Zillertal/12.12.2013-15.12.2013 FranziskaWerner ÜberdeckungssatzvonVitali

(1)

Überdeckungssatz von Vitali

Franziska Werner

LMU München

Zillertal / 12.12.2013 - 15.12.2013

(2)

Notation und Definitionen

Notation:

Sei B ein abgeschlossener Ball in R ⁿ . Man bezeichnet B b als die Bälle mit

diamb B = 5 diamB

Definitionen:

1. Eine Menge F heißt Überdeckung einer Menge A ⊂ R ⁿ , falls A ⊂ S

B∈F

B. 2. F heißt feine Überdeckung von A falls

inf {diam(B ) =| x ∈ B, B ∈ F } = 0

(3)

überdeckungssatz von Vitali

Sei F eine Menge abgeschlossener Bälle in R ⁿ mit sup{diamB | B ∈ F } < ∞,

dann existiert eine abzählbare Familie G aus disjunkten Bällen in F, so dass [

B∈F

B ⊂ [

B ∈G

B. b

(4)

Beweis Teil 1:

Es sei D ≡ sup{diamB | B ∈ F } und F _j ≡ {B ∈ F | ^D ₂

_j

< diamB ≤ ₂

j−1

^D } Sei G _j ∈ F _j wie folgt:

(a) Sei G ₁ eine maximale disjunkte Menge an Bällen in F ₁

(b) Iteration: Haben G ₁ , G ₂ , ..., G _k−1 , bilden G _k als maximal disjunkte Teilmenge, so dass

{B ∈ F _k | B ∩ B ⁰ = ∅, ∀B ⁰ ∈

k−1

[

j =1

G _j } und

G ≡

∞

[

j=1

G _j

(5)

Beweis Teil 2:

Behauptung: ∀B ∈ F ∃B ⁰ ∈ G : B ∩ B ⁰ 6= ∅ undB ⊂ B b ⁰ Beweis:

Sei B ∈ F , dann ∃ j : B ∈ F _j und da G _j maximal, existiert ein Ball

B ⁰ ∈

j

[

k=1

G _k B ∩ B ⁰ 6= ∅

Da aber: diamB ⁰ ≥ ^D

2

^j

und diamB ≤ ^D

2

^j−1

⇒ diamB ≤ 2 diamB ⁰

und es folgt: B ⊂ B b ⁰

(6)

Korrolar 1

Sei F eine feine Überdeckung von A mit abgeschlossenen Bällen und sup{diamB | B ∈ F } < ∞,

dann gibt es eine abzählbare Familie G aus disjunkten Bällen in F, so dass für jede endliche Teilmenge {B ₁ , ..., B _m } ⊂ F gilt:

A\

m

[

k=1

B _k ⊂ [

B∈G \{B

1

,...,B

m

}

B b

(7)

Beweis:

Sei G wie eben und {B ₁ , ..., B _m } ∈ F 1. falls A ⊂

m

S

k=1

B _k ⇒ fertig 2. falls nicht sei x ∈ {A\ S m

k =1 B _k }

Da alle B ∈ F abgeschlossen sind und F eine feine Überdeckung :

∃ B ∈ F : x ∈ B und B ∩ B _k = ∅ k = 1, 2, 3, ...

aber: ∃B ⁰ ∈ G , so dass B ∩ B ⁰ 6= ∅ und B ⊂ B b ⁰

(8)

Korollar 2

Sei U ∈ R ⁿ offen und δ > 0

Es existiert eine abzählbare Menge aus disjunkten abgeschlossenen Bällen in U, so dass diamB ≤ δ ∀B ∈ G und

L ⁿ (U\ [

B∈G

B ) = 0

(9)

Beweis

(1) Sei 1 − ₅ ¹

n

< Θ < 1 und angenommen L ⁿ (U) < ∞ (2) Behauptung:

Es existiert eine begrenzte Menge {B _i } ^M _i=1

¹

aus disjunkten abgeschlossenen Bällen in U, so dass diam {B _i } < δ mit i = 1, .., M 1

L ⁿ (U \

M

1

[

i =1

B _i ) ≤ ΘL ⁿ (U )

(10)

L ⁿ (U \

M

1

[

i =1

B _i ) ≤ ΘL ⁿ (U )

Beweis der Behauptung:

