Inhaltsverzeichnis Kapitel5Differentialgleichungen Analysis3

Bergische Universit¨ at – Gesamthochschule Wuppertal – Fachbereich Mathematik

Analysis 3

Kapitel 5 Differentialgleichungen

Vorlesungsausarbeitung zum WS 2001/02 von Prof. Dr. Klaus Fritzsche

Inhaltsverzeichnis

§1 Der Existenzsatz . . . . 116

§2 Beispiele und L¨ osungsmethoden . . . . 123 2.1 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

2.2 Lineare Differentialgleichungen

2.3 Differentialgleichungen h¨ oherer Ordnung 2.4 Transformationen

2.5 Pfaffsche Formen und exakte Differentialgleichungen

§3 N¨ aherungsl¨ osungen und lokaler Fluß . . . . 136

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§ 1 Der Existenzsatz

Definition. Sei G ⊂ R × R

ein Gebiet und F : G → R

eine stetige Abbildung.

Unter einer L¨ osung der Differentialgleichung y

= F (t, y)

versteht man eine Abbildung ϕ : I → R

mit folgenden Eigenschaften:

1. I ⊂ R ist ein Intervall, und der Graph {(t, ϕ(t)) : t ∈ I} liegt in G.

2. ϕ ist stetig differenzierbar, und es ist ϕ

(t) = F (t, ϕ(t)) auf I . Man nennt F auch ein zeitabh¨ angiges Vektorfeld. F¨ ur t ∈ R sei

G

:= {y ∈ R

: (t, y) ∈ G}.

Dann ist G

offen, eventuell auch leer. Ist G = J × B, mit einem Intervall J und einer offenen Teilmenge B ⊂ R

, so ist G

= B f¨ ur jedes t ∈ J . Ist außerdem F nicht von t abh¨ angig, so spricht man von einem autonomen Vektorfeld auf B . Eine Integralkurve eines autonomen Vektorfeldes F auf B ist ein stetig differenzier- barer Weg α : J → B mit folgenden Eigenschaften:

1. J ⊂ I.

2. α

(t) = F (α(t)) f¨ ur alle t ∈ J.

Ist F ein zeitabh¨ angiges Vektorfeld und ϕ eine L¨ osung der DGL y

= F (t, y), so nennen wir α(t) := (t, ϕ(t)) eine Integralkurve.

Ist F zeitunabh¨ angig, so m¨ ochte man folgendes wissen: Gibt es zu jedem Punkt x

∈ B eine Integralkurve α : J → B von F und einen Parameter t

∈ J , so daß α(t

) = x

ist? Ist diese Integralkurve eindeutig bestimmt, und wie groß kann man J w¨ ahlen?

Ubertragen auf den zeitabh¨ ¨ angigen Fall, suchen wir zu jedem Punkt (t

, x

) ∈ G ein Intervall I und eine offene Menge B ⊂ R

mit I × B ⊂ G, so daß eine Integralkurve α von F mit α(t

) = (t

, x

) existiert. Die Abbildung ϕ(t) := pr

◦ α(t) ist dann eine L¨ osung der Differentialgleichung. Ist umgekehrt eine L¨ osung gegeben, so ist ihr Graph eine Integralkurve. K¨ onnen wir also Differentialgeichungen l¨ osen, so k¨ onnen wir auch Integralkurven von Vektorfeldern finden. Bei autonomen DGLn f¨ allt beides zusammen.

Ist ϕ eine L¨ osung von y

= F (t, y) und ϕ(t

) = x

, so sagt man, ϕ erf¨ ullt die Anfangsbedingung (t

, x

). Die L¨ osung heißt maximal, wenn sie sich nicht zu einer L¨ osung mit gr¨ oßerem Definitionsbereich fortsetzen l¨ aßt.

1.1 Satz. Ist ϕ L¨ osung der DGL y

= F (t, y) und F k-mal stetig differenzierbar,

so ist ϕ (k + 1)-mal stetig differenzierbar.

1 Der Existenzsatz 117

Beweis: Definitionsgem¨ aß ist ϕ einmal stetig differenzierbar, aber ϕ

(t) = F (t, ϕ(t)) ist auch wieder stetig differenzierbar. Also muß ϕ sogar zweimal ste- tig differenzierbar sein. Dieses Argument kann man so lange wiederholen, bis der Differenzierbarkeitsgrad von F erreicht ist.

Beispiel.

Sei F : R

→ R

definiert durch F (x

, x

) := (−x

, x

). Die autonome DGL (y

, y

) = F (y

, y

) hat die L¨ osungen ϕ

(t) := (r cos t, r sin t), r > 0, und die L¨ osung ϕ

(t) ≡ 0. F¨ ur jeden Punkt (r, 0), r ≥ 0, gibt es genau eine L¨ osung ϕ

mit ϕ

(0) = (r, 0). Jedes ϕ

ist beliebig oft differenzierbar (was wir nat¨ urlich schon vorher wußten). Offen bleibt vorerst die Frage, ob es noch weitere L¨ osungen gibt.

Definition. Sei (t

, x

) ∈ R × R

. Die Tonne mit Radius r und L¨ ange 2ε um (t

, x

) ist die Menge

T := [t

− ε, t

+ ε] × B

(x

).

Sei nun G ⊂ R × R

ein Gebiet und F : G → R

eine stetige Abbildung. Eine Tonne T ⊂ G mit Radius r und L¨ ange 2ε heißt Sicherheitstonne f¨ ur F , falls gilt:

sup

T

kF (t, x)k ≤ r ε .

B

(x

)

t

− ε t

t

+ ε t x

(t

,

x

)

1.2 Satz. Ist T

eine beliebige Tonne um (t

, x

) mit Radius r und L¨ ange 2ε, so gibt es ein δ mit 0 < δ ≤ ε, so daß jede Tonne T mit Radius r und L¨ ange ≤ 2δ eine Sicherheitstonne um (t

, x

) ist.

Beweis: Sei M := sup

T0

kF k und δ := min(ε, r

M ). Dabei sei r/M := +∞ gesetzt, falls M = 0 ist. Dann ist r/δ = max(r/ε, M ), und f¨ ur die Tonne T gilt: sup

T

kF k ≤ sup

T0

kF k = M ≤ r

δ .

Definition. Sei G ⊂ R × R

ein Gebiet. Eine stetige Abbildung F : G → R

gen¨ ugt auf G einer Lipschitz-Bedingung mit Lipschitz-Konstante k, falls gilt:

kF (t, x

) − F (t, x

)k ≤ k · kx

− x

k, f¨ ur alle Punkte (t, x

), (t, x

) ∈ G.

