Geometrische Flächen: Freiarbeit (9.Klasse)

(1)

Günther Koch

Freiarbeit:

Geometrische Flächen

Materialien für die 9. Klasse in zwei Differenzierungsstufen

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-Verlag

Übersicht

Geometrische Flächen und geometrisches Zeichnen Nummer Titel

C1 Memory

C2 C3 Dreiecke mit Zirkel und Geodreieck zeichnen I + II C4 C5 Dreiecke mit Zirkel und Geodreieck zeichnen III + IV C6 C7 Dreiecke – Anwendungsaufgabe

C8 C9 Zeichnen von Vierecken C10 C11 Zeichnen von Vielecken C12 C13 Rechnen mit Vielecken C14 C15 Rechtwinklige Dreiecke C16 C17 Pythagoras

C18 C19 Aufgaben zum Satz des Pythagoras C20 C21 Satz des Pythagoras – Anwendungsaufgabe

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(4)

-Verlag

Memory

Schneidet die Karten aus und legt sie verdeckt auf den Tisch.

Der jüngste Spieler beginnt, indem er zwei Karten umdreht. Wenn die beiden Karten zusammenpassen, darf er das Paar behalten und nochmals umdrehen, sonst ist der Nächste dran.

C1

A = a · b gleichseitiges

Dreieck A = a + c 2 · h

u = 2 · a + 2 · b A = g · h 2

Winkelsumme im Dreieck

gleichschenkliges

Dreieck A = g · h u = π · 2 · r

A = π · r

²

Winkelsumme im Viereck

stumpfwinkliges Dreieck c

es k

m Dre

summe A = g · h ieck

+ 2

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-Verlag

Memory

C1

Flächeninhalt Trapez

Flächeninhalt Rechteck

α + β + γ = 180°

Flächeninhalt Dreieck

Umfang Rechteck

Umfang Kreis

Flächeninhalt Parallelogramm

α + β + γ + δ

= 360°

Flächeninhalt Kreis Umfang

Kreis

Umfang Rechtec Flä g

chenin Rechteck

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(6)

-Verlag

C3

Bei diesem Dreieck sind zwei Seiten und der dazwischenliegende Winkel bekannt. Zeichne!

Die Planskizze hilft dir dabei.

Dreiecke mit Zirkel und Geodreieck zeichnen II

Bei diesem Dreieck sind alle Seiten bekannt. Zeichne!

Dreiecke mit Zirkel und Geodreieck zeichnen I

C2

^fü^{r alle}

für alle Angaben

a = 2 cm b = 4 cm c = 5 cm

Angaben a = 4 cm b = 6 cm

γ

= 60°

Zeichnung

Planskizze

Zeichne ein beliebiges Dreieck und markiere die bekannten

Bestandteile farbig.

Planskizze

b a

c

b

γ

a

Zeichne auch die folgenden beiden Dreiecke:

(1) a = 3,5 cm (2) a = 2,8 cm b = 4,6 cm b = 2,4 cm c = 5 cm c = 3,6 cm

(1) b = 4,4 cm (2) a = 6 cm c = 5,3 cm c = 5,3 cm α = 60° β = 45°

m 0°

D d Pla Zeich

reie

er dazwischen

d G

iegen

reieck zeichnen IIII

b = 2,4 c = 3,6 cm

cm cm

C3

Bei diesem D ie Plansk

Dreiecke

Dreie a = b

ne auch d ke:

3 5 c

ie folgend

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(7)

-Verlag

Bei diesem Dreieck sind zwei Winkel und die dazwischenliegende Seite bekannt. Zeichne!

Dreiecke mit Zirkel und Geodreieck zeichnen IV

C5

Dreiecke mit Zirkel und Geodreieck zeichnen III

C4

Angaben c = 3,6 cm α = 45°

β = 79°

Angaben a = 5 cm b = 4 cm α = 50°

Zeichnung

Planskizze

α

c β

b

α

a

(1) a = 6 cm (2) c = 5,5 cm α = 85° α = 66°

γ = 15° γ = 76°

(1) b = 3,8 cm (2) a = 5,2 cm c = 7 cm c = 4 cm γ = 105° α = 88°

für alle

Bei diesem Dreieck sind zwei Seiten und der anliegende Winkel, der der längeren Seite gegenüber- liegt, bekannt. Zeichne! Die Planskizze hilft dir dabei.

m 0°

D d Pla Zeich

reie

G

er anliegende dir dabei.

eieck zeich

Winke

IV nen IV

= 66°

γ = 76°

γ

cm

C5

Bei diesem D egt, bekan

Dreiecke

Dreie a = α

ne auch d ke:

6 cm

ie folgend

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(8)

-Verlag

C7

Dreiecke – Anwendungsaufgabe

C6

Dreiecke – Anwendungsaufgabe

Miss die Winkel und zeichne im geeigneten Maßstab.

