Prof. Dr. P. Wirtz
Weihnachtsübungsblatt zur Linearen Algebra
WS 01/02Aufgabe 1:
Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe des Prinzips der vollständigen Induktion:
n . 1 i
i bn ai b
a
1 bn 1 an : gilt b) (a IR b a, und IN n alle Für iii)
1 2n
! n gilt IN n alle Für ii)
) (
x n 1 n x 1 : gilt 1 mit x IR x alle und IN n alle Für i)
Bernoullische Ungleichung
Aufgabe 2:
Man bestimmen Sie die Menge aller Punkte z C (= komplexe Zahlen) mit z2 2z1 . Aufgabe 3: (Stoppel/Griese S. 8 u. 78)
Ein Konferenzhotel für Mathematiker hat genau IN Betten. Das Hotel ist bereits voll belegt, aber die Mathematiker lassen sich nach Belieben innerhalb des Hotels umquartieren. Das Hotel soll aus wirtschaftlichen Gründen stets voll belegt sein, und wenn möglich, sollen alle neu ankommenden Gäste untergebracht werden. Was macht man in folgenden Fällen ?
i) Ein weiterer Mathematiker trifft ein.
ii) Die Insassen eines Kleinbusses mit n Plätzen suchen Unterkunft.
iii) Ein Großraumbus mit IN Personen kommt an.
iv) n Großraumbusse treffen ein.
v) IN Großraumbusse treffen ein.
Aufgabe 4: (Blyth S. 15 u. 177)
Es sei A :=
0 0 0 0
a 0 0 0
2a a 0 0
3a 2a a 0
. Man definiere A ...
4 1 3 A 1 2 A 1 A :
B 2 3 4 .
Man zeige, dass diese Reihe nur endlich viele von Null verschiedene Terme hat und berechne B.
Weiter zeige man, dass auch die Reihe B ...
3!
1 2! B 1
B 2 3 nur endlich viele von Null verschiedene Terme hat und dass die Summe gleich A ist.
Aufgabe 5: (Blyth S. 61)
Invertieren Sie, falls möglich, die folgende Matrix: A :=
4 4 1
4 3 1
3 2 1
.
Aufgabe 6: (Stoppel/Griese S. 18 u. 119)
Es seien Metall-Legierungen M1, M2, M3 gegeben, die alle Kupfer, Silber und Gold enthalten, und zwar in folgenden Prozentsätzen:
Kupfer Silber Gold
M1 20 60 20
M2 70 10 10
M3 50 50 0
Kann man diese Legierungen so mischen, dass eine Legierung entsteht, die 40% Kupfer, 50%
Silber und 10% Gold enthält ? Aufgabe 7: (Blyth S. 56 u. 181)
Man bestimme die Lösungen des folgenden Gleichungssystems (modulo 5):
3x1 + x2 + 2x3 – x4 5 1 2x1 + x2 + 4x3 + 3x4 + 2x5 5 1 x1 – 2x2 + 3x4 + x5 5 3 x1 – x3 – x4 + 3x5 5 1 2x1 + 3x2 + 3x3 – x4 – x5 5 1.
Aufgabe 8: (Schaum S. 72, 4.9 u. 4.10)
Gegeben sei der IR-Vektorraum IR3. Untersuchen Sie, ob folgende Teilmengen lineare Teilräume von V sind:
i) U := { (a, b, c) IR3 | a + b + c = 0 } ii) U := { (a, b, c) IR3 | a 0 }
iii) U := { (a, b, c) IR3 | a2 + b2 + c2 1 }
iv) U := { (a, b, c) IR3 | a, b, c Q } (Q = rationale Zahlen) Aufgabe 9: (Schaum S. 73, 4.11)
Es sei V der K-Vektorraum Knn der (n n)-Matrizen über einem Körper K. Man untersuche, ob folgende Teilmengen lineare Teilräume von V sind:
i) U := { A = (aij) Knn | aij = aji } (Symmetrische Matrizen)
ii) U := { A = (aij) Knn | A B = B A für eine feste Matrix B Knn }.
