1. Teil: Lösungsvorschläge zur 3. Stunde nach den Winterferien Begriffe aus dem Themenbereich „Zufall“ Begriff Erklärung Beispiel

(1)

Wappen (W) Zahl (Z)

WW WZ ZW ZZ

1. Teil: Lösungsvorschläge zur 3. Stunde nach den Winterferien Begriffe aus dem Themenbereich „Zufall“

Begriff Erklärung Beispiel

Zufall, Zufallsexperiment

Ein Ereignis heißt zufällig, wenn es nicht mit Sicherheit vorausgesagt werden kann.

Der Münzwurf mit zwei Münzen ist ein Zufallsversuch.

Ergebnis

Bei einem Zufallsversuch werden die möglichen Ausgänge als Ergebnisse

bezeichnet.

Es gibt vier mögliche Ergebnisse:

Jedes Ergebnis ist gleich wahrscheinlich:

1

4 =25%

mögliche Ergebnisse

Alle n Ergebnisse, die bei einem Zufallsversuch auftreten können, heißen

mögliche Ergebnisse.

günstige Ergebnisse Alle m Ergebnisse, die zum betrachteten Ergebnis führen, heißen günstige Ergebnisse.

Ereignis Mehrere Ergebnisse kann man zu einem Ereignis zusammenfassen.

Für das Ereignis „genau ein Wappen werfen“ gibt es zwei günstige Ereignisse: (WZ) und (ZW).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ²

4 =50%.

Aufg. 1:Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse schriftlich im Heft:

a) genau zweimal Wappen werfen b) mindestens einmal Wappen werfen c) kein Wappen werfen

Bemerkung: „Kein Wappen“ ist das sogenannte Gegenereignis zu „mindestens einmal Zahl“

Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis ergeben zusammen immer die Zahl 1.

d) höchstens ein Wappen werfen – B-Kurs

Bemerkung: „höchstens ein Wappen“ bedeutet in der Mathematik: einmal oder kein einziges Mal

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

WZ ; ZW ; WW

(WW) 1 3

4 mögliche Ergebnisse 4 4 4

WZ ; ZW ; ZZ

(ZZ) 1 3

a) 25% b) 75%

c) 25% b) 75%

= = = =

Aufg. 2: In einem Gefäß sind drei Bälle der Farben Grün, Rot und Blau.

Beim Hineingreifen werden genau zwei Bälle herausgenommen.

a) Erkläre warum dies ein Zufallsexperiment ist! (mündlich) – individuelle Lösung b) Notiere dir alle Ergebnisse! (verwende G für den grünen Ball usw.)

( )

^GR ⁻

( )

^GB ⁻

( )

^RB Es gibt also drei mögliche Ergebnisse.

c) Gib an, wie wahrscheinlich jedes Ergebnis ist!

Jedes Ergebnis ist gleichwahrscheinlich: ¹₃ =33 %¹₃

(2)

Aufg.: Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse schriftlich im Heft:

d) ich habe genau zwei Bälle gezogen

( ) ( ) ( )

GR ; GB ; RB 3 3 mögliche Ergebnisse = =3 1

e) ich habe genau einen roten Ball dabei

( ) ( )

₂

3

GR ; RB 2

3 mögliche Ergebnisse = =3 66 %

f) ich habe einen gelben Ball gezogen

kein mögliches Ereignis 0 3 mögliche Ergebnisse = =3 0

B-Kurs: Vergleiche die Ergebnisse der drei Ereignisse und fasse deine Beobachtung in einem Merksatz zusammen!

Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis liegt immer zwischen 0 und 1: ⁰^^{P E}

( )

⁼¹

Aufgabe: Ergänze jetzt dir folgenden Sätze und schreibe diese danach in dein Heft:

(1) Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsversuch, bei dem jedes Ereignis gleichwahrscheinlich ist.

(2) Typische Beispiele für ein Laplace-Experiment sind das Werfen einer Münze, das gleichzeitige Werfen von zwei Münzen (vgl. Tabelle), das Werfen eines „gewöhnlichen“ Spielwürfels, … . (3) Das Besondere an diesen Versuchen ist, dass sie uns das das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

vereinfachen.

(4) Die Wahrscheinlichkeit P eines Ereignisses E ist festgelegt durch (…ergänze Zähler und Nenner):

( )

Anzahl der günstigen Ergebnisse P E = Anzahl der möglichen Ergebnisse

und kann als gemeiner Bruch oder Dezimalbruch oder in Prozent angegeben werden.