Wie weit ist der Fesselballon in direkter Linie von den beiden Städten entfernt?

Wie weit ist das angepeilte Schiff von den beiden Leuchttürmen entfernt?

670 m

12 km gsa abe

ntfernt?

C7

^Dreiecke

eignete direkter Lini

n Maß von

stab.

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(9)

-Verlag

C9

Zeichnen von Vierecken

Beschreibe die einzelnen Schritte bei der Zeichnung des Parallelogramms.

Dann übertrage in dein Heft.

C8

a = 5 cm d = 3,5 cm α = 30°

1 2

3 Zeichne nun auch das folgende

Parallelogramm:

a = 4,5 cm α = 40°

d = 2,5 cm

Zeichne die folgenden Parallelogramme. Erstelle zunächst eine Planskizze.

a) a = 6 cm d = 4 cm α = 60°

b) a = 3,2 cm d = 4 cm α = 45°

c) a = 4 cm b = 3 cm β = 60°

Zeichne die folgenden Trapeze. Erstelle zunächst eine Planskizze.

a) a = 7 cm h = 4 cm α = 70° β = 55°

b) a = 4,5 cm h = 2,8 cm α = 55° β = 70°

a = 3,2

= 4 cm m

m

en Para d =

n

mm

= 40

C9

^Zeichne

Zeichn ralle a = 4

e nun auch ogram

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(10)

-Verlag

Zeichne die folgenden regelmäßigen Vielecke.

C11

Zeichnen von Vielecken

C10

Um ein Vieleck zu zeichnen, benötigt man ein Bestimmungsdreieck.

Welches Dreieck kann kein Bestimmungsdreieck eines regelmäßigen Vielecks sein? Begründe!

1

4

2

5

3

c) Fünfeck mit r = 3 cm d) Fünfeck mit s = 3,5 cm a) Achteck mit r = 4 cm b) Achteck mit s = 3 cm

e) Sechseck mit r = 5 cm f) Sechseck mit s = 5 cm

36°

45°

55°

60°

30°

ck mit r = 4 cm

en Vielecke.

n Zeichne d

C11

^Zeichne

3

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(11)

-Verlag

Löse die Sachaufgabe.

C13

Rechnen mit Vielecken

Berechne Flächeninhalt und Umfang dieser regelmäßigen Vielecke.

C12

Rechnen mit Vielecken

Fünfeck Sechseck Achteck

1 2 3 4 5 6

Grundseite des Bestimmungs- dreiecks

8 cm 34 cm 9 m 3,5 m 4,5 cm 9,8 m

Höhe des Bestimmungs- dreiecks

5,5 cm 23,4 cm 78 dm 3 m 5,4 cm 11,8 m

Umfang

Flächeninhalt

Aus einem Stück Blech sollen sechs fünf- eckige Werkstücke ausgestanzt werden.

Diese haben eine Seitenlänge von 7,2 cm. Die Höhe des Bestimmungsdreiecks ist 5 cm.

Wie viel Abfall fällt an?

40 cm

25 cm

s einem len sechs

e Werkst sta

Stück Blech fünf-

Löse die Sac

C13

^Rechnen

4,5 c

5,4 cm

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(12)

-Verlag

Wie viele Dreiecke kannst du entdecken? Wie viele davon sind rechtwinklige Dreiecke?

Markiere jeweils die Katheten grün und die Hypotenuse blau.

C15

Rechtwinklige Dreiecke

C14

Zeichne die rechten Winkel ein. Markiere jeweils die Katheten grün und die Hypotenuse blau.

Wie viele davo Hypotenuse bla

ke

sind Wie viele Dre

arkiere je

C15

^Rechtwi

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(13)

-Verlag

Berechne die fehlenden Werte! a und b bezeichnen die Katheten, c steht für die Hypotenuse.