F gen¨ ugt lokal der Lipschitz-Bedingung, falls es zu jedem (t

, x

) ∈ G eine Umge- bung U = U (t

, x

) ⊂ G gibt, so daß F auf U einer Lipschitz-Bedingung gen¨ ugt.

1.3 Satz. Ist F stetig und nach den Variablen x

, . . . , x

stetig partiell differen- zierbar, so gen¨ ugt F auf jeder Tonne T ⊂ G einer Lipschitz-Bedingung.

Beweis: Sei T = I × B ⊂ G eine beliebige Tonne. Die partiellen Ableitungen F

(t, x) sind auf T stetig und damit beschr¨ ankt, etwa durch M > 0. F¨ ur t ∈ I ist f

(x) := F (t, x) auf B (total) stetig differenzierbar, und es ist sup

kDf

(x)k ≤ n · M . Aus dem Schrankensatz folgt dann:

kf

(x

) − f

(x

)k ≤ n · M · kx

− x

k, f¨ ur x

, x

∈ B.

Da dies unabh¨ angig von t gilt, haben wir unsere gesuchte Lipschitz-Bedingung.

1.4 Satz. Sei G ⊂ R × R

ein Gebiet und F : G → R

stetig. Gen¨ ugt F auf G lokal der Lipschitz-Bedingung, so gibt es zu jedem (t

, x

) ∈ G ein ε > 0 und eine Sicherheitstonne T ⊂ G mit Zentrum (t

, x

) und L¨ ange 2ε, so daß F auf T einer Lipschitz-Bedingung mit Lipschitz-Konstante k < 1/(2ε) gen¨ ugt.

Beweis: Sei U = U (t

, x

) eine Umgebung, auf der F einer Lipschitz-Bedingung mit Konstante k gen¨ ugt. Weiter sei T

⊂ U eine Tonne mit Zentrum (t

, x

), Radius r < 1 und L¨ ange 2ε. Man kann ε so weit verkleinern, daß ε < 1/(2k) und T eine Sicherheitstonne ist.

1.5 Lokaler Existenz- und Eindeutigkeitssatz. Sei G ⊂ R × R

ein Gebiet, F : G → R

stetig, (t

, y

) ∈ G. Es sei T = I × B ⊂ G eine Sicherheitstonne der L¨ ange 2ε mit Zentrum (t

, y

), auf der F einer Lipschitz-Bedingung mit einer Konstanten k < 1/(2ε) gen¨ ugt.

Dann gibt es genau eine L¨ osung ϕ : I → B der DGL y

= F (t, y) mit ϕ(t

) = y

. Beweis: Es ist I = [t

− ε, t

+ ε] und B = B

(y

), f¨ ur ein gewisses r > 0. Wir betrachten den metrischen Raum

X := {ϕ : I → B : ϕ stetig, mit ϕ(t

) = y

}.

Offensichtlich ist X 6= ∅ , denn die Funktion ϕ(t) ≡ y

geh¨ ort zu X. Durch

dist(ϕ, ψ) := sup

kϕ(t) − ψ(t)k wird eine Metrik auf X erkl¨ art.

1 Der Existenzsatz 119

Sei nun (ϕ

) eine Cauchyfolge in X. Sie konvergiert im Raum aller stetigen Ab- bildungen von I nach R

gegen eine stetige Grenzfunktion ϕ

. Da B abgeschlossen und ϕ

(t) stets in B enthalten ist, muß auch der Grenzwert ϕ

(t) in B liegen.

Und die Relation ϕ

(t

) = y

bleibt ebenfalls beim Grenz¨ ubergang erhalten. Das bedeutet, daß ϕ

wieder in X liegt. Der Raum X ist vollst¨ andig.

Als n¨ achstes definieren wir eine Abbildung S : X → C

(I, R

) durch (Sϕ)(t) := y

+

Z

t0

F (u, ϕ(u)) du .

Es ist klar, daß Sϕ stetig ist und Werte in R

hat. Außerdem ist (Sϕ)(t

) = y

, und f¨ ur t ∈ I gilt:

k(Sϕ)(t) − y

k = k Z

t0

F (u, ϕ(u)) duk

≤ |t − t

| · sup

T

kF (t, y)k

≤ ε · r ε = r.

Also liegt Sϕ wieder in X. Das bedeutet, daß S den metrischen Raum X in sich abbildet.

Wir wollen nun zeigen, daß S kontrahierend ist. F¨ ur ϕ, ψ ∈ X ist dist(Sϕ, Sψ) = sup

I

kSϕ(t) − Sψ(t)k

= sup

I

k Z

t0

[F (u, ϕ(u)) − F (u, ψ(u))] duk

≤ ε · k · sup

I

kϕ(u) − ψ(u)k

< 1

2 dist(ϕ, ψ).

Das bedeutet, daß S genau einen Fixpunkt ϕ

besitzt. Nun gilt:

ϕ

(t) = (Sϕ

)(t) = y

+ Z

t0

F (u, ϕ

(u)) du.

Differenzieren auf beiden Seiten ergibt (ϕ

)

(t) = F (t, ϕ

(t)). Damit ist ϕ

eine L¨ osung der DGL, mit ϕ

(t

) = y

.

Ist umgekehrt ϕ eine L¨ osung der DGL mit der gew¨ unschten Anfangsbedingung, so ist

Z

t0

F (u, ϕ(u)) du = Z

t0

ϕ

(u) du = ϕ(t) − ϕ(t

) = ϕ(t) − y

,

also Sϕ = ϕ. Damit ist Existenz und Eindeutigkeit der L¨ osung ¨ uber I gezeigt.

Bemerkung. Das oben vorgestellte L¨ osungsverfahren nennt man das Verfahren von Picard-Lindel¨ of. Es ist konstruktiv in dem Sinne, daß man mit einer beliebigen Funktion (z.B. ϕ(t) ≡ y

) starten kann und die gesuchte L¨ osung als Grenzwert der Folge ϕ

:= S

ϕ f¨ ur k → ∞ erh¨ alt.

Betrachten wir als Beispiel noch einmal die DGL (y

, y

) = (−y

, y

). Sei ϕ

(t) :=

(1, 0). Hier ist F (u, ϕ

(u), ϕ

(u)) = (−ϕ

(u), ϕ

(u)), also ϕ

(t) = (1, 0) +

Z

0

(0, 1) du = (1, t), ϕ

(t) = (1, 0) +

Z

0

(−u, 1) du = (1 − t

2 , t), ϕ

(t) = (1, 0) +

Z

0

(−u, 1 − u

2 ) du = (1 − t

2 , t − t

6 ) . Per Induktion zeigt man schließlich:

ϕ

(t) = X

ν=0

(−1)

t

(2ν)! ,

k−1

X

ν=0

(−1)

t

(2ν + 1)!

und

ϕ

(t) = X

ν=0

(−1)

t

(2ν)! ,

k

X

ν=0

(−1)

t

(2ν + 1)!