Aufgabe 10: (Schaum S. 73, 4.12)
Es sei V der IR-Vektorraum aller (2 2)-Matrizen. Untersuchen Sie, ob folgende Teilmengen lineare Teilräume von V sind:
i) U := { A V | det(A) = 0 } ii) U := { A V | A2 = A }.
Aufgabe 11: (Schaum S. 81, 4.35)
Es sei V ein K-Vektorraum und U, W V seien lineare Teilräume. Begründen Sie:
Ist U = < u1, ... , un > und W = < v1, ... , vm>, so gilt: U + W = < u1, ... , un, v1, ... , vm>.
Aufgabe 12: (Schaum S. 81, 4.38)
Es sei M(n n, IR) der IR-Vektorraum der (n n)-Matrizen. Ferner seien Sym(n, IR) bzw.
Alt(n, IR) die linearen Teilräume der symmetrischen bzw. schiefsymmetrischen Matrizen.
i) Man bestimme für Sym(n, IR) und Alt(n, IR) jeweils eine Basis und bestimme die Dimensionen der linearen Teilräume
ii) Man begründe: M(n n, IR) = Sym(n, IR) Alt(n, IR).
Es sei V der K-Vektorraum der (n n)-Matrizen über einem Körper K. Ferner seien U bzw. W die linearen Teilräume der symmetrischen bzw. schiefsymmetrischen Matrizen.
Begründen Sie: V = U W.
Aufgabe 13: (Schaum S. 82, 4.45)
Es seien V1 und V2 zwei K-Vektorräume. Sei W := { (a, b) | a V1, b V2 }. Man zeige, dass W mit den Operationen „ + „ und „ „ die definiert seien gemäß
(a, b) + (a´, b´) := (a + a´, b + b´) und (a, b) := ( a, b)
für alle a, a´ V1, b, b´ V2, K ein K-Vektorraum wird. Man nennt den K-Vektorraum W die (äußere) direkte Summe der beiden K-Vektorräume V1 und V2.
Aufgabe 14: (Schaum S. 83, 4.60)
Zeigen Sie, dass die Polynome p1(x) := (1 – x)3, p2(x) := (1 – x)2, p3(x) := 1 – x und p4(t) := 1 den IR-Vektorraum IP3[X] der Polynome vom Grad 3 erzeugen.
Aufgabe 15: (Schaum S. 105, 5.27)
Es seien U und W die folgenden linearen Teilräume von IR4:
U := { (a, b, c, d) IR4 | b + c + d = 0 }; W := { (a, b, c, d) IR4 | a + b = 0, c = 2d }.
Man bestimme die Dimension und eine Basis von
i) U ii) W und iii) U W.
Aufgabe 16: (Schaum S. 107, 5.33)
Es seien U und W zwei verschiedene 4-dimensionale lineare Teilräume eines Vektorraums V der Dimension 6. Man bestimme die möglichen Dimensionen von U W.
Aufgabe 17: (Schaum S. 107, 5.34)
Es seien U und W die Unterräume von IR4, die erzeugt werden durch
{(1, 1, 0, –1)T, (1, 2, 3, 0) T, (2, 3, 3, –1) T} bzw. {(1, 2, 2, –2)T, (2, 3, 2, –3) T, (1, 3, 4, –3) T}.
Man bestimme i) dim(U + W) und ii) dim(U W).
Aufgabe 18: (Schaum S. 238, 10.23)
Es sei U der Lösungsraum der homogenen Gleichung 2x + 3y + 4z = 0. Man beschreiben die Nebenklassen von U in IR3.
Aufgabe 19: (Schaum S. 246, 10.71)
Es sei U ein linearer Teilraum eines K-Vektorraums V. Man nehme an, dass die Menge der
Nebenklassen { v1 + U, ... , vn + U } in V / U linear unabhängig ist. Begründen Sie, dass dann die Menge der Vektoren { v1, ... , vn } in V ebenfalls linear unabhängig ist.