Das Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt

Das Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt

Ziel

Konstruiere aus einer Folge von n linear unabh¨angigen Vektoren

~a₁, ~a₂, . . . , ~a_n

eine Folge vonn orthogonalen(oder orthonormalen) Vektoren

~b₁,~b₂, . . . ,~b_n.

Schritt 1

Der erste Vektor~a₁ wird zum ersten Vektor~b₁ der neuen orthogonalen Basis.

~b₁

~a1

~b1 =~a₁

Schritt 2

Bestimme~b₂ so, dass~b₁ ⊥~b₂ und~a₂ =β₁~b₁+~b₂:

~b₁

~b₂

~a₂

~b₂ ^(∗)=~a₂−β₁~b₁

~b₁·~b₂ = 0 (~b₁ ⊥~b₂)

~b1· ~a₂−β₁~b1

= 0

~b1 ·~a₂−β₁~b1·~b1 = 0 ⇒ β₁ =~b₁·~a₂

~b₁·~b₁ in (∗) einsetzen

~b₂ =~a₂−~b₁·~a₂

~b1·~b1

~b₁

1

Schritt 3

Bestimme~b₃ so, dass~b₁ ⊥~b₃,~b₂ ⊥~b₃ und~a₃ =β₁~b₁+β₂~b₂+~b₃:

~b1

~b₂

~a₃ ~b₃

β₁~b₁ β2~b2

~b3

(∗)=~a₃−β₁~b1−β₂~b2

~b1·~b3 = 0

~b₁· ~a₃−β₁~b₁−β₂~b₂

= 0

~b₁·~a₃−β₁~b₁·~b₁ = 0

β₁ =~b1·~a3

~b₁·~b₁

~b2·~b3 = 0

~b₂· ~a₃−β₂~b₁−β₂~b₂

= 0

~b₂·~a₃−β₂~b₂·~b₂

= 0

β₂ =~b2·~a3

~b₂·~b₂

~b3 =~a₃ −~b₁·~a₃

~b₁·~b₁~b1−~b₂·~a₃

~b₂ ·~b₂~b2

Schritt n

Bestimme~bn so, dass

• ~b₁ ⊥~b_n,~b₂ ⊥~b_n, . . . ,~bn−1 ⊥~bn−1

• ~a_n =

n−1

X

i=1

β_i~bi+~bn

Induktiv erhalten wir die Orthogonalisierung nach Gram-Schmidt:

~b_n =~a_n−

n−1

X

i=1

~bi·~an

~bi·~bi

~b_i

Jørgen Pedersen Gram(1850–1916) undErhard Schmidt (1876–1959)

• Das Verfahren kann in allen Vektorr¨aumen angewendet werden, in denen ein Ska- larprodukt h·,·idefiniert ist.

• Bei dem Verfahren kumulieren sich Rundungsfehler ung¨unstig. Deshalb eignet es sich nicht f¨ur die Berechnung auf einem Computer mit Gleitkommaarithmetik, wenn viele Vektoren oder Vektoren mit vielen Komponenten orthogonalisiert werden sollen.

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