−y_kk_X ≤ _B+2^ε für alle k∈ {1, . . . , m} und alleN3n≥n₀ gilt. Für beliebiges x ∈K gibt es dann eink∈ {1, . . . , m}, sodass

kP_n(x)−xk_X ≤ kP_n(y_k−x)k_X+kP_n(y_k)−y_kk_X +ky_k−xk_X

≤ kP_nkky_k−xk_X +kP_n(y_k)−y_kk_X+ky_k−xk_X

≤ Bε

B+ 2+ ε

B+ 2+ ε

B+ 2 =ε.

Daε∈R>0 beliebig war, folgt die Behauptung aus Lemma 1.3.2.

Beispiel1.3.4. Es gibt separable Banachräume, spezielle abgeschlossene Unterräume vonc₀(N,R) und `_p(N,R), p∈(2,∞), welche die Approximationseigenschaft nicht erfüllen; siehe [4, Kapitel 2]. Damit sind diese wegen Satz 1.3.3 auch separable Banachräume ohne Schauder-Basis.

1.4 Schrumpfende und beschränkt vollständige Schauder-Basen

Lemma 1.4.1. Sei (X,k.k_X) ein unendlichdimensionaler Banachraum mit einer erweiterten Schauder-Basis (ej, e⁰_j)_j∈N und kanonischen Projektionen Pj, j ∈N. Dann gelten:

(i) ∀j∈N∀f ∈X⁰ :P_j⁰(f) =^Pj_i=1f(ei)e⁰_i =^Pj_i=1ei(f)e⁰_i, (ii) ∀f ∈X⁰:P_j⁰(f)^w

∗

→f und

(iii) (e⁰_j, e_j)_j∈N ist eine erweiterte Schauder-Basis von span{e⁰_j : j ∈ N} mit kanonischen Projektionen P_j⁰, j ∈N. Insbesondere folgt für f ∈span{e⁰_j :j ∈N}, dass P_j⁰(f)→f. Beweis. Um Punkt (i) einzusehen, beachte man x=^P∞_i=1e⁰_i(x)ei für x∈X. Es gilt nämlich

P_j⁰(f)(x) =f(Pj(x)) =f

j

X

i=1

e⁰_i(x)ei

=

j

X

i=1

f(ei)e⁰_i(x).

Wegen der Stetigkeit von f folgt daraus sofort auch Punkt (ii). Für Punkt (iii) überprüft man die Voraussetzungen von Lemma 1.2.5. Zunächst sind die P_j⁰, j ∈ N gleichmäßig beschränkte Projektionen und erfüllen, wie man leicht einsieht, Punkt (a) und (b). Fürf ∈span{e⁰_j :j∈N}

gilt P_j⁰(f) = f für j ∈ N groß genug, womit auch Punkt (c) erfüllt ist. Schließlich gilt e⁰_j ∈ ran(P_j⁰)∩ker(P_j−1⁰ ) fürj ∈Nund e_j ist klarerweise das Koordinatenfunktional zue⁰_j. Folglich ist (e⁰_j, ej)_j∈Neine erweiterte Schauder-Basis von span{e⁰_j :j ∈N}mit kanonischen Projektionen P_j⁰, j ∈N. Mit Lemma 1.2.6 und der Stetigkeit der Punktauswertungen erhält man auch, dass (e⁰_j, e_j)_j∈N eine erweiterte Schauder-Basis von span{e⁰_j :j ∈ N} ist, weswegen Punkt (c) auch

P_j⁰(f)→f für f ∈span{e⁰_j :j∈N} liefert.

Definition 1.4.2. Sei (X,k.k_X) ein unendlichdimensionaler Banachraum mit einer erweiterten Schauder-Basis (e_j, e⁰_j)_j∈N. Man nennt diesen schrumpfend, falls span{e⁰_j :j ∈N} =X⁰ und beschränkt vollständig, falls ^P∞_j=1a_je_j für (a_j)_j∈N ausC(R) genau dann konvergiert, wenn

sup_n∈Nk^Pn_j=1ajejk_X <∞. ∗∗

Beispiel 1.4.3. Die Schauder-Basis (δij)_j∈N ist für `p(N), p ∈ [1,∞) offensichtlich beschränkt vollständig. Auf c0(N) nicht, da die Folge (^Pn_j=1δij)_n∈N zwar normmäßig durch 1 beschränkt

ist, aber nicht konvergiert.

