Mathematik f ¨ur Informatiker I
Prof. Dr. Joachim Weickert PD Dr. Michael Breuß Wintersemester 2006/2007 Ausgabe: 02.02.2007
Abgabe: 09.02.2007 vor der Vorlesung
Ubungsblatt 14 ¨
Aufgabe 1
In dieser Aufgabe lernen Sie mit dem Newton-Verfahren einen effizienten allgemeinen Ansatz zur Nullstellenbestimmung einer Funktionf ∈C2(IR)kennen.
(a) Ausgehend von einem Startpunktx0betrachten wir die Tangentet(x)anfim Punkt (x0, f(x0))und berechnenx1als Nullstelle vont(x).
Zeigen Sie, dass ein iteratives Anwenden dieses Ansatzes auf das Iterationsverfahren xn+1 =xn− f(xn)
f0(xn) f¨uhrt.
(b) Beweisen Sie, dass das Newton-Verfahren f¨ur Startwertex0 aus einem IntervallI konvergiert, falls f¨ur allex∈ I
f(x)f00(x) (f0(x))2
≤γ , γ <1, γ∈IR, gilt.
(c) Suchen Sie eine Funktionf, mit deren Hilfe Siea = √
10unter Benutzung des Newton-Verfahrens iterativ berechnen k¨onnen. F¨uhren Sie dann die ersten4Schritte der Berechnung vonadurch. Ist ein Gesetz erkennbar, nach dem sich die Genauigkeit der Iterationsergebnisse verbessert?
(8 Punkte)
Aufgabe 2
Gegeben seif(x) =x2f¨urx∈[0,1] =:I. Berechnen Sie f¨ur die ¨aquidistante Zerle- gung
Zn=
0,1 n,2
n, . . . ,1
des IntervallsIUnter- und Obersumme und damit Z 1
0
x2dx .
(4 Punkte)
1
Aufgabe 3
Berechnen Sie alle Stammfunktionen der folgenden Funktionen.
(a) 12x2+ 5 sinx (b) x2sinx (c) exsinx
(6 Punkte)
Aufgabe 4
Berechnen Sie folgende Integrale.
(a) Z 2
1
x√
5x−1dx (b)
Z 1
0
x2e2xdx
(c) Z 2
1
(lnx)3
x dx
(6 Punkte)
2
