Anhang 16: Abstandsmenge

Anhang 16: Abstandsmenge

Initialaufgabe:

Zeichne alle Punkte, die von einer gegebenen Geraden g den Abstand 2 cm ha- ben.

Lösung:

Die beiden Parallelen zu g im Abstand 2cm.

Hinweis: Unter dem Abstand zweier Punktmengen versteht man das Minimum aller Entfernungen zwischen einem Punkt der einen und einem Punkt der ande- ren Menge.

Mögliche Variationen durch

analogisieren:

a) ... gegebenen Strecke s ...

s

(zwei zu s parallele und gleichlange Strecken im Abstand 2 cm sowie die beiden verbindenden Halbkreise)

Hinweis: Im Falle einer Halbgerade h sind es zwei Halbgeraden im Abstand 2 cm sowie ein sie verbindender Halbkreis.

b) ... gegebenen Kreis k ...

(Ist der Radius r von k größer als 2 (cm), so besteht die gesuchte Menge aus zwei zu k konzentrischen Kreisen mit den Radien r + 2 und r − 2. Im Falle r

< 2 entfällt der zweite Kreis.

c) ... gegebenen Quadrat q ...

(Hat das Quadrat eine Seitenlänge s > 4, so ergibt sich ein äußeres Rahmen- quadrat mit der Seitenlänge s + 4 mit abgerundeten Ecken (Viertelkreise vom Radius 2) und ein inneres konzentrisches Quadrat der Seitenlänge s − 4.

Im Falle s < 4 entfällt das zweite Quadrat.

79

q

d) ... gegebenen Geradenpaar g1,g2 ...

Fallunterscheidung:

α) g1 || g2

(Parallele zu g1 (g2) auf der zu g2 (g1) abgewandten Seite im Abstand 2 cm und eventuell (falls die beiden gegebenen Geraden einen Abstand > 4 cm haben) zwei entsprechende Parallelen (bei Abstand 4 eine Parallele) zwi- schen g1 und g2 .)

ß) g1 || g2

(Hier ergeben sich 8 Halbgeraden gemäß nachstehender Zeichnung.)

g2 g1

e) ... gegebenen Menge aus drei Punkten Pi ...

P 1

P 2

P 3

umzentrieren:

a) Zeichne alle Punkte, die von zwei gegebenen Geraden denselben Abstand ha- ben.

(beide Winkelhalbierenden bzw. (falls die gegebenen Geraden parallel sind) die Mittelparallele)

b) Zeichne alle Punkte, die von einer gegebenen Geraden g1 den Abstand 2cm und zugleich von einer anderen gegebenen Geraden g2 den Abstand 3 cm ha- ben.

(im Falle g1 || g2 : Falls der Abstand von g1 und g2 5 cm ist, eine Gerade, sonst die leere Menge

im Falle g1 || g2 : 4 Punkte als Schnittpunkte entsprechender Parallelen)

c) Zeichne einen Kreis und eine Gerade, die den Abstand 2 cm voneinander ha- ben.

(Kreis, Mittelpunktsehne um 2 cm verlängert, im neuen Endpunkt die Senk- rechte)

Dimension ändern:

Bestimme alle Punkte im Raum, die von einer gegebenen Geraden g den Ab- stand 2 cm haben.

((unendlich langer) Zylinder mit Radius 4 cm und g als Drehachse) umkehren:

Gegeben ist eine Gerade g. Gesucht ist diejenige Figur, von der g die Menge aller Punkte mit Abstand 2 von ihr ist.

81 (Eine solche Figur gibt es nicht.)

kombinieren:

a) Zeichne alle Punkte, die von einem gegebenen Kreis k₁(M₁;r₁) den Abstand 2 und von einem weiteren gegebenen Kreis k2(M2;r2) den Abstand 3 haben.