.

Das bedeutet, daß ϕ(t) := (cos(t), sin(t)) die einzige L¨ osung mit ϕ(0) = (1, 0) ist.

Im folgenden betrachten wir eine DGL y

= F (t, y) auf einem Gebiet G ⊂ R × R

. Die Abbildung F gen¨ uge lokal der Lipschitz-Bedingung.

1.6 Satz. Sei ϕ : [t

, t

] → R

eine L¨ osung. Dann gibt es ein t

> t

und eine L¨ osung ϕ b : [t

, t

) → R

mit ϕ| b

= ϕ.

Beweis: Nach dem lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatz gibt es ein ε > 0 und eine eindeutig bestimmte L¨ osung ψ : (t

− ε, t

+ ε) → R

mit ψ(t

) = ϕ(t

).

Außerdem ist

ψ

(t

) = F (t

, ψ(t

)) = F (t

, ϕ(t

)) = ϕ

(t

).

Also ist ϕ b : [t

, t

+ ε) → R

mit

ϕ(t) := b

ϕ(t) f¨ ur t

≤ t ≤ t

, ψ (t) f¨ ur t

< t < t

+ ε.

stetig differenzierbar und damit eine L¨ osung ¨ uber [t

, t

+ ε).

1 Der Existenzsatz 121

1.7 Satz (von der globalen Eindeutigkeit). Sind ϕ, ψ : [t

, t

) → R

zwei L¨ osungen mit ϕ(t

) = ψ(t

), so ist ϕ = ψ.

Beweis: Nach dem lokalen Eindeutigkeitssatz gibt es ein ε > 0, so daß ϕ(t) = ψ(t) f¨ ur t

≤ t < t

+ ε ist. Ist ϕ = ψ auf ganz [t

, t

), so ist nichts mehr zu zeigen.

Andernfalls sei

t

:= inf{t ∈ [t

, t

) : ϕ(t) 6= ψ(t)}.

Dann ist t

< t

< t

, und es muß ϕ(t

) = ψ(t

) sein, denn die Menge aller t mit ϕ(t) 6= ψ(t) ist offen. Wegen der lokalen Eindeutigkeit w¨ are dann aber auch noch in der N¨ ahe von t

die Gleichheit von ϕ(t) und ψ(t) gegeben. Das ist ein Widerspruch zur Definition von t

.

1.8 Globaler Existenz- und Eindeutigkeitssatz. Zu vorgegebener Anfangs- bedingung (t

, y

) ∈ G gibt es Zahlen t

, t

∈ R mit t

< t

< t

und eine L¨ osung ϕ : (t

, t

) → R

mit folgenden Eigenschaften:

1. ϕ(t

) = y

.

2. ϕ l¨ aßt sich auf kein gr¨ oßeres Intervall fortsetzen.

3. Ist ψ : (t

, t

) → R

eine weitere L¨ osung mit ψ(t

) = y

, so ist ϕ = ψ.

4. Die Integralkurve Φ(t) := (t, ϕ(t)) l¨ auft in G

” von Rand zu Rand“ : Zu jeder kompakten Teilmenge K ⊂ G mit (t

, y

) ∈ K gibt es Zahlen t

, t

mit

t

< t

< t

< t

< t

, so daß Φ((t

, t

)) ⊂ G \ K und Φ((t

, t

)) ⊂ G \ K ist.

Beweis: Wir beschr¨ anken uns auf die Konstruktion von t

, die von t

kann dann analog durchgef¨ uhrt werden. Es sei

ε

:= sup{ε > 0 : ∃ L¨ osung ϕ

: [t

, t

+ ε] → R

mit ϕ

(t

) = y

} und

t

:= t

+ ε

.

Ist nun t ∈ [t

, t

), so gibt es ein ε mit t − t

< ε < ε

, und wir setzen ϕ(t) := ϕ

(t).

Diese Definition ist wegen der globalen Eindeutigkeit unabh¨ angig vom gew¨ ahlten ε, und ϕ ist deshalb auch eine L¨ osung der DGL. Nach Konstruktion von ε

l¨ aßt sich ϕ nicht ¨ uber t

hinaus zu einer erweiterten L¨ osung fortsetzen. Offensichtlich ist ϕ eindeutig bestimmt.

Der Beweis der letzten Aussage ist etwas komplizierter.

Sei Φ(t) := (t, ϕ(t)) f¨ ur t

≤ t < t

die zugeh¨ orige Integralkurve. Wenn die Be- hauptung falsch w¨ are, g¨ abe es eine kompakte Menge K ⊂ G und eine monoton wachsende und gegen t

konvergente Folge (t

), so daß Φ(t

) ∈ K f¨ ur ν ∈ N gilt.

Wir nehmen an, das sei der Fall. Da K kompakt ist, muß dann die Folge (t

) be- schr¨ ankt sein, also t

endlich. Außerdem muß es eine Teilfolge (t

) geben, so daß Φ(t

) gegen ein Element (t

, y

) ∈ K (und damit in G) konvergiert. Zur Vereinfa- chung der Schreibweise nehmen wir an, daß schon die Folge (Φ(t

)) gegen (t

, y

) konvergiert.

Sei T

= [t

−ε

, t

+ε

]×B

(y

) eine Tonne, die noch ganz in G liegt. Dabei sei ε

so klein gew¨ ahlt, daß F auf T

einer Lipschitzbedingung mit Konstante k < 1/(2ε

) gen¨ ugt. Weiter sei

M := sup

T0

kF k, ε := min ε

2 , r

2M

und r := r

2 ,

sowie T

die Tonne mit Radius r und L¨ ange 2ε um (t

, y

). F¨ ur einen beliebigen Punkt (t, y) ∈ T

ist die Tonne T = T (t, y) mit Radius r und L¨ ange 2ε um (t, y) eine in T

enthaltene Sicherheitstonne, denn es ist

r

ε = max r

ε

, M

, also sup

T

kF k ≤ sup

T0

kF k = M ≤ r ε .