Runde sinnvoll.

Pythagoras

C17

Runde sinnvoll.

C16

Pythagoras

a 15,2 m 4,6 m 6,4 cm 5,9 cm

b 8,2 m 34 mm 11 cm 6,5 m

c 8,8 m 52 mm 10,4 cm 14,4 m

a 17,4 cm 346 dm 23,2 dm 345 m

b 218 mm 870 m 321 cm 67 mm

c 42,3 m 1,098 km 682 m 16,2 cm

a 17,4 cm

zeichnen die Kathete

4 m

Berechne die unde sinn

C17

^Pythago

52 m 1

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(14)

-Verlag

Löse die Textaufgaben. Erstelle immer auch eine Skizze.

C19

Aufgaben zum Satz des Pythagoras

Löse die Aufgaben.

C18

Aufgaben zum Satz des Pythagoras

Ein Dachdecker verwendet eine Leiter mit einer Länge von 7,20 m, um auf das Dach eines Hauses zu kommen. Wie weit ist der Fuß der Leiter am Boden vom Haus entfernt, wenn das Gebäude 6,70 m hoch ist?

Das Zelt soll nicht zusammenfallen!

Wie lang müssen die Seile sein, die von der Zelt- spitze ausgehen, wenn die Heringe 30 cm neben dem Zelt in den Boden gesteckt werden sollen?

Ein Dachdecker verwendet eine Leiter mit einer Länge von 8,10 m, um auf das Dach eines Hauses zu kommen. Wie weit ist der Fuß der Leiter am Boden vom Haus

entfernt, wenn das Gebäude 7,40 m hoch ist und die Leiter noch 20 cm über das Dach hinausreicht?

Überprüfe, ob die folgenden Dreiecke rechtwinklig sind. Wenn nicht, streiche die ganze Zeile durch, denn dann gibt es in dem Dreieck auch keine Katheten und Hypotenuse.

a) Kathete a = 1,2 cm Kathete b = 2,4 cm Hypotenuse c = 2,2 cm b) Kathete a = 3,8 m Kathete b = 3,25 m Hypotenuse c = 5 m c) Kathete a = 3,5 cm Kathete b = 1,9 cm Hypotenuse c = 4 cm d) Kathete a = 2,9 dm Kathete b = 4,8 dm Hypotenuse c = 5,2 dm e) Kathete a = 30,5 mm Kathete b = 21 mm Hypotenuse c = 37 mm f) Kathete a = 5,6 dm Kathete b = 3,5 dm Hypotenuse c = 5,5 dm

1,2 m

1,4 m1,4

h eine Skizze.

es P agoras

= 5 37 mm

,5 dm

Löse die Text

C19

^Aufgabe

Ka

e b = athete b = 3,5

= 4,8 d 1 mm

dm

Hy m Hyp

Hy

potenuse potenuse c

otenus

nd H c = 2,2 cm c = 5 m

4

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(15)

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Dieser Baum wurde vom Blitz gefällt. Berechne, wie hoch er ursprünglich war!

C21

Satz des Pythagoras – Anwendungsaufgabe

Ein Bauer zäunt sein unten skizziertes Grundstück ein. Wie lang muss der Zaun sein?

C20

Satz des Pythagoras – Anwendungsaufgabe

56 m 146 m

88 m

2,40 m

9,20 m

hne, wie hoch

– An

er urs

dungsaufgabe

Dieser Baum

C21

^{Satz des}

88 m

5

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(16)

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Lösungen

C3

Bei diesem Dreieck sind zwei Seiten und der dazwischenliegende Winkel bekannt. Zeichne!

Dreiecke mit Zirkel und Geodreieck zeichnen II

Bei diesem Dreieck sind alle Seiten bekannt. Zeichne!

Dreiecke mit Zirkel und Geodreieck zeichnen I

C2

^fü^{r alle}

für alle Angaben

a = 2 cm b = 4 cm c = 5 cm

Angaben a = 4 cm b = 6 cm γ = 60°

Zeichnung

Planskizze

Zeichne ein beliebiges Dreieck und markiere die bekannten Bestandteile farbig.