(Schnittpunkte des Kreises um M₁ mit Radius r₁ + 2 und des Kreises um M₂ mit dem Radius r₂ + 3 (nur existent, wenn |M₁M₂| < r₁ + r₂ + 5).)

b) Zeichne alle Punkte, die von zwei gegebenen Strecken denselben Abstand haben.

t2 S1 t1

T1

S2

T2

(Es ergeben sich Teilstrecken auf den Winkelhalbierenden der zugehörigen Geraden, und zwar solche, die zwischen den inneren Loten der Streckenend- punkte auf die Halbierenden liegen.)

c) Welches ist die Menge aller Punkte, die von einem Würfel den Abstand 2 cm haben?

(Analog zum Quadrat in der Ebene ergibt sich ein äußerer Würfel, der auf al- len Seiten jeweils 2 cm übersteht und an den Ecken durch „Achtelkugeln“ mit dem Radius 2 cm abgerundet ist, sowie möglicherweise ein innerer Würfel, dessen Seiten um 4 cm kleiner sind.)

Hinweis: Geht man auch im Raum vom Quadrat aus, so erhält man einen 4cm hohen Quader (mit dem gegebenen Quadrat als Mittelfläche), dem an den seitlichen Quadraten halbe Zylinder aufgesetzt sind.)

Anhang 17: Dreieckszerlegung

Initialaufgabe:

Kann man ein gleichseitiges Dreieck durch eine Gerade in zwei gleichseitige Dreiecke zerlegen?

Lösung(en):

Die Gerade muß jedenfalls durch eine Ecke verlaufen, da sonst keine zwei Drei- ecke entstehen.

a) Die Teilung des dortigen 60°-Winkels schafft zwei Winkel mit Maß < 60°.

Solche kommen in einem gleichseiti- gen Dreieck nicht vor.

b) Die gegenüberliegende Seite wird in zwei kleinere Seiten aufgeteilt. Auch dies verstößt gegen die Gleichseitig- keit.

c) Bei D entstehen zwei Winkel mit Maßsumme 180°, also keine zwei Winkel mit Maß 60° .

d) Zwei gleichseitige Dreiecke können beim Zusammenlegen höchstens ein Viereck (eine Raute), aber kein Dreieck bilden.

Hinweis: Die Beweise a) – c) sind Analysen, d) eine Synthese.

Mögliche Variationen:

zunächst durch Anwenden der What-else-Strategie.

a)

... in drei, vier, n gleichseitige Dreiecke ...

(implizite Strategie: geringfügig ändern bzw. verallgemeinern) (in 4:

durch die drei Mittelparallelen

in m²:

über Rauten oder gemäß 1 + 3 + 5 + ... (2m−1) = m²

A B

C

D

83 (s. Zeichnung mit m = 5)

in 2m:

m (> 1)

Dreiecke über einer Seite (s. Zeichnung), m−1 dazwischen und großes Teil- dreieck darüber

in 2m + 3:

großes Dreieck zerlegt in 4 kleinere

Fazit: Die gewünschte Zerlegung ist möglich für alle n außer 2,3 und 5.

b)

... in zwei gleichschenklige Dreiecke ...

(Bedingung entschärfen)

(Zerlegung ebenfalls nicht möglich: Jedes gleichschenklige Dreieck hat einen 60°-Winkel und wäre deshalb gleichseitig.)

c)

... in zwei rechtwinklige Dreiecke ...

(Bedingung entschärfen bzw. Unmögliches möglich machen) (Zerlegung immer möglich, nämlich durch eine Höhe)

Hinweis: Man sieht sofort, daß diese Teilung iteriert werden kann, indem man die entstehenden rechtwinkligen Teildreiecke durch die dortige (klein- ste) Höhe jeweils weiterzerlegt. Als Ausgangsdreieck kann sogar ein beliebi- ges Dreieck dienen.

d)

Kann man ein Quadrat durch eine Gerade in 2 (in n) Quadrate zerlegen?