Lemma 1.4.4. Sei (X,k.k_X) ein unendlichdimensionaler Banachraum mit einer erweiterten Schauder-Basis (e_j, e⁰_j)j∈N und kanonischen Projektionen P_j, j ∈N. Dann sind äquivalent:

(I) (e_j, e⁰_j)_j∈N ist schrumpfend.

(II) (e⁰_j, ej)_j∈N ist eine erweiterte Schauder-Basis vonX⁰. (III) ∀f ∈X⁰: lim_n→∞kf|_span{ej:j>n}k = 0.

Beweis. „(I) ⇒ (II)“: Lemma 1.4.1 Punkt (iii)

„(II)⇒ (I)“: Nach Lemma 1.4.1 Punkt (i) sindP_j⁰, j ∈Ndie kanonischen Projektionen. Wegen Lemma 1.2.5 Punkt (c) gilt span{e⁰_j :j∈N}=X⁰.

„(I) ⇔ (III)“: Fürf ∈X⁰ und n∈Ngilt vermittels Bemerkung 1.2.11

kf|_span{ej:j>n}k=kf|_ran(I−Pn)k= sup{|f(x)|:x∈K1(0)∩ran(I−Pn)}

≤sup{|f(x)|:x∈(I−Pn)(K₁(0))}=kf−P_n⁰(f)k

≤sup{|f(x)|:x∈(kP_nk+ 1)(K1(0)∩ran(I−Pn))}

= (kP_nk+ 1)kf|_span{ej:j>n}k.

Somit ist lim_n→∞kf|_span{ej:j>n}k = 0 äquivalent zu P_j⁰(f) → f also wegen Lemma 1.4.1

Punkt (i) und Punkt (iii) zu f ∈span{e⁰_j :j ∈N}.

Bemerkung 1.4.5. Sei (X,k.k_X) ein unendlichdimensionaler Banachraum mit einer normierten schrumpfenden Schauder-Basis (e_j, e⁰_j)_j∈N. Es folgt dann aus Lemma 1.4.4 Punkt (III), dass

e_j →^w 0 fürj→ ∞.

Beispiel 1.4.6. Die Schauder-Basis (δ_ij)_j∈N ist für c₀(N) und `<sub>p</sub>(N), p ∈ (1,∞) schrumpfend, da es sich bei den Dualräumen um `p(N), p∈ [1,∞) handelt und die Koordinatenfunktionale genau (an)_n∈N 7→ ^P∞_n=1anδjn sind. Andererseits ist (δij)_j∈N für `1 nicht schrumpfend, da der Dualraum `∞ das Funktional (a_n)_n∈N 7→ ^P∞_n=1a_n enthält, welches klarerweise Lemma 1.4.4

Punkt (III) nicht erfüllt.

Lemma 1.4.7. Sei (X,k.k_X) ein unendlichdimensionaler Banachraum mit einer erweiterten Schauder-Basis (ej, e⁰_j)_j∈N mit kanonischen Projektionen Pj, j ∈ N. Der Raum A aller Folgen (a_j)_j∈N aus C(R) mit endlichem sup_n∈

Nk^Pn_j=1a_je_jk_X ist mit der Norm q :

(A→R≥0

(a_j)_j∈N7→sup_n∈

Nk^Pn_j=1a_je_jk_X (1.4.1)

ein Banachraum. Falls (e_j, e⁰_j)_j∈N schrumpfend ist, hat man mit T :

(X⁰⁰→A

ϕ7→(ϕ(e⁰_j))_j∈N (1.4.2)

einen Isomorphismus. Falls(ej)_j∈N monoton ist, so ist T sogar isometrisch.