Planskizze

b a

c

b γ a

(1) a = 3,5 cm (2) a = 2,8 cm b = 4,6 cm b = 2,4 cm c = 5 cm c = 3,6 cm

(1) b = 4,4 cm (2) a = 6 cm c = 5,3 cm c = 5,3 cm α = 60° β = 45°

c

b a

c

b a

c

b a

Dreieck

Dreieck 2

Dreieck 1

Dreieck 1 60°

b a

60°

b

c

45°

c a c

b a

Dreieck 2 c

b a

Dreieck

c

b a

Dreieck 1

Dreieck 60°

b a

Dreieck 1

60°

b

c

Dreieck 2

45°

c a b

6

der dazwische

nd

liegen

reieck zeich en IIII

C3

Bei dies Die P

Drei

a

c

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(17)

-Verlag

Bei diesem Dreieck sind zwei Winkel und die dazwischenliegende Seite bekannt. Zeichne!

Dreiecke mit Zirkel und Geodreieck zeichnen IV

C5

Dreiecke mit Zirkel und Geodreieck zeichnen III

C4

Angaben c = 3,6 cm α = 45°

β = 79°

Angaben a = 5 cm b = 4 cm α = 50°

Zeichnung

Planskizze

α

c β

b α a

(1) a = 6 cm (2) c = 5,5 cm α = 85° α = 66°

γ = 15° γ = 76°

(1) b = 3,8 cm (2) a = 5,2 cm c = 7 cm c = 4 cm γ = 105° α = 88°

für alle

Bei diesem Dreieck sind zwei Seiten und der anliegende Winkel, der der längeren Seite gegenüber- liegt, bekannt. Zeichne! Die Planskizze hilft dir dabei.

Dreieck

Dreieck 2

Dreieck 1

α β

c

α

γ

b

Dreieck

Dreieck 2

Dreieck 1

α

b a

γ b

c

α

a

c α

γ

c

Dreieck

α

b a

Dreieck 1

γ b

c

Dreieck 2 α

a

c Dreieck

α β

c

Dreieck 1

α

γ

b

Dreieck 2

α γ

c Lösungen

α

b a

Ge

r anliegende W dir dabei.

ieck zeichne

nkel, d

V

C5

IV

Bei diesem liegt, bek

Dreiec

c

α

γ

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(18)

16

Beschreibe die einzelnen Schritte bei der Zeichnung des Parallelogramms.

Dann übertrage in dein Heft.

C8 Zeichnen von Vierecken

a = 5 cm d = 3,5 cm α = 30°

1 2

3 Zeichne nun auch das folgende

Parallelogramm:

a = 4,5 cm α = 40°

d = 2,5 cm Schritte beim Zeichnen:

1. Zeichne die Seite a mit 5 cm und trage an ihr einen 30°-Winkel an.

2. Miss auf dem Schenkel d 3,5 cm ab und markiere so den Endpunkt D.

3. Zeichne durch den Endpunkt D die Parallele zu A und stelle das Parallelogramm fertig.

Übungsparallelogramm:

a d α

C7 Dreiecke – Anwendungsaufgabe

C6 Dreiecke – Anwendungsaufgabe

Wie weit ist der Fesselballon in direkter Linie von den beiden Städten entfernt?

Wie weit ist das angepeilte Schiff von den beiden Leuchttürmen entfernt?

670 m

12 km

Der Ballon ist 1 060 m von Stadt A entfernt, aber nur 480 m von der Stadt B.

20°

45°

10,9 km 8,9 km

74°

61°

27°

133°

Das Schiff ist 10,9 km von Leuchtturm A entfernt, aber nur 8,9 km von Leuchtturm B.

1 060 m

480 m

a d

α

C10 Zeichnen von Vielecken

Um ein Vieleck zu zeichnen, benötigt man ein Bestimmungsdreieck.

Welches Dreieck kann kein Bestimmungsdreieck eines regelmäßigen Vielecks sein? Begründe!

1

4

2

5

3

36°

45°

55°

60°

30°

Das Dreieck Nr. 3 kann kein Bestimmungsdreieck eines regelmäßigen Vielecks sein. Der Mittelpunktswinkel eines jeden Bestimmungsdreiecks muss so groß sein, dass er mit einer ganzen Zahl multipliziert 360° ergibt.

Lösungen

27°

4 133°

m

er Stadt B.

