Hausaufgaben 12

Klassische Theoretische Physik I (SoSe 2018) Vorlesung: Prof. Dr. J. Tjus/ Dr. M. Zacharias

Übung: Dr. B. Eichmann

Hausaufgaben 12

Abgabe: bis 12.07.2018, 12:00Uhr

Aufgabe 12.1: Scheinkräfte auf der Erde (11 Punkte)

Obwohl Bewegungsgleichungen in Inertialsystemen einfacher sind, beschreibt man Bewegun- gen auf der Erde in der Regel in einem mit der Erde mitrotierenden Bezugssystem (Labor).

Das ist streng genommen wegen der Rotation der Erde dann kein Inertialsystem mehr.

Auf der Erdoberäche werde in einem Punkt mit der geographischen Breite φ ein kartesisches Koordinatensystem Σ⁰ angebracht, so dass

(i) x⁰₃ vertikal nach oben, (ii) x⁰₂ nach Norden, und (iii) x⁰₁ nach Osten zeigt.

Für die Winkelgeschwindigkeit der Erde gilt ω= 2π/(24h) = 7,27·10⁻⁵s⁻¹.

a.) Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung für einen Massepunkt im Koordinatensystem Σ⁰, nahe der Erdoberäche (vernachlässigen Sie Terme in ω²).

b.) Berechnen Sie die Beschleunigung ~r¨₀ des Koordinatenursprungs von Σ⁰ relativ zu einem im Erdmittelpunkt ruhenden KoordinatensystemΣ.

c.) Wie groÿ ist die in Σ⁰ gemessene, wahre Erdbeschleunigung~g⁰? Was folgt daraus für die Gestalt der Erdoberäche?

d.) Bestimmen Sie die Corioliskraft F~_C⁰ in Abhägigkeit der geographischen Breite.

e.) Legen Sie das Koordinatensystem Σ⁰ so, dass die x⁰₃-Achse senkrecht zur realen Erd- oberäche steht. Welche Bewegungsgleichungen sind dann für einen Massepunkt nahe der Erdoberäche zu lösen? Hinweis: Die Coriolis-Kraft kann in guter Näherung aus Auf- gabenteil d.) übernommen werden, da ~g und ~g⁰ nur einen kleinen Winkel miteinander bilden.

f.) Ein zunächst ruhender Körper werde aus der Höhe h frei fallen gelassen. Lösen Sie die Bewegungsgleichungen aus Aufgabenteil e.) unter der Voraussetzung, dass x˙⁰₁ und x˙⁰₂ während der Fallzeit klein bleiben. Bestimmen Sie die von der Erdrotation bewirkte Ost- abweichung.

Aufgabe 12.1b: Umlaufbahn (5 Bonuspunkte)

Die ESA startet ihre Raketen in Kourou, das näherungsweise am Äquator liegt.

a.) In welche Himmelsrichtung sollte man iegen, um möglichst leicht eine Umlaufbahn (mit konstanter Winkelgeschwindigkeit und konstantem Radius) zu erreichen?

b.) Betrachten Sie die Scheinkräfte, die auf die Rakete vor dem Start und nach Erreichen einer stabilen, kreisförmigen Umlaufbahn in die optimale Richtung wirken. Geben Sie an welche von Null verschieden sind.

Aufgabe 12.2: Das Würfel-Pendel (9 Punkte)

Ein Würfel mit homogener Massendichte, der Kantenlängea und der Masse M hängt an einer seiner Kanten im homogenen Schwerefeld der Erde senkrecht nach unten. Dabei führe er kleine Schwingungen um diese Achse aus.

a.) Berechnen Sie zunächst sein Trägheitsmoment bezüglich der Aufhängungskanten.

b.) Vergleichen Sie das Trägheitsmoment aus a.) mit dem, welches Sie für den Fall erhalten, dass der Würfel um eine Achse rotiert, die durch den Mittelpunkt und eine Ecke verläuft.

c.) Bestimmen sie nach Wahl geeigneter generalisierter Koordinaten die Lagrangefunktion und stellen Sie damit die Bewegungsgleichung auf.

d.) Geben Sie Schwingungsdauer und Kreisfrequenz an. Wie lang wäre ein äquivalentes Fa- denpendel?

Aufgabe 12.3: Trägheitstensor (10 Punkte)

Ein starrer Körper der Gesamtmasse M bestehe aus zwei identischen, homogenen, unendlich dünnen, rechteckigen Platten der Breite s und Länge 2s. Berechnen Sie den Trägheitstensor und bestimmen Sie die Hauptträgheitsachsen, sowie die Hauptträgheitsmomente.