Dafür definieren wir die Aussagen: a: „K ist kompakt“, b: „K ist abgeschlossen“ und c: „K ist beschränkt“. Dann ist die zusammengesetzte Aussage gegeben durch a , (b ^ c).

1. I.) Formalisieren Sie die folgenden Aussagen a) bis c) wie im folgenden Beispiel:

Sei K ein Teilmenge der reellen Zahlen.

Aussage: K ist genau dann kompakt, wenn K abgeschlossen und beschränkt ist.

Dafür definieren wir die Aussagen: a: „K ist kompakt“, b: „K ist abgeschlossen“ und c: „K ist beschränkt“. Dann ist die zusammengesetzte Aussage gegeben durch a , (b ^ c).

Formalisieren Sie:

a) Es seien K eine Menge und f eine Funktion.

Aussage: Wenn K kompakt und f stetig ist, dann besitzt f ein Maximum in K.

b) Es seien a; b reelle Zahlen.

Aussage: Wenn a echt kleiner als Null ist, oder b ² echt größer als 4a ist, so besitzt die Gleichung ax ² + bx + 1 = 0 mit der Unbekannten x eine reelle Lösung.

c) Es seien G; H Mengen und z eine komplexe Zahl.

Aussage: Ist G konform äquivalent zu H und ist z ein Punkt in G, dann Ist G einfach zusam- menhängend und z ist ein Randpunkt von G.

II.) Es seien a; b; c Aussagen. Formulieren Sie sinnvolle Sätze mit folgender logischer Struktur:

a) a ) b b) a ) (b ^ c)

c) (a _ b) ) c

Zum Beispiel ist eine Formulierung der Aussage a ) (b _ c) gegeben durch:

Das Quadrat einer reellen Zahl ist niemals negativ. Daher ist das Quadrat einer reellen Zahl 0 oder das Quadrat einer reellen Zahl ist positiv.

2. In einem Juweliergeschäft wurde eingebrochen. Als Täter kommen Frau Anna, Herr Boris und Herr Cyrill in Frage. Der mit den Ermittlungen betraute Kommissar hat in seinem Bericht die folgenden Tatsachen notiert:

a) Wenn sich Herr Boris oder Herr Cyrill als Täter herausstellt, dann ist Frau Anna unschuldig.

b) Ist aber Frau Anna oder Herr Cyrill unschuldig, dann muss Herr Boris ein Täter sein.

c) Ist Herr Cyrill schuldig, dann ist Frau Anna eine Mittäterin.

Helfen Sie dem Kommissar indem Sie zeigen wer der Täter ist bzw. wer die Täter sind.

(Verwenden Sie Abkürzungen für Aussagen, zum Beispiel: a für „Frau Anna ist die Täterin“.) 3. Es seien p; q; r; s Aussagen. Bilden Sie die Negationen der folgenden Verknüpfungen:

a) p ) (q ^ r)

5. Es seien p; q; r Aussagen. Zeigen Sie mit Hilfe von äquivalenten Umformungen, dass die folgenden Aussageverknüpfungen Tautologien sind:

a) p ^ (p _ q) , p,

b) ((p ^ q) ) r) , (:p _ (q ) r)).

Überprüfen Sie, ob (p ) q) ^ :q , (:p ^ q) eine Tautologie ist.

6. Der Prüfungsmodus bei der Lehrveranstaltung Grundbegriffe der Archäologie wird wie folgt angege- ben: Ein Studierender / eine Studierende bekommt ein positives Zeugnis, wenn die Abschlussklausur mit mehr als 50% der Punkte abgeschlossen wird, wenn mindestens 60% der Hausübungen abgegeben wurde und wenn alle, im Laufe des Semesters erbrachten Leistungen in Summe mit mehr als 50%

der maximal erreichbaren Punkteanzahl bewertet wurden.

Formalisieren sie diesen Prüfungsmodus als mathematische Implikation unter Verwendung der Aus- sagen

a : Für den Studierenden X wird ein positives Zeugnis ausgestellt.

b : Studierender X hat in Summe im ganzen Semester mehr als 50% der maximal erreichbaren Punkte bekommen.

c : Studierender X hat in der Abschlussklausur weniger als 50% der bei der Klausur maximal er- reichbaren Punkte geschafft.

d : Studierender X hat zumindest 60% der Hausübungsbeispiele abgegeben.