Das D se sein, dass 2

Z Übun

Zeichnen v nen, benötigt man ein Bestimmungsd

kein Bestimmun el eines jed

en Za l multiplizi

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Lösungen

Zeichne die folgenden Parallelogramme und Trapeze.

C9

d

α

Parallelogramm a)

Parallelogramm b)

α d

a

Parallelogramm c)

β a

b

Trapez a)

α β

h

Trapez b)

h

a

α β

a a

h

b

α a

Trapez

Para

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(20)

-Verlag

Lösungen

Zeichne die folgenden regelmäßigen Vielecke.

Hinweis: Die beiden Zeichnungen des jeweiligen Vielecks sind identisch.

Einmal wird das Vieleck mit r konstruiert, beim 2. Mal mit der Seitenlänge s.

C11

45°

s = 3 cm

a), b) c), d)

r = 4 cm r

s = 3,5 cm 72°

r = 3 cm r

s = 5 cm e), f)

r = 5 cm r

60°

72°

r r = 3

e), f)

s = 3

= 4 cm

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(21)

19

Lösungen

Wie viele Dreiecke kannst du entdecken? Wie viele davon sind rechtwinklige Dreiecke?

Markiere jeweils die Katheten grün und die Hypotenuse blau.

C15 Rechtwinklige Dreiecke

C14

Zeichne die rechten Winkel ein. Markiere jeweils die Katheten grün und die Hypotenuse blau.

K

K = Kathete; H = Hypotenuse

Insgesamt sind 11 Dreiecke zu sehen, davon 6 rechtwinklige.

K

K H K

K

K K

H K H H

H

Löse die Sachaufgabe.

C13 Rechnen mit Vielecken

Berechne Flächeninhalt und Umfang dieser regelmäßigen Vielecke.

C12 Rechnen mit Vielecken

Fünfeck Sechseck Achteck

1 2 3 4 5 6

Grundseite des Bestimmungs- dreiecks

8 cm 34 cm 9 m 3,5 m 4,5 cm 9,8 m

Höhe des Bestimmungs- dreiecks

5,5 cm 23,4 cm 78 dm 3 m 5,4 cm 11,8 m

Umfang

Flächeninhalt

Aus einem Stück Blech sollen sechs fünf- eckige Werkstücke ausgestanzt werden.

Diese haben eine Seitenlänge von 7,2 cm. Die Höhe des Bestimmungsdreiecks ist 5 cm.

Wie viel Abfall fällt an?

40 cm

25 cm

40 cm 170 cm 54 m 21 m 36 cm 78,4 m

110 cm² 1 989 cm² 210,6 m² 31,5 m² 97,2 cm² 462,56 m²

Flächeninhalt Fünfeck: 5 · 7,2 cm · 5 cm

2 = 90 cm²

Flächeninhalt sechs Fünfecke: 6 ⋅ 90 cm² = 540 cm²

Flächeninhalt Rechteck: 40 cm · 25 cm = 1 000 cm²

Abfall: 1 000 cm² – 540 cm² = 460 cm²

Der Abfall beträgt 460 cm².

ke.

S seck 4

3,5 m 3,5 m

3 m 5,4 cm

97,2 cm² 462,56 m²

In samt sind Rechtw

annst du entdecke Katheten grün und d

Hypotenuse

H

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(22)

20

Lösungen

Löse die Textaufgaben. Erstelle immer auch eine Skizze.

C19 Aufgaben zum Satz des Pythagoras Löse die Aufgaben.

C18 Aufgaben zum Satz des Pythagoras

Ein Dachdecker verwendet eine Leiter mit einer Länge von 7,20 m, um auf das Dach eines Hauses zu kommen. Wie weit ist der Fuß der Leiter am Boden vom Haus entfernt, wenn das Gebäude 6,70 m hoch ist?

Das Zelt soll nicht zusammenfallen!

Wie lang müssen die Seile sein, die von der Zelt- spitze ausgehen, wenn die Heringe 30 cm neben dem Zelt in den Boden gesteckt werden sollen?

Ein Dachdecker verwendet eine Leiter mit einer Länge von 8,10 m, um auf das Dach eines Hauses zu kommen. Wie weit ist der Fuß der Leiter am Boden vom Haus entfernt, wenn das Gebäude 7,40 m hoch ist und die Leiter noch 20 cm über das Dach hinausreicht?