Sei F ≡ {B | B ⊂ U, diamB < δ} und ∃G ₁ ⊂ F ₁ , sodass U ⊂ S

B∈G

1

B b L ⁿ (U ) ≤ X

B∈G

1

L ⁿ ( B) = b 5 ⁿ X

B∈G

1

L ⁿ (B) = 5 ⁿ L ⁿ ( [ ˙

B ∈G

1

B )

somit L ⁿ ( S

B∈G

1

B) ≥ ₅ ¹

n

L ⁿ (U) sodass L ⁿ (U − S

B∈G

1

B) ≤ (1 − ₅ ¹

n

)L ⁿ (U )

(11)

Nun sei U ₁ ≡ U\

M

1

S

i=1

B _i und F ₂ ≡ {B | B ⊂ U ₁ , diamB < δ}

{B _M

₁

₊₁ , ..., B _M

₂

} ∈ F ₂ sodass:

L ⁿ (U\

M

2

S

i=1

B _i ) = L ⁿ (U ₁ \

M

2

S

i =M

1

+1

B _i )

≤ ΘL ⁿ (U ₁ ) ≤ Θ ² L ⁿ (U )

Iteration: L ⁿ (U \

M

k

S

i=1

B _i ) ≤ Θ ^k L ⁿ (U) für Θ ^k −→ 0 ⇒ Beh. L ⁿ (U − S

B ∈G

B) = 0

(12)

Zillertal/12.12.2013-15.12.2013 FranziskaWerner ÜberdeckungssatzvonVitali

Überdeckungssatz von Vitali

Franziska Werner

LMU München

Zillertal / 12.12.2013 - 15.12.2013

Notation und Definitionen

Notation:

Sei B ein abgeschlossener Ball in R n . Man bezeichnet B b als die Bälle mit

diamb B = 5 diamB

Definitionen:

1. Eine Menge F heißt Überdeckung einer Menge A ⊂ R n , falls A ⊂ S

B∈F

B.

2. F heißt feine Überdeckung von A falls

inf {diam(B ) =| x ∈ B, B ∈ F } = 0

überdeckungssatz von Vitali

Sei F eine Menge abgeschlossener Bälle in R n mit sup{diamB | B ∈ F } < ∞,

dann existiert eine abzählbare Familie G aus disjunkten Bällen in F, so dass [

B∈F

B ⊂ [

B ∈G

B. b

Beweis Teil 1:

Es sei D ≡ sup{diamB | B ∈ F } und F j ≡ {B ∈ F | D 2

< diamB ≤ 2

D } Sei G j ∈ F j wie folgt:

(a) Sei G 1 eine maximale disjunkte Menge an Bällen in F 1

(b) Iteration: Haben G 1 , G 2 , ..., G k−1 , bilden G k als maximal disjunkte Teilmenge, so dass

{B ∈ F k | B ∩ B 0 = ∅, ∀B 0 ∈

k−1

[

j =1

G j } und

G ≡

∞

[

j=1

G j

Beweis Teil 2:

Behauptung: ∀B ∈ F ∃B 0 ∈ G : B ∩ B 0 6= ∅ undB ⊂ B b 0 Beweis:

Sei B ∈ F , dann ∃ j : B ∈ F j und da G j maximal, existiert ein Ball

B 0 ∈

j

[

k=1

G k B ∩ B 0 6= ∅

Da aber: diamB 0 ≥ D

2

und diamB ≤ D

2

⇒ diamB ≤ 2 diamB 0

und es folgt: B ⊂ B b 0

Korrolar 1

Sei F eine feine Überdeckung von A mit abgeschlossenen Bällen und sup{diamB | B ∈ F } < ∞,

dann gibt es eine abzählbare Familie G aus disjunkten Bällen in F, so dass für jede endliche Teilmenge {B 1 , ..., B m } ⊂ F gilt:

A\

m

[

k=1

B k ⊂ [

B∈G \{B

,...,B

}

B b

Beweis:

Sei G wie eben und {B 1 , ..., B m } ∈ F 1. falls A ⊂

m

S

k=1

B k ⇒ fertig 2. falls nicht sei x ∈ {A\ S m

k =1 B k }

Da alle B ∈ F abgeschlossen sind und F eine feine Überdeckung :