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ppr

(t+,y+) (t,ry)

T T

T

Außerdem erf¨ ullt F auch auf T die Lipschitzbedingung mit der Konstanten k. Wir k¨ onnen das auf T

= T (t

, ϕ(t

)) anwenden, denn f¨ ur gen¨ ugend großes ν liegt (t

, ϕ(t

)) in T

. Dann ist (t

, y

) in T

enthalten. Nach dem lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatz gibt es genau eine L¨ osung ψ : [t

− ε, t

+ ε] → B

(ϕ(t

)) mit ψ(t

) = ϕ(t

).

Offensichtlich wird ϕ durch ψ fortgesetzt, und zwar ¨ uber t

hinaus. Das ist ein

Widerspruch!

2 Beispiele und L¨ osungsmethoden 123

§ 2 Beispiele und L¨ osungsmethoden

2.1 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

Unter einer Differentialgleichung mit getrennten Variablen versteht man eine Dif- ferentialgleichung der Form

y

= f(x)g(y),

wobei f : I → R und g : J → R stetige Funktionen auf geeigneten Intervallen sind.

1. Fall: Ist g(y

) = 0, so ist f¨ ur jedes x

∈ I die konstante Funktion ϕ(t) = y

die einzige L¨ osung mit ϕ(x

) = y

.

2. Fall: Sei J

⊂ J ein offenes Intervall, auf dem g keine Nullstellen hat, und y

∈ J

. Ist ϕ eine L¨ osung auf I mit ϕ(x

) = y

, so muß f¨ ur alle t ∈ I gelten:

ϕ

(t)

g(ϕ(t)) = f(t).

Also ist

Z

x0

f (t) dt = Z

x0

ϕ

(t) g(ϕ(t)) dt =

Z

y0

1 g(u) du.

Sei nun F eine Stammfunktion von f auf I und G eine Stammfunktion von 1/g auf J

. Dann ist G

(x) = 1/g(x) 6= 0 f¨ ur x ∈ J

, also G dort streng monoton. Damit ist G umkehrbar und

ϕ(x) = G

(F (x) − F (x

) + G(y

)).

Die Probe zeigt sofort, daß ϕ(t) tats¨ achlich die DGL l¨ ost.

y(t) = y

y(t) = y

ϕ

.. .. .. .. .. .. .. .r

. . . . . . . . . . . . . . . . .r

y

J

I

r

x

Bemerkung. Die Physiker haben – wie immer – eine suggestive Schreibweise daf¨ ur:

dy

dx = f(x)g(y) = ⇒ dy

g(y) = f(x) dx

= ⇒

Z dy g(y) =

Z

f (x) dx

= ⇒ G(y) = F (x) + c

= ⇒ y = G

(F (x) + c).

Damit y(x

) = y

ist, muß man c = G(y

) − F (x

) w¨ ahlen.

Als konkretes Beispiel nehmen wir die DGL y

= xy.

Hier sind f (x) = x und g(y) = y auf ganz R definiert. Als Stammfunktionen k¨ onnen wir

F (x) := 1

2 x

auf R und

G(y) := ln |y| auf jedem Intervall J, das nicht die Null enth¨ alt, nehmen. Dann ist

G

(z) =

e

falls J ⊂ R

,

−e

sonst, also

y(x) = G

(F (x) + c)

= ± exp( 1

2 x

+ c)

= C · exp( 1

2 x

), mit C ∈ R .

Das schließt insbesondere die L¨ osung y(x) ≡ 0 mit ein. Liegt J in R

, so muß C > 0 gew¨ ahlt werden, sonst C < 0.

Als zweites Beispiel betrachten wir die DGL y

= xy

. Hier ist f(x) = x, also F (x) = 1

2 x

, wie oben, sowie g(y) = y

, also G(y) = − 1 y (auf jedem Intervall J , das nicht die Null enth¨ alt). Nach dem obigen Verfahren erhalten wir die L¨ osungen

y

(x) = G

(F (x) + c) = − 1

x

/2 + c = − 2 2c + x

.

Hinzu kommt die konstante L¨ osung y(x) ≡ 0, die sich aus der einzigen Nullstelle von g(y) ergibt.

2.2 Lineare Differentialgleichungen

Eine allgemeine lineare DGL 1. Ordnung ¨ uber einem Intervall I hat folgende Ge- stalt:

y

+ a(x)y = r(x), mit stetigen Funktionen a, r : I → R .

Ist r(x) ≡ 0, so spricht man vom homogenen Fall. Dann ist auf jeden Fall die

Funktion y(x) ≡ 0 eine L¨ osung. Suchen wir nach weiteren L¨ osungen, so k¨ onnen wir

voraussetzen, daß y(x) 6= 0 f¨ ur alle x ∈ I ist, und es gilt:

2 Beispiele und L¨ osungsmethoden 125

(ln|y|)

(x) = y

(x)

y(x) = −a(x).

Ist A(x) eine Stammfunktion von a(x) ¨ uber I, so ist y(x) = c · e

,

mit einer Integrationskonstanten c, die auch ≤ 0 sein darf.

Nun betrachten wir den inhomogenen Fall (r(x) 6≡ 0 ) : Sind ϕ

, ϕ

zwei L¨ osungen, so ist

(ϕ

− ϕ

)

(t) + a(t)(ϕ

(t) − ϕ

(t)) = r(t) − r(t) = 0,

also unterscheiden sich je zwei L¨ osungen der inhomogenen Gleichung um eine L¨ osung der zugeh¨ origen homogenen Gleichung. Die allgemeine L¨ osung hat dem- nach die Gestalt

ϕ(t) = ϕ

(t) + c · e

, mit einer

” partikul¨ aren L¨ osung“ ϕ

(t) der inhomogenen Gleichung. Die m¨ ussen wir noch finden.

Meistens findet man spezielle L¨ osungen ¨ uber einen geeigneten Ansatz. So geht man auch hier vor. Wir benutzen die Methode der Variation der Konstanten.

Ansatz: y

(x) = c(x) · e

.

Durch Differenzieren und Einsetzen in die DGL versucht man, Bedingungen f¨ ur c(x) zu erhalten:

y

(x) = (c

(x) − c(x) · A

(x)) · e

= (c

(x) − c(x)a(x)) · e

. Da y

(x) + a(x)y

(x) = r(x) sein soll, erh¨ alt man die Bestimmungsgleichung:

c

(x) · e

= r(x), und setzt daher

c(x) :=

Z

x0

r(t)e

dt.

Die Probe zeigt, daß y

tats¨ achlich die inhomogene DGL l¨ ost.

Die allgemeine L¨ osung hat somit die Gestalt y(x) = y

(x) + c · e

= (

Z

x0

r(t)e

dt + c) · e

.