7. Übersetzen Sie die folgenden Aussagen in die Umgangssprache und bestimmen Sie den Wahrheits- gehalt.

a) 8x 2 R : ((x > 2) ^ (x < 1) , (x 6= x)) b) 8x 2 R : ((x > 1) _ (x < 2) , (x = x))

c) 8a 2 R8b 2 R : (9x 2 R : ((x > a) ^ (x < b)) , (a < b)) d) 9a 2 R : 8b 2 R9x 2 R : x ² + ax + b = 0

8. Übersetzen Sie die folgenden Aussagen in die Umgangssprache und bilden Sie formal und umgangs- sprachlich die Negation.

a) 8x 2 R9y 2 R : xy = 1

b) 9p 2 N : 8q 2 N8r 2 N : p = qr ) (q = p _ q = 1)

2

9. Es sei M eine Menge mit 6 Elementen, N eine Menge mit 11 Elementen und P eine mit 8 Elementen.

Welche Anzahl an Elementen ist möglich für M [ N , M \ P , (M [ P ) \ N ? Begründen Sie Ihre Behauptungen.

10. Es sei X eine Menge und es seien A; B; C Teilmengen von X. Zeigen Sie:

a) (A [ B) ^c = A ^c \ B ^c , b) (A \ B) ^c = A ^c [ B ^c ,

c) A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C), d) A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C).

11. Es seien A und B Mengen mit jeweils mehr als zwei Elementen. Mit ^A ₂ bezeichnen wir die Menge aller 2-elementigen Teilmengen der Menge A. Untersuchen Sie welche der folgenden Aussagen wahr sind:

a) ^A[B ₂ ^A ₂ [ ^B ₂ , ^A[B ₂ ^A ₂ [ ^B ₂ , ^A[B ₂ = ^A ₂ [ ^B ₂ , b) ^A\B ₂ ^A ₂ \ ^B ₂ , ^A\B ₂ ^A ₂ \ ^B ₂ , ^A\B ₂ = ^A ₂ \ ^B ₂ .

12. Es sei X eine Menge und es seien A; B Teilmengen von X und a 2 X.

a) Geben Sie alle Elemente der Mengen P(P(;)) und P(P(fag)) an.

b) Gilt P(A) [ P(B) = P(A [ B)? Geben Sie eine Begründung oder ein Gegenbeispiel an.

c) Gilt für A B auch P(A) P(B)? Geben Sie eine Begründung oder ein Gegenbeispiel an.

13. In der Menge der ganzen Zahlen Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g definieren wir njm :, 9k 2 Z : m = kn:

Ferner sei N die Menge der natürlichen Zahlen und es seien die Mengen A = fn 2 N: 2jng und B = fn 2 Z: 3jng gegeben.

a) Zeigen Sie A [ B fm 2 Z [ N: 2jm _ 3jmg.

b) Geben Sie eine Aussageform P (n) an, so dass A [ B = fn 2 Z: P (n)g gilt.

14. Sei X eine Menge und A; B X . Die symmetrische Differenz von A und B ist definiert durch A4B := (A n B) [ (B n A). Zeigen Sie:

a) A4B = (A [ B) \ (A \ B) ^c (mit (A \ B) ^c = X n (A \ B)), b) A \ (B4C) = (A \ B)4(A \ C),

c) A4A = ;, d) ;4A = A.

15. a) Es seien a; b; c; r 2 Z. Ist r der Rest der Division von a durch b und gilt c teilt a und c teilt b, dann teilt c auch r.

b) Es seien a; b ₁ ; b ₂ ; n ₁ ; n ₂ 2 Z. Ist a ein Teiler von n ₁ und von n ₂ , dann ist a ein Teiler von b ₁ n ₁ + b ₂ n ₂ .

