Aufgaben zum Abgeben

Differentialgeometrie 1 – ¨ Ubungszettel 6

Heidelberg, Sommersemester 2019 Gabriele Benedetti Urs Fuchs

Abgabe bis 31.5.2019 um 11 Uhr, Briefkasten 04 im 1.OG, Mathematikon

Aufgaben zum Abgeben

6-1 Es seiι:N →O eine Einbettung undp∈N beliebig.

(a) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass f¨ur jede offene UmgebungU von pin N eine offene UmgebungU⁰vonι(p) inOexistiert mitU⁰∩ι(N) =ι(U).

(b) (2 Punkte) Benutzen Sie (a) um zu zeigen: Es gibt eine Karte (UO, ϕO) von O umι(p), sodassϕO(UO∩ι(N)) =VO∩(R^dimN × {0}), wobei wirR^dimO∼=R^dimN×R^dimO−dimN identifizieren.

6-2 (2 Punkte) Es seienι₁:M₁→N undι₂:M₂→N zwei Einbettungen mit ι₁(M₁) =ι₂(M₂). Zeigen Sie, dassM₁ undM₂ diffeomorph sind.

6-3 Eine Lie-Gruppe ist eine glatte MannigfaltigkeitG, die zus¨atzlich die Struk- tur einer Gruppe besitzt, so dass die Gruppenverkn¨upfungµ:G×G→G und die Inversion ι : G 7→ G glatte Abbildungen sind. F¨ur alle g ∈ G schreiben wirLg:G→GundRg :G→Gf¨ur die Links- und Rechtsmul- tiplikation durchg:Lg(h) =µ(g, h) undRg(h) =µ(h, g).

(a) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass Lg, Rg und ι Diffeomorphismen von G nach Gsind.

(b) (1 Punkt) Zeigen Sie, dassRⁿ undTⁿ Lie-Gruppen sind.

6-4 Es seigl_n(R) dieR-Algebra dern×n-Matrizen.

(a) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass die Determinante det :gl_n(R)→ Reine glatte Funktion ist und folgern Sie, dass die Abbildung adj :gl_n(R)→ gl_n(R), die zu jeder Matrix Adie komplement¨are Matrix adj(A) zu- ordnet, glatt ist. Beweisen Sie die Formel

d_Adet·H = spur(adj(A)H) ∀H ∈T_Agl_n(R).

Hinweis: Die Determinante ist eine multilineare Funktion der Spal- ten einer Matrix. Wenn f : (Rⁿ)^k → R multilinear ist, k¨onnen Sie benutzen, dass dxf ·h=Pk

i=1f(x1, . . . , x_i−1, hi, xi+1, . . . , xk), wobei x= (xi)^k_i=1 und h= (hi)^k_i=1 zu (Rⁿ)^k geh¨oren. Verwenden Sie dann die Laplace-Entwicklung der Determinante.

(b) (1 Punkt) Zeigen Sie weiter, dass die Menge GLn(R) der invertierbaren n×n reellen Matrizen eine Lie-Gruppe ist. Hinweis: Schreiben Sie die Inverse als Funktion der Determinante und der komplement¨aren Matrix.

Aufgaben nicht zum Abgeben

6-5 Es seienM undN glatte Mannigfaltigkeiten undM zusammenh¨angend. Es seiF :M →N eine glatte Abbildung. Zeigen Sie, dassF konstant genau dann ist, wenn dpF = 0 f¨ur allep∈M.

6-6 Es sei n ≥ 2 und Hn ⊂ GLn(R) die Mengen aller Matrizen A = (aij), wobei

• aii = 1, ∀i= 1, . . . , n, • aij= 0, ∀i, j= 1, . . . , n, i > j.

Zeigen Sie, dassHn eine abgeschlossene Teilmenge und eine Untergruppe vonGL_n(R) ist.

Wir versehen nunH_n mit der Teilraumtopologie von GL_n(R). Finden Sie einen Hom¨oomorphismusϕn : Hn →R

n(n−1)

2 und benutzen ihn, um eine glatte Struktur auf Hn zu definieren. Schließen Sie daraus, dass Hn eine Lie-Gruppe ist. Schreiben Sie die Gruppenverkn¨upfung und die Inversion explizit in der Karteϕn f¨ur n= 2 undn = 3. Zeigen Sie, dassHn genau dann als Gruppe isomorph zuR

n(n−1)

2 mit der Standardaddition ist, wenn n= 2.