2.3 Differentialgleichungen h¨ oherer Ordnung

Es besteht ein direkter Zusammenhang zwischen einfachen DGLn n–ter Ordnung und den Systemen von DGLn erster Ordnung:

Ist eine DGL

y

= f (x, y, y

, . . . , y

) (∗) gegeben, so ordnen wir ihr folgendes System zu:

y

= y

.. . y

= y

y

= f (x, y

, . . . , y

)

Ist ϕ eine L¨ osung der DGL (∗), so ist ϕ

(t) = f (t, ϕ(t), ϕ

(t), . . . , ϕ

(t)), und wir setzen

ϕ

:= ϕ, ϕ

:= ϕ

, . . . , ϕ

:= ϕ

. Dann ist

ϕ

(t) = ϕ

(t), .. .

ϕ

(t) = ϕ

(t)

und ϕ

(t) = ϕ

(t) = f(t, ϕ

(t), . . . , ϕ

(t)), d.h., (ϕ

, . . . , ϕ

) ist eine L¨ osung des Systems.

Ist umgekehrt eine L¨ osung (ϕ

, . . . , ϕ

) des Systems gegeben, so setze man ϕ := ϕ

. Dann ist

ϕ

(t) = ϕ

(t), . . . , ϕ

(t) = ϕ

(t)

und schließlich ϕ

(t) = ϕ

(t) = f(t, ϕ(t), . . . , ϕ

(t)), also ϕ L¨ osung von (∗).

Man kann also die Theorie der DGLn n–ter Ordnung auf die der Systeme 1. Ord- nung zur¨ uckf¨ uhren. Insbesondere gilt der Existenz- und Eindeutigkeitssatz sinn- gem¨ aß. Eine Anfangsbedingung f¨ ur die DGL n–ter Ordnung hat die Gestalt

ϕ

(x

) = y

, ν = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

2.4 Transformationen

Sei G ⊂ R × R

ein Gebiet, F : G → R

stetig. Die DGL y

= F (x, y) l¨ aßt sich manchmal besser l¨ osen, wenn man sie transformiert.

Sei T : G → R × R

ein Diffeomorphismus auf ein Gebiet D, mit T (t, y) =

(t, T e (t, y)).

2 Beispiele und L¨ osungsmethoden 127

Die Integralkurven α(t) = (t, ϕ(t)) der urspr¨ unglichen DGL werden auf Kurven T ◦ α(t) = T (t, ϕ(t)) = (t, T e (t, ϕ(t))) =: (t, ψ(t))

abgebildet, und wir versuchen, diese Kurven als Integralkurven einer neuen DGL aufzufassen. Wie sieht diese DGL aus?

Hat die transformierte DGL die Gestalt v

= F e (t, v), so muß gelten:

ψ

(t) = F e (t, ψ(t)) und ψ(t) = T e (t, ϕ(t)).

Wir beschr¨ anken uns hier auf skalare DGLn. Dann ist

∂ T e

∂t (t, ϕ(t)) + ∂ T e

∂y (t, ϕ(t))ϕ

(t) = ψ

(t) = F e (t, ψ(t)) und

(t, ϕ(t)) = T

(t, ψ(t)), also

F e (t, v) = ∂ T e

∂t (T

(t, v)) + ∂ T e

∂y (T

(t, v)) · F (T

(t, v)).

Beispiel.

Die DGL y

= F (t, y) wird homogen genannt, falls F (rt, ry) = F (t, y) f¨ ur (t, y) ∈ G und r 6= 0 ist.

Der Definitionsbereich G von F muß dann folgende Eigenschaft besitzen: Mit (t, y) geh¨ ort f¨ ur jedes r 6= 0 auch (rt, ry) zu G.

Enth¨ alt G keinen Punkt (t, y) mit t = 0, so ist folgende Transformation m¨ oglich:

T (t, y) := (t, y t ).

Ist ϕ(t) L¨ osung der Ausgangsgleichung, so ist ψ(t) := ϕ(t)/t L¨ osung der transformierten Gleichung, und es gilt:

ψ

(t) = tϕ

(t) − ϕ(t) t

= t · F (t, ϕ(t)) − ϕ(t) t

= t · F (t, tψ(t)) − tψ(t) t

= F (1, ψ(t)) − ψ(t)

t ,

1Dieser Begriff sollte nicht mit dem Begriff

”homogen“ bei linearen DGLn verwechselt werden!

d.h., ψ ist L¨ osung der DGL v

= F (1, v) − v

t . Eventuell ist ψ einfacher zu finden.

Sei etwa F (t, y) = y t +

r 1 − y

t

auf

G = {(t, y) : t

≥ y

} = {(t, y) : (t − y) · (t + y) ≥ 0}.

Man sieht sofort, daß das eine homogene DGL ergibt, und die obige Trans- formation macht daraus

v

= 1 t

√ 1 − v

.

Das ist eine DGL mit getrennten Variablen, der Gestalt v

= f(t)g(v), mit f(t) = 1

t und g(v) = √

1 − v

. Offensichtlich ist die L¨ osung ψ mit ψ(t

) = v

gegeben durch

ψ(t) = sin ln(t/t

) + arcsin(v

) .

Dabei sei (t

, v

) = (t

, y

/t

) eine (transformierte) Anfangsbedingung. Als L¨ osung der Ausgangsgleichung erh¨ alt man dann:

ϕ(t) = t · ψ(t) = t · sin ln(t/t

) + arcsin(y

/t

) .

Ein anderes Anwendungsbeispiel ist die Bernoullische DGL : y

= a(x)y + b(x)y

,

wobei α reell, 6= 0 und 6= 1 sein soll.

Wir verwenden die Transformation T (t, y) := (t, y

). Dann ist T

(t, v) = (t, v

), ∂ T e

∂t (t, y) = 0 und ∂ T e

∂y (t, y) = (1 − α)y

. Weil F (t, y) = a(t)y + b(t)y

ist, folgt: die transformierten Integralkurven gen¨ ugen der DGL v

= F e (t, v), mit

F e (t, v) = ∂ T e

∂t (t, v

) + ∂ T e

∂y (t, v

) · F (t, v

)

= (1 − α)v

· a(t)v

+ b(t)v

= (1 − α) · (a(t)v + b(t)).

Die transformierte DGL ist linear und daher sicher einfacher zu behandeln als die

Ausgangsgleichung.

2 Beispiele und L¨ osungsmethoden 129

Beispiel.