Beweis. Betrachtet manqauf den Folgen ausC(R), so überprüft man sofort die Normeigenschaf- ten. Damit handelt es sich beiAauch um einen Untervektorraum. Sei, um die Vollständigkeit zu zeigen, ((an,j)_j∈N)_n∈N eine Cauchy-Folge bezüglichA. Für festes j∈Nund beliebige m, n∈N gilt

|a_n,j−am,j|=ke_jk⁻¹_X

j

X

k=1

(an,k−am,k)ek−

j−1

X

k=1

(an,k−am,k)ek

X

≤2ke_jk⁻¹_X q((a_{n,`</sub>−a<sub>m,`})_`∈N),

sprich (a_n,j)_n∈Nist eine Cauchy-Folge inC(R) und deshalb konvergent. Es ist also gerechtfertigt, die Folge aj := limn→∞an,j zu betrachten. Für ε∈R>0 sei nε∈N so groß, dass für n, m ∈N mitn, m > nε folgt, dass q((an,j)_j∈N−(am,j)_j∈N)≤ε. Für festes `∈Nerhält man

`

X

k=1

(an,k−am,k)ek

X ≤q((an,j)_j∈N−(am,j)_j∈N)≤ε und vermögem→ ∞ auch

`

X

k=1

(a_n,k−a_k)e_k

X

≤ε.

Aus der Beliebigkeit von`∈Nschließt manq((a_n,j)_j∈N−(a_j)_j∈N) ≤εund dass¹ (a_j)_j∈N∈A, womit (A, q) ein Banachraum ist.

Um die Aussagen zuT zu zeigen, seiB ∈R>0die Basiskonstante. Fürϕ∈X⁰⁰undj∈Nhat man wegen Lemma 1.4.4 Punkt (II) und Lemma 1.4.1 Punkte (iii) und (i), dassP_j⁰⁰(ϕ) =^Pj_i=1ϕ(e⁰_i)e_i. Das hat

q(T(ϕ)) = sup

n∈N

n

X

j=1

ϕ(e⁰_j)e_j

X

= sup

n∈N

kP_n⁰⁰(ϕ)k_X⁰⁰ ≤Bkϕk_X⁰⁰

zur Konsequenz, sprich T bildet stetig (die Linearität von T ist klar) nach (A, q) ab. Um Surjektivität zu beweisen, betrachte ein (aj)_j∈N ∈A. Aus k^Pn_j=1ajejk_X =k^Pn_j=1ajejk_X⁰⁰ für n∈Nfolgert man, dass^Pn_j=1a_je_j eine beschränkte Folge in X⁰⁰ ist. WeilX⁰ nach Lemma 1.4.4 Punkt (II) eine Schauder-Basis besitzt und demnach separabel ist, erhält man vermöge des Satzes von Banach-Alaoglu einew^∗-konvergente Teilfolge mit einem Grenzwertϕ∈X⁰⁰. Dieser erfüllt aufgrund derw^∗-Konvergenz² ϕ(e⁰_j) =a_j fürj ∈N, ist also ein Urbild. Schließlich erfüllt jedesϕ∈X⁰⁰ vermittels Lemma 1.4.4 Punkt (II) und Lemma 1.4.1 Punkte (iii) und (i) und (ii), dass P_j⁰⁰(ϕ) =^Pj_i=1ϕ(e⁰_i)e_i ^w

∗

→ϕ. Dies liefert fürf ∈X⁰, dass

|ϕ(f)|= lim

n→∞|P_n⁰⁰(ϕ)(f)| ≤sup

n∈N

kP_n⁰⁰(ϕ)k_X⁰⁰kfk_X⁰ = sup

n∈N

n

X

j=1

ϕ(e⁰_j)e_j

Xkfk_X⁰ =q(T(ϕ))kfk_X⁰ sprich q(T(ϕ))≥ kϕk_X⁰⁰, womitT injektiv ist. Nach dem Satz von der offenen Abbildung istT ein Isomorphismus und im Falle der Monotonie wegenB = 1 sogar isometrisch.

1Die Dreiecksungleichung bezüglich q gilt auf ganz C^N(R^N) und man hat q((aj)j∈N) ≤ q((an,j)j∈N) + q((an,j)j∈N−(aj)j∈N)<∞.

2Die Punktauswertungsfunktionaleej, j∈Nsind nach Lemma 1.4.4 Punkt (II) die Koordinatenfunktionale.