Zillertal/13.12.2012-16.12.2012 DanielVanella HarnackscheUngleichungimpliziertHölderstetigkeit

Harnacksche Ungleichung impliziert Hölderstetigkeit

Daniel Vanella

LMU München

Zillertal / 13.12.2012-16.12.2012

1. Theorem

Sei L ein Differentialoperator mit Lu = −

i,j

∂

(a

(x )∂

u), wobei gilt:

•

Die Koeffizienten a

sind messbare Funktionen

• P

i,j

a

(x )ξ

ξ

≥ λ | ξ |

∀x ∈ Ω, ξ ∈

(Elliptizität)

• P

i,j

| a

(x ) |

≤ Λ

(Beschränktheit)

Ist u ∈ W

(B) harmonisch (Lu = 0), dann folgt u ∈ C

(B).

2. Begriffserklärung

2.1. Die Harnacksche Ungleichung

Seien Ω, Ω

und Ω

offene Mengen mit Ω

, Ω

⊂⊂ Ω und Ω

⊂⊂ Ω

und u eine auf Ω

nicht negative Funktion mit Lu = 0.

Dann existiert eine Konstante c = c (Ω

, Ω

) > 0, so dass gilt:

sup

Ω⁰⁰

u ≤ c inf

Ω⁰⁰

u 2.2. Hölderstetigkeit

Eine auf D ⊂

definierte Funktion u: D →

heißt hölderstetig zum Exponenten α (0 < α ≤ 1) genau dann, wenn ein c ∈

existiert, so dass für x

, x

∈ D gilt:

| u (x

) − u(x

) |≤ c | x

− x

|

3. Vorbereitung für den Beweis

3.1. Definition: Oszillation

Für eine Funktion u : Ω →

und einen in Ω relativ kompakten Ball B

(x ) ⊂⊂ Ω sei die Oszillation von u auf B

(x ) definiert als

osc

u := sup

x1,x2∈Br(x)

| u(x

) − u(x

) |

osc

gibt also größtmöglichen Abstand zwischen zwei Funktionswerten von u innerhalb des Balls B

(x ) an.

→ osc

u = sup

Br(x)

u − inf

Br(x)

u

3.2. Lemma

Sei u : Ω →

eine Funktion mit folgender Eigenschaft:

∀x

∈ Ω ∃ r, c > 0, α ∈ (0, 1), so dass ∀x ∈ B

(x

) und ∀s ≤ r gilt:

osc

u ≤ cs

Dann ist u lokal hölderstetig zum Exponenten α.

Beweis:

Seien x

, x

∈ B

(x

) beliebig, dann gilt:

x

, x

∈ B

(

(x

+ x

)) mit s :=

| x

− x

|< r Abschätzung:

| u(x

) − u(x

) |≤ osc

s(¹₂(x1+x2))

u ≤ cs

= c (

| x

− x

|)

= (

)

c | x

− x

|

≤ c | x

− x

|

Insgesamt:

| u(x

) − u(x

) |≤ c | x

− x

|

→ Hölderstetigkeit

4. Beweis Theorems

Für die Harnacksche Ungleichung muss gelten:

a) Lu = 0

b) u ≥ 0 → nicht zwingend gegeben Umgehung:

Setze:

M(r) := sup

Br(x)

u m(r) := inf

Br(x)

u

→ Statt u verwendet man nun (M(r)-u) und (u-m(r)).

Es gilt:

1.

(M (r) − u) ≥ 0 (u − m(r)) ≥ 0

2.

L(M (r) − u) = −

i,j

∂

(a

(x )∂

(M (r) − u)) = 0 L(u − m(r)) = −

i,j

∂

(a

(x )∂

(u − m(r))) = 0

→ (M(r ) − u) und (u − m(r )) erfüllen obige Bedingungen.

Definiere nun drei offene Mengen Ω, Ω

; und Ω

mit Ω

, Ω

⊂⊂ Ω und Ω

⊂⊂ Ω

.

Wähle

Ω := B

(x

) Ω

:= B

(x ) Ω

:= B

2

(x ) wobei x ∈ B

(x

).

Es gilt B

2

(x ) ⊂⊂ B

(x ) ⊂⊂ B

(x

).

Somit kann die Harnacksche Ungleichung nun auf B

2

(x ) angewendet

werden.

Mit der Harnackschen Ungleichung gilt:

1.

M(r) − m(

) = sup

Br 2(x)

(M (r ) − u) ≤ c inf

Br

2(x)

(M(r) − u)

= c (M (r) − M(

))

2.

M(

) − m(r) = sup

Br 2(x)

(u − m(r)) ≤ c inf

Br

2(x)

(u − m(r))

= c (m(

) − m(r))

Addition beider Ungleichungen mit anschließender Umformung:

M(^r₂)

−

+

−

≤ cM

− cM

+ cm(

− c

+ c

−

− c

≤ c

−

− cm(r) +

−

≤

(M(r) −

sup

Br 2(x)

u

−

Br

2(x)u

≤

(

Br(x)

u

−

Br(x)u)

→

2(x)u

≤ θosc

mit θ =

< 1

allgemein: osc

2−k r(x)

u ≤ θ

osc

u Sei nun 0 < s < r und k ∈

, so dass gilt:

2

≤

≤ 2

Da θ < 1, existiert ein α > 0 mit θ = 2

Abschätzung:

osc

u = osc

r(x)

u ≤ osc

2−k r(x)

u ≤ θ

osc

u = (2

)

osc

u

= 2

(2

) osc

u = 2

(2

)

osc

u ≤ θ

(

)

osc

us

Insgesamt:

osc

u ≤ θ

(

)

osc

us

Setze nun θ

(

)

osc

u = c

→ osc

u ≤ cs

Bedingungen für obiges Lemma (3.2) sind damit erfüllt.

→ Hölderstetigkeit