Die logistische Gleichung (oder Gleichung des beschr¨ ankten Wachstums ) y

= ay − by

, mit a, b ∈ R

und y > 0

ist vom Bernoullischen Typ. Bevor wir sie transformieren, noch ein paar An- merkungen:

Es ist y

= y(a− by). Ist ϕ eine L¨ osung und 0 < ϕ(t) < a/b, so ist a− b ·ϕ(t) >

0, also ϕ

(t) > 0. Der

” Bestand“ w¨ achst! Ist dagegen ϕ(t) > a/b, so ist ϕ

(t) < 0 und der Bestand nimmt ab.

Weiter ist ϕ

(t) = aϕ

(t)− 2bϕ(t)ϕ

(t) = (a− 2bϕ(t))ϕ

(t). Ist also 0 < ϕ(t) <

a/(2b), so ist ϕ

(t) > 0 und ϕ

(t) > 0. Das ist der Bereich

” beschleunigten Wachstums“, der Graph beschreibt eine Linkskurve. Ist dagegen a/(2b) <

ϕ(t) < a/b, so ist ϕ

(t) < 0. Hier beschreibt der Graph eine Rechtskurve, das Wachstum wird gebremst.

.. .. .

r

t

y

a/(2b) a/b

Nun wenden wir unsere Transformation an. Suchen wir eine L¨ osung von y

= ay −by

zum Anfangswert (t

, y

), so k¨ onnen wir genauso gut eine L¨ osung von v

= −av+b suchen, zum Anfangswert (t

, y

). Das ist eine inhomogene DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Eine partikul¨ are L¨ osung ist die konstante Funktion v

(t) ≡ b/a, und die allgemeine L¨ osung der zugeh¨ origen homogenen Gleichung ist gegeben durch v

(t) := c · e

, c ∈ R .

Die allgemeine L¨ osung der Ausgangsgleichung ist dann gegeben durch y

(t) = (v

(t) + v

(t))

= a

b + ac · e

. F¨ ur alle diese L¨ osungen gilt:

y

(t) → a

b f¨ ur t → ∞.

2.5 Pfaffsche Formen und exakte Differentialgleichungen

Zur Erinnerung: Eine Pfaffsche Form ω auf einem Gebiet G ⊂ R

ist eine stetige Abbildung ω : G× R

→ R , die linear im 2. Argument ist. Sie besitzt eine eindeutig bestimmte Darstellung

ω = ω

dx

+ · · · + ω

dx

, wobei die ω

stetige Funktionen auf G sind, die durch

ω

(x) = ω(x, e

)

gegeben sind. Die dx

sind Pfaffsche Formen mit dx

(x, e

) = δ

.

Ein Spezialfall ist das totale Differential df = f

dx

+ · · · + f

dx

, auch gegeben durch (df )(x, v) = Df (x)(v).

Definition. Es seien G

⊂ R

, G

⊂ R

zwei Gebiete, F : G

→ G

eine differenzierbare Abbildung. Ist ω eine Pfaffsche Form auf G

, so wird die

” zur¨ uck- geliftete“ Pfaffsche Form F

ω auf G

definiert durch

F

ω(x, v) := ω F (x), DF (x)(v) .

2.1 Satz.

1. Ist g differenzierbar auf G, so ist F

(dg) = d(g ◦ F ).

2. Es ist F

(ω

+ ω

) = F

ω

+ F

ω

und F

(g · ω) = (g ◦ F ) · F

ω.

Beweis: 1) Es ist

F

(dg)(x, v) = dg F (x), DF (x)(v)

= Dg(F (x)) DF (x)(v)

= D(g ◦ F )(x)(v)

= d(g ◦ F )(x, v).

2) Die Linearit¨ at ist trivial.

2.2 Folgerung. Ist ω =

m

X

µ=1

ω

dy

und F = (F

, . . . , F

), so ist

F

ω =

m

X

µ=1

(ω

◦ F ) dF

.

Beweis: Klar nach dem obigen Satz, denn es ist F

(dy

) = d(y

◦ F ) = dF

.

2 Beispiele und L¨ osungsmethoden 131

Beispiel.

Ist ω = f dt eine Pfaffsche Form auf R und I = [a, b], so setzen wir Z

I

ω :=

Z

a

ω(t, 1) dt = Z

a

f (t) dt. Ist J = [c, d] ein weiteres Intervall und ϕ : J → I eine orientierungstreue Parametertransformation, so ist ϕ(c) = a, ϕ(d) = b und

Z

J

ϕ

ω = Z

c

ϕ

ω(s, 1) ds

= Z

c

ω(ϕ(s), ϕ

(s)) ds

= Z

c

ω(ϕ(s), 1) · ϕ

(s) ds

= Z

a

ω(t, 1) dt = Z

I

ω.

Ist α : I → R

ein differenzierbarer Weg, so setzen wir Z

α

ω :=

Z

I

α

ω = Z

a

ω(α(t), α

(t)) dt.

Das ist die bereits bekannte Definition des Kurvenintegrals.

Offensichtlich ist Z

α◦ϕ

ω = Z

α

ω f¨ ur jede orientierungstreue Parametertrans- formation.

Sind F

: G

→ G

und F

: G

→ G

differenzierbare Abbildungen, ω eine Pfaffsche Form auf G

, so ist

(F

◦ F

)

ω = F

(F

ω).

Der Beweis ist eine einfache Rechnung.

Bekanntlich heißen zwei Wege ¨ aquivalent, wenn sie durch eine orientierungstreue Parametertransformation auseinander hervorgehen. Eine ¨ Aquivalenzklasse nennen wir eine (orientierte) Kurve. Sie wird repr¨ asentiert durch das Bild C = α(I) unter einer der Parametrisierungen, versehen mit einem Durchlaufsinn. Die Kurve heißt regul¨ ar, wenn sie eine glatte Parametrisierung besitzt.

Definition. Sei ω eine Pfaffsche Form auf einem Gebiet G ⊂ R

. Eine regul¨ are

Kurve C ⊂ G heißt L¨ osung der Gleichung ω = 0, falls es eine glatte Parametri-

sierung α : I → G von C gibt, so daß α

ω ≡ 0 ist. Die Orientierung spielt dabei

zun¨ achst keine Rolle.

2.3 Satz. Sei G ⊂ R

ein Gebiet und F : G → R eine stetige Funktion. Dann stimmen die Integralkurven der DGL y

= F (x, y) mit den L¨ osungen der Gleichung dy − F (x, y) dx = 0 ¨ uberein.

