Universität Konstanz Tom-Lukas Kriel Fachbereich Mathematik und Statistik Markus Schweighofer Sommersemester 2016
Übungsblatt 7 zur Kommutativen Algebra
Aufgabe 1. (4P)(Satz von Cohen)
SeiRein kommutativer Ring und betrachte die durch Inklusion halbgeordnete Menge M :
= {
I|
I nicht endlich erzeugtes Ideal vonR}
.Zeige:
(a) IstRnicht noethersch, so besitzt Mein maximales Element.
(b) Jedes maximale Element von Mist ein Primideal.
(c) Rist noethersch genau dann, wenn in Rjedes Primideal endlich erzeugt ist.
Hinweis zu (b): Sei I ein maximales Element von M. Nehme an, dass es x,y
∈
R\
I gibt mitxy∈
I. Finde dann zwei echte Oberideale G,HvonI mitI=
G+ (
x)
H.Aufgabe 2. (8P)(Primärzerlegung im Polynomring)
Sei Rein kommutativer Ring, f
=
∑ni=0aiXi∈
R[
X]
mitai∈
R und I ein Ideal in R.Zeige:
(a) In R ist die Summe eines nilpotentes Elementes und einer Einheit stets wieder eine Einheit.
(b) f
∈
R[
X]
×⇐⇒ (
a0∈
R×&a1, . . . ,an∈
NilR)
Hinweis:Wennn
≥
1 und f∑mi=0biXi=
1 mitbi∈
R, zeige per Induktion, dass arn+1bm−r=
0 für aller∈ {
0, . . . ,m}
. Wende (a) aufR[
X]
statt Ran.(c) f
∈
NilR[
X] ⇐⇒
a0, . . . ,an∈
NilR(d) f ist inR
[
X]
genau dann ein Nullteiler, wenn es a∈
R\ {
0}
mita f=
0 gibt.Hinweis: Istg
∈
R[
X] \ {
0}
von minimalem Grad mit f g=
0, so zeige aig=
0 für allei∈ {
0, . . . ,n}
.(e) Ein Ideal I vonRerzeugt inR
[
X]
das Ideal I[
X]
:= {
∑ni=0aiXi|
n∈
N0,ai∈
I}
. (f) Für jedes PrimidealpvonRistp[
X]
ein Primideal vonR[
X]
.(g) IstI einp-primäres Ideal vonR, so istI
[
X]
einp[
X]
-primäres Ideal vonR[
X]
.(h) Ist I
=
Tnk=1qk eine Primärzerlegung des Ideals I vonR, so ist I[
X] =
Tnk=1qk[
X]
eine Primärzerlegung von I[
X]
.Aufgabe 3. (4P) (Ein Beispiel einer Primärzerlegung) Sei K ein Körper. Finde in K
[
X1, . . . ,Xn]
eine Primärzerlegung des Ideals I := (
X1)(
X1,X2) · · · (
X1, . . . ,Xn)
.Abgabe bis Freitag, den 3. Juni 2016, 10:00 Uhr in den Briefkasten Nr. 17 neben F411.