(5) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt immer zwischen Null und Eins:

( ) ( )

P E 0 bedeutet : das Ergebnis tritt nicht ein; es ist kein mögliches Ergebnis. Bsp.: Ich würfel eine 7.

P E 1 bedeutet : das Ergebnis ist sicher. Bsp.: Ich würfel eine Zahl zwischen 1 und 6.

= − − −

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.- Bemerkung: Die möglichen Ergebnisse werden in der Mathematik auch als Ergebnismenge bezeichnet.

Man verwendet dafür den griechischen Buchstaben Omega Ω:

 

Ergebnismenge beim Würfe ln :  = 1; 2;3; 4;5;6 Wusstest du schon …:

Das Zeichen OMEGA ist der letzte Buchstabe des griechischen Alphabets. Er stellt einen Torbogen dar.

Das Tor steht für das Sterben, für die letzte Lebensphase, durch die der Mensch unweigerlich gehen muss.

Omega – Mensch: Er ist der Gegenspieler zum Alpha-Menschen . dem Größen, Schönsten, Besten.

Manchmal wird Omega auch zum Sündenbock oder auch Bauernopfer, wenn er aus dem Team gedrängt wird

(3)

Aufgabe: Handelt es sich bei den folgenden Beispielen um ein Laplace-Experiment?

Gib zunächst die möglichen Ergebnisse an!

Bestimme anschließend die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses bei den Laplace-Experimenten!

a) Werfen eins Spielwürfels

 

Ergebnismenge beim Würfe ln :  = 1; 2;3; 4;5;6

Ja, es ist ein Laplace – Experiment, weil jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich ist.

( )

eine gerade Zahl würfeln ^^2;4;6^ 3 1

P E = = = = =50%

b) B-Kurs: würfeln mit einem veränderten Spielwürfel (Abb.)

 

Ergebnismenge beim Würfe ln :  = 1; 2; 2;3;3;6

Nein, es ist kein Laplace – Experiment, weil jedes Ergebnis nicht gleichwahrscheinlich ist.

c) Schießen eines Elfmeters

 

Ergebnismenge beim 11 m Schießen :  = Tor ; kein Tor

Nein, es ist kein Laplace – Experiment, weil jedes Ergebnis nicht gleichwahrscheinlich ist.

Es würde bei zwei möglichen Ergebnissen bedeuten, dass immer 50% verwandelt werden und 50% nicht verwandelt werden.

d) Durchführung einer Befragung nach der Anzahl der Kinder in einer Familie

Ich kann keine Ergebnismenge angeben, weil ich nicht weiß, wie viel Kinder eine Frau bekommen kann. Es ist somit auch kein Zufallsexperiment.

e) einmaliges Drehen eines Glücksrades mit 6 gleichen Sektoren (Abb.)

 

Ergebnismenge beim Drehen des Rades :  = rot ;dunke lg rün ;Orange; blau ;gelb; hel lg rün Ja, es ist ein Laplace – Experiment, weil jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich ist.

( )

ich drehe keinen Grünton ^rot ;orange;blau ;gelb^ 4 2 2

6 mögliche Ergebnisse 6 6 3 3

P E = = = = =66 %

f) Geburt eines Jungen oder Mädchens

Die Wahrscheinlichkeit liegt NICHT bei 50%, dass hat die Evolution des Menschen so eingerichtet.

Hier kannst du dich zu diesem Phänomen belesen: https://www.focus.de/familie/videos/und-was- wird-es-deshalb-kommen-insgesamt-mehr-jungen-zur-welt_id_4579522.html

g) Ziehung der ersten Zahl bei der Lottoziehung 6 aus 49

 

Ergebnismenge beim Ziehen einer Kugel :  = 1; 2;3;...; 47; 48; 49

Ja, es ist ein Laplace – Experiment, weil jedes Ergebnis / das Ziehen der ersten Zahl gleichwahrscheinlich ist.

( )

eine ungerade Zahl wird gezogen ^1;3;...;47;49^ 25

49 mögliche Ergebnisse 6 49

P E = = = =51%

(4)

h) B-Kurs: würfeln mit einem Spielwürfel, einem Ikosaeder (Abb.)

(Ein Ikosaeder ist 20-seitiger Würfel – es sind 20 zueinander kongruente gleichseitige Dreiecke !!!)

 

Ergebnismenge beim Würfe ln :  = 1; 2;3;...;18;19; 20

Ja, es ist ein Laplace – Experiment, weil jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich ist.

( )

eine Pr imzahl würfeln ^2;3;5;7;11;13;17;19^ 8 2

P E = = = = =0, 4=40%