6 Prozesse der QED

(1)

6.1 Berechnung des Prozesses e

⁻

µ

⁻

→ e

⁻

µ

⁻

6 Prozesse der QED

6.1 Berechnung des Prozesses e ⁻ µ ⁻ → e ⁻ µ ⁻

µ⁻ e⁻ e⁻

µ⁻

γ

Beispielhaft soll das Matrixelement des Prozesses e

⁻

( p

1

) µ

⁻

( p

2

) → e

⁻

( p

3

) µ

⁻

( p

4

) berechnet werden, wobei der 4-er Impuls des ausge- tauschten Photons q = p

1

− p

3

ist. Das Matrixelement M ergibt sich aus den Feynmanregeln der QED

− iM = u ¯

3

iq

e µ

u

1

��

e-Strom

− ig

µ⌫

q

²

-Propagator

�

¯

u

4

iq

m ⌫

u

2

��

µ-Strom

M = − e

²

q

²

u ¯

3 µ

u

1

u ¯

4 µ

u

2

,

mit elektrischer Ladung e

²

= q

e

q

m

. Die Spinoren u

i

= u ( p

i

, s

i

) hän- gen von den Impulsen p

i

und Spin-Orientierungen s

i

ab. Das Matri- xelement für die Streuung unpolarisierter Teilchen ergibt sich aus der

• Mittelung über die einlaufenden Spin-Zustände, (zur Normie- rung, wenn beide Polarisationsrichtungen gleich häufig sind),

• Summation über die auslaufenden Spin-Zustände (wenn der Spin im Endzustand nicht gemessen wird).

� M ¯ �

²

= e

⁴

q

⁴

L

^µ⌫_e

L

^Muon_µ⌫

mit dem Elektron-Tensor (Muon Tensor analog) L

^µ⌫_e

= 1

2 �

e-Spin

[ u ¯

3 µ

u

1

][ u ¯

3 ⌫

u

1

]

^∗

= 1 2 �

e-Spin

[ u ¯

3 µ

u

1

][ u ¯

1 ⌫

u

3

]

wobei der Spin-Faktor

¹₂

für den Mittelwert über verschiedene ein- laufende Spin-Richtungen notwendig ist. Hierbei wurde benutzt, dass [ u ¯

3 ⌫

u

1

] = a nur eine Zahl ist und daher transponiert werden darf (a

^∗

= a

^†

) und dass [ u ¯

3 ⌫

u

1

]

^†

= [ u ¯

1 ⌫

u

3

]. Ausgeschrieben und

71

(2)

6.1 Berechnung des Prozesses e

⁻

µ

⁻

→ e

⁻

µ

⁻

getrennt summiert über die einlaufenden und auslaufenden Spin- Zustände ist dies

L

^µ⌫_e

= 1 2 �

s₃

�

s₁

¯ u

3,a µ

ab

u

1,b

u ¯

1,c ⌫ cd

u

3,d

= 1 2 �

s₃

u

3,d

u ¯

3,a

��

(p�₃+me)da

µ ab

�

s₁

u

1,b

u ¯

1,c

��

(p�₁+me)bc

⌫ cd

= 1

2 Spur �( � p

₃

+ m

e

)

^µ

( � p

₁

+ m

e

)

^⌫

�

unter Benutzung der Vollständigkeitsrelationen der Spinoren (siehe Anhang A) und der Notation p � =

^↵

p

^↵

. Die Spurtheoreme

¹³

erlau- ben die Vereinfachung

L

^µ⌫_e

= 1

2 Spur �( � p

₃

+ m

e

)

^µ

( p �

₁

+ m

e

)

^⌫

�

= 1

2 Spur �� p

₃ ^µ

p �

₁ ^⌫

+ m

²_e ^µ ^⌫

�

= 2 ( p

^µ₃

p

^⌫₁

+ p

^⌫₃

p

^µ₁

− ( p

3

p

1

− m

²_e

) g

^µ⌫

)

Mit dem analogen Resultat für den Myon-Tensor ist das Resultat für das Matrixelement:

� M ¯ �

²

= e

⁴

q

⁴

L

^µ⌫_e

L

^Muon_µ⌫

gleich

� M ¯ �

²

= 8e

⁴

q

⁴

�( p

3

p

4

)( p

1

p

2

) + ( p

3

p

2

)( p

1

p

4

) − m

²_e

p

2

p

4

− m

²_µ

p

1

p

3

+ 2m

²_e

m

²_µ

� Dies ist das exakte Matrix-Element für unpolarisierte e

⁻

µ

⁻

Streu- ung in niedrigster Ordnung. Das Ergebnis ist oﬀensichtlich Lorentz- invariant.

Im ultra-relativistischen Limes kann man die Massen-Terme ver- nachlässigen. Die Skalarprodukte lassen sich durch die in gleicher Näherung geltenden Mandelstam-Variablen ausdrücken.

s = ( p

1

+ p

2

)

²

= m

²_e

+ m

²_µ

+ 2p

1

p

2

≈ 2p

1

p

2

≈ 2p

3

p

4

t = ( p

1

− p

3

)

²

= 2m

²_e

− 2p

1

p

3

≈ − 2p

1

p

3

= 2m

²_µ

− 2p

2

p

4

≈ − 2p

2

p

4

u = ( p

1

− p

4

)

²

= m

²_e

+ m

²_µ

− 2p

1

p

4

≈ − 2p

1

p

4

= m

²_e

+ m

²_µ

− 2p

2

p

3

≈ − 2p

2

p

3

Wegen t = q

²

folgt der Wirkungsquerschnitt für unpolarisierte ul- trarelativistische Streuung,

� M ¯ �

²

≈ 8e

⁴

t

²

( 1 4 s

²

+ 1

4 u

²

)

13Die Spur einer Matrix A ist die Summe der Diagonalelemente, Spur A =

∑iAii. Die Spur einer ungeraden Anzahl von -Matrizen ist Null, Spur( ^µ ^{⌫ })=0.

Weiter gilt Spur( ^µ ^⌫) =4g^µ⌫, Spur( ^µ ^⌫ )=4(g^µ⌫g −g^µ g^⌫ + g^µ g^⌫ ),

Spur(�p

1 µp�

2

⌫)=4(p^µ₁p^⌫₂+p^⌫₁p^µ₂−(p₁p₂)g^µ⌫), Spur(�a�b�c�d)=4[(ab)(cd)− (ac)(bd)+(ad)(bc)].

72

(3)

6.1 Berechnung des Prozesses e

⁻

µ

⁻

→ e

⁻

µ

⁻

oder

� M ¯ �

²

≈ 2e

⁴

s

²

+ u

²

t

²

Das Ergebnis stimmt mit dem früher erhaltenen Resultat für Heli- zitätsamplituden überein.

• Der Wirkungsquerschnitt ist proportional zum Quadrat der Ladung an jedem Vertex, für eµ Streuung also proportional zu q

_e²

q

_m²

= e

⁴

.

• Der Nenner t ist der Photon-Propagator und unterdrückt Streuung mit großem 4-er Impulsübertrag.

• Der Term mit s

²

entsteht durch Streuung mit entgegengeset- zen Spins, so dass der Gesamtspin J

Z

= 0 ist, denn s bein- haltet keine Winkelinformation (isotrop, da keine Richtung ausgezeichnet ist).

6 Prozesse der QED

6.1 Berechnung des Prozesses e

µ

→ e

µ