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16. a) Zeigen Sie: Ist n 2 N gerade, dann ist vier ein Teiler von 2n.

b) Zwei Primzahlen p 1 ; p 2 heißen Primzahlzwillinge wenn p 2 p 1 = 2. Zeigen Sie, dass die Summe zweier Primzahlzwillinge p ₁ ; p ₂ 3 immer durch vier teilbar ist (Hinweis: Schreiben Sie p ₂ = p ₁ + 2).

17. a) Es seien A; B; C Mengen. Zeigen Sie:

A (B [ C) = (A B) [ (A C):

b) Untersuchen Sie ob für alle beliebigen Mengen A; B; C; D die Mengengleichheit (A B) [ (C D) = (A [ C) (B [ D)

erfüllt ist.

18. Geben Sie für die reellen Zahlen a und b einen direkten Beweis und einen Beweis durch Widerspruch der folgenden Aussage:

Gilt a < b und 0 < ab dann ist 1 b < 1

a :

19. Der Betrag einer reellen Zahl x ist definiert durch jxj = x falls x 0 und jxj = x falls x < 0.

Es seien a; b 2 R n f0g. Zeigen Sie:

a b + b

a 2:

20. Zeigen Sie:

a) Für a; b 2 R mit a; b > 0 gilt p

ab ^a+b ₂ .

b) Folgern Sie daraus, dass jedes x 2 R mit x > 0 die Ungleichung x + _x ¹ 2 erfüllt.

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21. Es sei f : N ! N definiert durch f(n) = k 2 N [ f0g für 2(k 1) < n < 2(k + 1). Untersuchen Sie, ob f eine Funktion ist. Geben Sie gegebenfalls eine Menge A N an, so dass fj A eine Funktion ist.

22. Es sei A eine nichtleere Menge.

a) Es sei f : A ! A. Zeigen Sie: Wenn für alle Abbildungen g : A ! A gilt f g = g f , dann ist f = id _A .

b) Es sei h: A ! A eine konstante Abbildung. Untersuchen und beweisen Sie für welche Abbil- dungen p: A ! A die Eigenschaft h p = p h erfüllt ist.

23. Es sei X eine nichtleere Mengen und x ₀ 2 X. Untersuchen Sie die Funktion ': P(X) ! P(X), A 7! A4 fx 0 g hinsichtlich der Eigenschaften Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.

24. Es seien X ud Y nichtleere Mengen, f : X ! Y eine Funktion und A X , B Y . Zeigen Sie:

a) f(f ¹ (B)) B,

b) f(X) n f(A) f(X n A), c) f ¹ (Y n B) = X n f ¹ (B).

25. Es seien A; B; C nichtleere Mengen sowie f : A ! B und g : B ! C Funktionen. Zeigen Sie:

a) Ist g f injektiv, dann ist f injektiv.

b) Ist g f injektiv und f surjektiv, dann ist g injektiv.

c) Sind f und g surjektiv, dann ist g f surjektiv.

d) Ist g f surjektiv, dann ist g surjektiv.

e) Ist g f surjektiv und g injektiv, dann ist f surjektiv.

26. Seien X und Y nichtleere Mengen und f : X ! Y eine Funktion. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

a) f ist surjektiv,

b) f hat eine Rechtsinverse,

c) für alle h ₁ ; h ₂ : Y ! Y gilt: h ₁ f = h ₂ f ) h ₁ = h ₂ .

Die Behauptung, dass f eine Rechtsinverse besitzt falls f surjektiv ist, können Sie der Vorlesung

entnehmen.

27. Auf der Menge N sei j definiert durch

xjy , x ist ein Teiler von y:

Zeigen Sie, dass j auf N eine Ordnungsrelation mit kleinstem Element 1 ist. Betrachten Sie dann die Menge M := fn 2 N : 2 n 31g. Bestimmen Sie das Minimum, das Maximum bzw. minimale oder maximale Elemente von M bzgl j.

28. Ermitteln Sie, falls vorhanden, Supremum, Infimum, Maximum und Minimum der Teilmenge A =

1 2 ^m + 1

n : n; m 2 N

R:

29. Es sei M = (R R) n f(0; 0)g. Für (a; b); (c; d) 2 M definieren wir:

(a; b) (c; d) , es exisitiert ein 2 R n f0g so dass c = a und d = b:

Zeigen Sie ist eine Äquivalenzrelation auf M M . Ist antisymmetrisch?

