f¨ ur Lineare Algebra, Lehramt Gymnasium

MATHEMATISCHES INSTITUT SoSe 2018

DER UNIVERSIT ¨ AT M ¨ UNCHEN 11.06.2018

Tutoriumsblatt 10

f¨ ur Lineare Algebra, Lehramt Gymnasium

PROF. DR. DIRK-ANDR ´ E DECKERT Anne Froemel, Phillip Grass, Aaron Schaal

Bitte geben Sie Ihre L¨ osungen bis sp¨ atestens Montag, den 18.06.2018, um 12 Uhr entweder ¨ uber den R¨ uckgabekasten oder ¨ uber UniWorx ab. Sp¨ atere Abgaben k¨ onnen nicht ber¨ ucksichtigt werden. Gerne k¨ onnen Sie in Gruppen abgeben (max. 3 Studierende).

Aufgabe 1 (Gewichtung 25%)

(i) Begr¨ unden Sie mit Hilfe des Schnittdimensionssatzes, dass es f¨ ur drei 4-dimensionale Untervek- torr¨ aume U, U

, U

eines 5-dimensionalen R -Vektorraums V stets einen Vektor v 6= 0

in U ∩U

∩U

gibt.

(ii) Begr¨ unden Sie mit Hilfe des Dimensionssatzes f¨ ur lineare Abbildungen, dass keine injektive lineare Abbildung φ : R

→ R

existiert.

Aufgabe 2 (Gewichtung 25%)

(i) Gegeben sei U = {(x

, ..., x

) ∈ R

| (x

, x

− x

) = (x

+ 2x

, −x

)}. Bestimmen Sie die Dimension dieses Untervektorraums des R

.

(ii) Zeigen Sie, dass der Untervektorraum U aus Teilaufgabe (i) mit kern(f

) ¨ ubereinstimmt, wobei f

: R

→ R

, x 7→ Ax mit A :=

1 −1 0 0 0 −2 0

0 1 1 0 −1 0 0

.

Bestimmen Sie nun nochmal durch ein anderes Vorgehen als in Teil (i) die Dimension dim

(U ).

Aufgabe 3 (Gewichtung 25%)

Sei K ein K¨ orper, n ∈ N und A ∈ K

. Zeigen Sie mit Hilfe des Dimensionssatzes f¨ ur lineare Abbil- dungen, dass die folgenden beiden Aussagen ¨ aquivalent sind.

(I) ker(A) = SR(A)

(II) A

= 0

und n = 2 · rg(A).

Aufgabe 4 (Gewichtung 25%)

F¨ ur a ∈ R sei die Matrix M

∈ R

gegeben durch

M

=





1 0 0

1 a 1

−1 1 2





Bestimmen Sie f¨ ur jedes a ∈ R den Rang rg(M

) sowie eine Basis des Spaltenraums von M

.