∃ B ∈ F : x ∈ B und B ∩ B k = ∅ k = 1, 2, 3, ...

aber: ∃B 0 ∈ G , so dass B ∩ B 0 6= ∅ und B ⊂ B b 0

Korollar 2

Sei U ∈ R n offen und δ > 0

Es existiert eine abzählbare Menge aus disjunkten abgeschlossenen Bällen in U, so dass diamB ≤ δ ∀B ∈ G und

L n (U\ [

B∈G

B ) = 0

Sei B ein abgeschlossener Ball in R ⁿ . Man bezeichnet B b als die Bälle mit

1. Eine Menge F heißt Überdeckung einer Menge A ⊂ R ⁿ , falls A ⊂ S

Sei F eine Menge abgeschlossener Bälle in R ⁿ mit sup{diamB | B ∈ F } < ∞,

Es sei D ≡ sup{diamB | B ∈ F } und F _j ≡ {B ∈ F | ^D ₂

< diamB ≤ ₂

^D } Sei G _j ∈ F _j wie folgt:

(a) Sei G ₁ eine maximale disjunkte Menge an Bällen in F ₁

(b) Iteration: Haben G ₁ , G ₂ , ..., G _k−1 , bilden G _k als maximal disjunkte Teilmenge, so dass

{B ∈ F _k | B ∩ B ⁰ = ∅, ∀B ⁰ ∈

G _j } und

G _j

Behauptung: ∀B ∈ F ∃B ⁰ ∈ G : B ∩ B ⁰ 6= ∅ undB ⊂ B b ⁰ Beweis:

Sei B ∈ F , dann ∃ j : B ∈ F _j und da G _j maximal, existiert ein Ball

B ⁰ ∈

G _k B ∩ B ⁰ 6= ∅

Da aber: diamB ⁰ ≥ ^D

und diamB ≤ ^D

⇒ diamB ≤ 2 diamB ⁰

und es folgt: B ⊂ B b ⁰

dann gibt es eine abzählbare Familie G aus disjunkten Bällen in F, so dass für jede endliche Teilmenge {B ₁ , ..., B _m } ⊂ F gilt:

B _k ⊂ [

Sei G wie eben und {B ₁ , ..., B _m } ∈ F 1. falls A ⊂

B _k ⇒ fertig 2. falls nicht sei x ∈ {A\ S m

k =1 B _k }

∃ B ∈ F : x ∈ B und B ∩ B _k = ∅ k = 1, 2, 3, ...

aber: ∃B ⁰ ∈ G , so dass B ∩ B ⁰ 6= ∅ und B ⊂ B b ⁰

Sei U ∈ R ⁿ offen und δ > 0

L ⁿ (U\ [

(1) Sei 1 − ₅ ¹

< Θ < 1 und angenommen L ⁿ (U) < ∞ (2) Behauptung:

Es existiert eine begrenzte Menge {B _i } ^M _i=1

aus disjunkten abgeschlossenen Bällen in U, so dass diam {B _i } < δ mit i = 1, .., M 1

L ⁿ (U \

B _i ) ≤ ΘL ⁿ (U )

L ⁿ (U \

B _i ) ≤ ΘL ⁿ (U )

Sei F ≡ {B | B ⊂ U, diamB < δ} und ∃G ₁ ⊂ F ₁ , sodass U ⊂ S

B b L ⁿ (U ) ≤ X

L ⁿ ( B) = b 5 ⁿ X

L ⁿ (B) = 5 ⁿ L ⁿ ( [ ˙

somit L ⁿ ( S

B) ≥ ₅ ¹

L ⁿ (U) sodass L ⁿ (U − S

B) ≤ (1 − ₅ ¹

)L ⁿ (U )

Nun sei U ₁ ≡ U\

B _i und F ₂ ≡ {B | B ⊂ U ₁ , diamB < δ}

{B _M

₊₁ , ..., B _M

} ∈ F ₂ sodass:

L ⁿ (U\

B _i ) = L ⁿ (U ₁ \

B _i )

≤ ΘL ⁿ (U ₁ ) ≤ Θ ² L ⁿ (U )

Iteration: L ⁿ (U \

B _i ) ≤ Θ ^k L ⁿ (U) für Θ ^k −→ 0 ⇒ Beh. L ⁿ (U − S