30. Es sei M := f1; 2; 3; 4; 5; 6g und es sei R ₁ := f1; 2g, R ₂ := f3; 4; 6g und R ₃ := f5g. Bestimmen Sie eine Äquivalenzrelation auf M, so dass M= = fR 1 ; R 2 ; R 3 g.

31. Es sei R eine Relation auf X und S eine Relation auf Y . Wir definieren eine Relation R S auf der Menge X Y durch

(x; y)(R S)(u; v) :, (xRu) ^ (ySv)

f¨r (x; y); (u; v) 2 X Y . Zeigen Sie, dass R S eine Äquivalenzrelation auf X Y ist, falls R bzw.

S Äquivalenzrelationen auf X bzw. Y sind.

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32. Es seien a; b 2 R. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n 2 N gilt:

X n k=1

(a + kb) = n

a + n + 1 2 b

:

33. Es seien x 1 ; : : : ; x n 2 R, n 2, wobei alle x i (1 i n) strikt positiv sind. Dann gilt:

(1 + x 1 )(1 + x 2 ) : : : (1 + x n ) > 1 + x 1 + x 2 + : : : + x n : 34. Zeigen Sie, dass für alle n 2 N die Ungleichung

1 n + 1 1

2 3 4 5

6 2n 1

2n p 1

3n + 1 gilt.

35. Wir nennen eine Funktion formal differenzierbar, falls wir die Ableitung dieser bilden können. Für zwei formal differenzierbare Funktionen g und h gilt bekanntlich dass gh eine formal differenzierbare Funktion ist und (gh) ⁰ = g ⁰ h + gh ⁰ . Zeigen Sie, dass für jedes n 2 N gilt

a) f 1 f 2 f n ist formal differenzierbar,

b) (f ₁ f ₂ f _n ) ⁰ = f ₁ ⁰ f ₂ f _n + f ₁ f ₂ ⁰ f ₃ f _n + : : : + f ₁ f ₂ f _n ⁰ für formal differenzierbare Funktionen f ₁ ; : : : ; f _n .

36. Es sei n 2 N. Beweisen Sie:

a) ^{P n} _k=1 k ² = n(n+1)(2n+1)

6 ,

b) ^{P n} _k=1 k ³ = ⁿ

⁽ⁿ⁺¹⁾ ₄

= ( ^{P n} _k=1 k) ² , c) ^{P 2n} _k=1 ( 1) ^{k+1 1} _k = ^{P n} _{k=1 n+k} ¹ .

Berechnen Sie die Summen ^{P n} _k=1 (2k 1) und ^{P n} _k=1 (2k 1) ² . 37. Zeigen Sie:

a) Für alle n 2 N gilt q ⁿ > n falls q 2, b) für alle n 2 N gilt q ⁿ > n ² falls q 3,

c) für alle n 4 gilt n! > 2 ⁿ .

n 2 N

41. Es seien A; B endliche nichtleere Mengen mit A \ B = ;. Zeigen Sie, dass A [ B ebenfalls endlich ist.

42. Es seien A; A ⁰ ; B; B ⁰ Mengen mit A \ B = A ⁰ \ B ⁰ = ;, es seien f : A ! B und g : A ⁰ ! B ⁰ bijektive Abbildungen. Zeigen Sie, dass die Abbildung h : A [ B ! A ⁰ [ B ⁰ , definiert durch

h(x) :=

8 <

:

f(x) wenn x 2 A;

g(x) wenn x 2 B wohldefiniert und bijektiv ist.

43. Beweisen Sie durch Nachweis der Bijektivität einer geeigneten Funktion, dass die Menge C = fq ² : q 2 Zg abzählbar unendlich ist.

44. Es sei A eine abzählbar unendliche Menge und E eine endliche Menge. Zeigen Sie, durch Konstruktion einer bijektiven Abbildung, dass A [ E abzählbar unendlich ist.

45. Es ei n 2 N. Zeigen Sie, dass keine injektive Funktion f : f1; : : : ; n + 1g ! f1; : : : ; ng existiert.

Folgern Sie daraus, dass die Menge N unendlich ist.

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