Beweis: 1) Sei ϕ : I → R eine L¨ osung der DGL und α(t) := (t, ϕ(t)) die zugeh¨ orige Integralkurve. Dann ist α offensichtlich glatt und

α

(dy − F dx) = (ϕ

− F ◦ ϕ) dt ≡ 0.

Also parametrisiert α eine L¨ osung der Gleichung dy − F dx = 0.

2) Sei umgekehrt α = (α

, α

) : I → R

eine glatte Parametrisierung einer L¨ osung der Gleichung ω = 0 (mit ω := dy − F dx). Dann ist

0 = α

ω = (α

− (F ◦ α)α

) dt.

W¨ are α

(t

) = 0, so w¨ are auch α

(t

) = 0, und das kann bei einer glatten Parame- trisierung nicht vorkommen. Also muß α

(t) 6= 0 f¨ ur alle t ∈ I gelten. Das bedeutet, daß α

eine (eventuell nicht orientierungstreue) Parametertransformation ist. Wir setzen

β(s) := α(α

(s)).

Dann parametrisiert auch β die betrachtete L¨ osungskurve, und es gilt:

β(s) = (s, ϕ(s)) mit ϕ(s) = α

◦ α

(s).

Weil β

ω = (α

)

(α

ω) = 0 ist, folgt, daß ϕ eine L¨ osung der DGL ist.

2.4 Satz. Sei ω eine Pfaffsche Form auf G. Ist h : G → R eine nirgends verschwindende stetige Funktion, so haben die Gleichungen ω = 0 und h · ω = 0 die gleichen L¨ osungen.

Beweis: Ist α ein stetig differenzierbarer Weg, so ist α

(h · ω) = (h ◦ α) · α

ω.

Daraus folgt die Behauptung.

Definition. Sei ω = a dx + b dy eine Pfaffsche Form auf einem Gebiet G ⊂ R

. Dann heißt ω in einem Punkt x

∈ G regul¨ ar, falls (a(x

), b(x

)) 6= (0, 0) ist.

Andernfalls heißt ω in dem Punkt x

singul¨ ar.

Sei ω = a dx + b dy in x

regul¨ ar. Ist b(x

) 6= 0, so gibt es eine Umgebung U = U (x

), so daß b(x) 6= 0 f¨ ur alle x ∈ U ist. Dann ist 1

b · ω = dy − (− a

b ) dx eine

2 Beispiele und L¨ osungsmethoden 133

Pfaffsche Form, die der DGL y

= − a(x, y)

b(x, y) entspricht. Ist b(x

) = 0 und a(x

) 6= 0, so geht man analog vor. Einer beliebigen Pfaffschen Form auf einem Gebiet des R

k¨ onnen wir i.a. nur lokal eine explizite DGL zuordnen. Allerdings entsprechen die L¨ osungen der Gleichung ω := a dx + b dy = 0

” fast“ den Integralkurven der impliziten Differentialgleichung by

+ a = 0. Daß die Integralkurven t 7→ (t, ϕ(t)) der DGL auch L¨ osungen der Pfaffschen Form sind, ist offensichtlich. Ist umgekehrt α eine L¨ osung der Gleichung ω = 0 und α

(t

) 6= 0 (keine senkrechte Tangente), so ist die Spur von α in der N¨ ahe von t

Graph einer Funktion ϕ, und ϕ(t) eine L¨ osung der DGL.

Beispiel.

Sei ω := x dx + y dy. Dann sind alle durch α(t) := (r cos t, r sin t) parametri- sierten Kreise L¨ osungskurven von ω = 0. Diese Kreise k¨ onnen nat¨ urlich nicht Integralkurven einer DGL sein, denn dann m¨ ußten sie im Definitionsgebiet von Rand zu Rand laufen.

Tats¨ achlich ist yy

+ x = 0 f¨ ur y 6= 0 die DGL y

= −x/y mit getrennten Variablen. Eine L¨ osung y = y(x) erh¨ alt man aus der Gleichung

Z

y dy =

− Z

x dx, also y

= −x

+ c. Mit c = r

ergibt das y(x) = ±r p

1 − (x/r)

.

Die Halbkreisb¨ ogen enden jeweils dort, wo die Tangente senkrecht wird.

Definition. Die Funktionen a, b auf dem Gebiet G seien stetig. Eine stetig dif- ferenzierbare Funktion f : G → R heißt Stammfunktion oder erstes Integral der DGL b(x, y) y

+ a(x, y) = 0 (bzw. der Pfaffschen Form ω = a dx + b dy), falls f¨ ur jedes c ∈ R die Niveaumenge {(x, y) : f (x, y) = c} eine lokal-endliche Vereinigung von Integralkurven der DGL ist.

Kann man die Gleichung f(x, y) = c lokal nach y aufl¨ osen, so erh¨ alt man L¨ osungen der DGL. Das ist der Sinn der ersten Integrale.

Definition. Die DGL b y

+ a = 0 (bzw. die Pfaffsche Form ω = a dx + b dy) heißt exakt, falls es eine stetig differenzierbare Funktion g mit g

= a und g

= b (also dg = ω) gibt.

2

”lokal-endlich“ bedeutet: Jeder Punktx₀besitzt eine UmgebungU, so daßX∩U Vereinigung von endlich vielen Integralkurven ist.

2.5 Satz.

1. Ist f Stammfunktion von ω, so ist ∇f zu den Integralkurven von ω orthogonal.

2. Ist ω = a dx + b dy regul¨ ar und df = ω, so ist f eine Stammfunktion von ω.

Beweis: 1) Sei α : I → G eine Integralkurve und f(α(t)) ≡ c. Dann ist 0 = (f ◦ α)(t) = ∇f (α(t)) • α

(t).

2) Sei c ∈ R und X := {(x, y) : f (x, y) = c}. Weiter sei df = ω. Ist x

= (x

, y

) ∈ X, so ist (a(x

), b(x

)) 6= (0, 0), also z.B. f

(x

) 6= 0. Nach dem Satz ¨ uber implizite Funktionen gibt es eine Umgebung U = V × W von x

, so daß gilt:

U ∩ X = {(x, y ) ∈ V × W : y = ϕ(x)},

mit einer stetig differenzierbaren Funktion ϕ : V → W . Setzen wir α(t) := (t, ϕ(t)), so ist f (α(t)) ≡ c uber ¨ V . Dann ist α

ω = d(f ◦ α) = 0, also α L¨ osung der Gleichung ω = 0. Umgekehrt muß f auf jeder L¨ osungskurve konstant sein, also liegt die Integralkurve α ganz in X.