Überprüfe, ob die folgenden Dreiecke rechtwinklig sind. Wenn nicht, streiche die ganze Zeile durch, denn dann gibt es in dem Dreieck auch keine Katheten und Hypotenuse.

a) Kathete a = 1,2 cm Kathete b = 2,4 cm Hypotenuse c = 2,2 cm b) Kathete a = 3,8 m Kathete b = 3,25 m Hypotenuse c = 5 m c) Kathete a = 3,5 cm Kathete b = 1,9 cm Hypotenuse c = 4 cm d) Kathete a = 2,9 dm Kathete b = 4,8 dm Hypotenuse c = 5,2 dm e) Kathete a = 30,5 mm Kathete b = 21 mm Hypotenuse c = 37 mm f) Kathete a = 5,6 dm Kathete b = 3,5 dm Hypotenuse c = 5,5 dm

1,2 m

1,4 m

Der Fuß der Leiter ist 2,64 m vom Haus entfernt.

Die Seile müssen 1,66 m lang sein.

Der Fuß der Leiter ist 2,77 m von der Hauswand entfernt.

Runde sinnvoll.

Pythagoras

C17

Runde sinnvoll.

C16 Pythagoras

a 15,2 m 4,6 m 6,4 cm 5,9 cm

b 8,2 m 34 mm 11 cm 6,5 m

c 8,8 m 52 mm 10,4 cm 14,4 m

a 17,4 cm 346 dm 23,2 dm 345 m

b 218 mm 870 m 321 cm 67 mm

c 42,3 m 1,098 km 682 m 16,2 cm

a 15,2 m 4,6 m 39,3 mm 6,4 cm 5,9 cm 12,8 m

b 8,2 m 7,5 m 34 mm 11 cm 8,6 cm 6,5 m

c 17,3 m 8,8 m 52 mm ^{12,7 cm} ^{10,4 cm} ^{14,4 m}

a 17,4 cm 346 dm 670 m 23,2 dm 345 m 147 mm

b 218 mm 24,3 m 870 m 321 cm 588 m 67 mm

c 27,9 cm 42,3 m 1,098 km 396 cm 682 m 16,2 cm , c steh

6,4 cm

1 cm 8,6 cm

E Dachdecker v eines Hauses zu entfernt, wenn da

eicht?

Z a) K b) Ka c) Kathe d) KatheteKathe

Kathete a = f) Kathete a = 5,Kathete a = 5

Aufgabe n. Erstelle immer

Da Wie spitz dem

4m

eiter mit einer L ist der

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21

Lösungen

Dieser Baum wurde vom Blitz gefällt. Berechne, wie hoch er ursprünglich war!

C21 Satz des Pythagoras – Anwendungsaufgabe Ein Bauer zäunt sein unten skizziertes Grundstück ein. Wie lang muss der Zaun sein?

C20 Satz des Pythagoras – Anwendungsaufgabe

56 m 146 m

88 m

2,40 m

9,20 m Der Zaun ist 371 m lang.

Der Baum war ursprünglich 11,91 m hoch.

Bildnachweis:

Crea ve Commons – Lizenzvereinbarung:CC BY-SA 3.0 – Crea ve Commons A ribu on-ShareAlike 3.0; siehe: h p://crea vecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de

2,40 m

Satz des P

Blitz gefällt. Bere prünglich 11,91

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(24)

Freiarbeit: Geometrische Flächen

Dr. Günther Koch unterrichtete nach Abschluss des Hauptschul- lehramts in der bayerischen Landeshauptstadt München. Darüber hinaus engagiert er sich im Rahmen eines Lehrauftrags an der Ludwig-Maximilians-Universität München in der Lehrerbildung.

Aktuell unterrichtet er am Staatsinstitut für die Ausbildung von Fachlehrern.

Postfach 900362 · 21043 Hamburg

Fon (040) 32 50 83-060 · Fax (040) 32 50 83-050 info@aol-verlag.de · www.aol-verlag.de

Redaktion: Daniel Marquardt

Layout/Satz: dtp-design.eu, Ebsdorfergrund Illustrationen: MouseDesign Medien AG, Zeven Bestellnr.: 10145DA3

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