Definition. Sei ω eine Pfaffsche Form auf dem Gebiet G ⊂ R

. Eine stetige, nirgends verschwindende Funktion h : G → R heißt Eulerscher Multiplikator oder integrierender Faktor f¨ ur ω, falls h · ω exakt ist.

Beispiel.

Die Pfaffsche Form ω = y dx + 2x dy ist nicht exakt (denn hier ist a

= 1 und b

= 2). Aber es ist

√ 1

x · ω = y

√ x dx + 2 √ x dy exakt. Setzen wir n¨ amlich F (x, y) := 2y √

x, so ist F

(x, y) = y/ √ x und F

(x, y) = 2 √

x.

Es ist i.a. sehr schwierig, einen Eulerschen Multiplikator zu finden. In manchen F¨ allen f¨ uhrt allerdings schon der Ansatz h = h(x) zum Ziel.

Beispiel.

Ist ω = a dx+b dy, b 6= 0 und h = h(x) und h·ω exakt, so muß (h·a)

= (h·b)

sein, also h · (a

− b

) = h

· b. Daraus folgt:

2 Beispiele und L¨ osungsmethoden 135

a

− b

b = h

h = (ln ◦h)

, also

h(x) = exp Z

a

(x, y ) − b

(x, y ) b(x, y) dx

.

Sei etwa ω = (2x

+ 2xy

+ 1)y dx + (3y

+ x) dy. Dann ist a

− b

b = 2x, und der obige Ansatz liefert h(x) = e

. Nun suchen wir eine Funktion f mit

f

= e

y(2x

+ 2xy

+ 1) und f

= e

(3y

+ x).

Integration nach y liefert f(x, y) =

Z

f

dy = e

(y

+ xy) + ϕ(x),

mit einer noch unbekannten Funktion ϕ. Differentiation nach x liefert nun f

(x, y) = e

y + 2x · e

(y

+ xy) + ϕ

(x) = e

y(1 + 2xy

+ 2x

) + ϕ

(x).

Also k¨ onnen wir ϕ

= 0 w¨ ahlen. Damit ist

f(x, y) = e

(xy + y

) + c.

Tats¨ achlich ist dann df = ω. Die Gleichung f(x, y) = c ist genau dann erf¨ ullt, wenn y(x + y

) = 0 ist. Sei α(t) := (t, 0) und β(t) := (−t

, t). Dann ist

α

ω = 0 und β

ω = (2t

− 2t

+ 1)t(−2t) + (3t

− t

)

dt = 0.

So haben wir zwei L¨ osungen der Gleichung ω = 0 gefunden.

§ 3 N¨ aherungsl¨ osungen und lokaler Fluß

Wir betrachten ein Gebiet G ⊂ R

und eine DGL y

= F (t, y),

wobei F : G → R

lokal der Lipschitz-Bedingung gen¨ ugt.

F¨ ur (t, y) ∈ G sei I(t, y) das maximale Definitionsintervall der L¨ osung ϕ = ϕ

mit ϕ(t) = y. Dann setzen wir

Ω := {(s; t, y) ∈ R × G : (t, y) ∈ G und s ∈ I(t, y)}.

Die Abbildung ϕ b : Ω → R

mit

ϕ(s; b t, y) := ϕ

(s) nennt man die allgemeine L¨ osung der DGL.

Dann ist ϕ b nach der ersten Variablen partiell differenzierbar, und es gilt:

∂ ϕ b

∂s (s; t, y) = F (s, ϕ(s; b t, y)) und ϕ(t; b t, y) = y.

3.1 Satz. Sei (t, y) ∈ G und s ∈ I(t, y). Dann ist I (s, ϕ(s; b t, y)) = I (t, y) und ϕ(u; b s, ϕ(s; b t, y)) = ϕ(u; b t, y),

also insbesondere ϕ(t; b s, ϕ(s; b t, y)) = y.

Beweis: Sei ψ

:= ϕ

und ψ

:= ϕ

. Beides sind L¨ osungen, und es ist ψ

(s) = ψ

(s). Also ist ψ

= ψ

, und daher

ϕ(u; b s, ϕ(s; b t, y)) = ϕ(u; b s, ψ

(s)) = ψ

(u) = ψ

(u) = ϕ(u; b t, y).

3.2 Lemma von Gronwall. Sei t

< t

≤ ∞ und g : [t

, t

) → R stetig. Weiter sei α ≥ 0 und β > 0. Ist nun

0 ≤ g(t) ≤ α + β Z

t0

g(τ) dτ f¨ ur t ∈ [t

, t

), so ist auch

g(t) ≤ α · e

f¨ ur t ∈ [t

, t

).

3 N¨ aherungsl¨ osungen und lokaler Fluß 137

Beweis: Sei u(t) := e

Z

t0

g(τ ) dτ . Dann ist u(t

) = 0 und u

(t) = −βu(t) + e

g(t)

≤ −βu(t) + e

(α + β Z

t0

g(τ) dτ )

= α · e

,

also α · e

− u

(t) ≥ 0. Integration ¨ uber [t

, t] ergibt:

− α

β (e

− e

) − u(t) ≥ 0, also

g(t) ≤ α + β Z

t0

g(τ ) dτ

= α + β · e

u(t)

≤ α + β · e

· α

β (e

− e

)

= α · e

.

Definition. Sei J ⊂ R ein Intervall. Eine stetig differenzierbare Funktion ϕ : J → R

heißt eine ε-N¨ aherungsl¨ osung, falls gilt:

1. (t, ϕ(t)) ∈ G f¨ ur t ∈ J.

2. kϕ

(t) − F (t, ϕ(t))k ≤ ε f¨ ur t ∈ J.

Sei J ⊂ R ein Intervall und B ⊂ R

eine Kugel, so daß J × B in G enthalten ist und F auf J × B einer Lipschitzbedingung mit Lipschitzkonstante k gen¨ ugt.

3.3 Satz. Uber dem Intervall ¨ J sei ϕ

eine ε

-N¨ aherung und ϕ

eine ε

-N¨ ahe- rung. Außerdem sei t

∈ J und ε = ε

+ ε

. Dann ist

kϕ

(t) − ϕ

(t)k ≤ kϕ

(t

) − ϕ

(t

)k · e

+ ε

k · (e

− 1) f¨ ur alle t ∈ J.

Beweis: Weil kϕ

(t) − F (t, ϕ

(t))k ≤ ε

ist, folgt:

kϕ

(t) − ϕ

(t

) − Z

t0

F (u, ϕ

(u)) duk

= k Z

t0

ϕ

(u) − F (u, ϕ

(u)) duk

≤ ε

|t − t

|.