(analogisieren)

(Wie oben ist eine solche Zerlegung möglich für alle n ≠ 2,3,5 .)

e)

Kann man ein regelmäßiges Tetraeder durch eine Ebene in 2 (in n) regelmä- ßige Tetraeder zerlegen?

(Dimension verändern)

(Nein. Auch eine Zerlegung in andere Anzahlen von Teilkörpern ist nicht möglich. Bei einer Zerlegung etwa durch mittelparallele Ebenen (in Analogie zu den o.a. Zeichnungen) bleiben in der Mitte nichttetraedrische Körper üb- rig.)

f)

... durch einen Kreis ...

(analogisieren)

(Das ist natürlich unmöglich. Aber wir können die Frage verbessern. )

g)

... durch einen Kreis in zwei inhaltsgleiche Teilfiguren ...

(sinnvoll machen)

(Der Sektor umfaßt die Hälfte des Dreiecksinhaltes, wenn

πr

s

2 2

6 1 2

1 4 3

= ⋅( ) , wenn also

r = 3 3 ⋅ ≈s s

4 0 63

π , ist.

h) Kann man aus zwei gleichschenkligen Dreiecken ein gleichschenkliges Drei- eck zusammenbauen?

(Richtung umkehren (wobei die Unmöglichkeit für gleichseitige Dreiecke (s.o.) bereits berücksichtigt ist)

(Ja, z.B. so:

α = β + γ ∧ α = 2β ⇒ β = γ ∧ α = 2γ

zusammen mit 2α + γ = 180° folgt 5γ = 180° , also γ = 36°

und schließlich α = 72° sowie β = 36°

Geht´s auch noch anders?

s r

α2 α1

α3 β1

β2 γ

85

Weitere Variationsmöglichkeiten ergeben sich durch geeignete Kombination der vorab dargestellten Varianten. Dazu noch einige Beispiele.

i)

Kann man ein Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen?

(Sicher nicht alle Dreiecke, wie man am gleichseitigen Dreieck sehen kann.

α) sicher jedes rechtwinklige Dreieck (Umkehrung des Thales-Satzes)

β) sodann jedes Dreieck, bei dem zwei Winkel das Maßverhältnis 2:1 haben (s.u. links)

γ) schließlich jedes Dreieck, bei dem zwei Winkel das Maßverhältnis 3:1 ha- ben (s.o. rechts)

Man kann sowohl analytisch wie auch synthetisch zeigen, daß diese drei (nicht disjunkten) Fälle die einzigen sind.)

j)

Kann man ein Dreieck in drei (n) gleichschenklige Dreiecke zerlegen?

(α) drei:

ja, wenn es spitzwinklig ist. Man verbindet dazu den Umkreismittelpunkt mit den drei Ecken.

β) n (>2):

ja, wenn n gerade ist. Dann zerlegt man das Dreieck in n/2 rechtwinklige Dreiecke (s.o.) und jedes dieser Teildreiecke noch einmal in zwei gleich- schenklige (s.o.) )

Hinweis: Weitere Möglichkeiten des Zerlegens bleiben fraglich.

k)

Gibt es zu jedem n > 2 ein Dreieck, das in n gleichschenklige Dreiecke zer- legt werden kann?

(nachfragen)

(ja; denn hat man schon eine Zerle- gung in i solche Dreiecke, so kann

β β/2

2β β

man seitlich stets ein weiteres gleichschenkliges Dreieck anhän- gen)

l)

Kann man ein Dreieck durch eine seitenparallele Gerade in zwei inhaltsglei- che Teilfiguren zerlegen?

(Da der Inhalt des entstehenden Teildreiecks die Hälfte des Inhalts des Aus- gangsdreiecks betragen muß, müssen seine Grundseite und seine Höhe das

1

2⋅ 2-fache der entsprechenden Strecken des größeren Dreiecks betragen.

87

Anhang 18: Stammbruchdarstellung

Initialaufgabe:

Ist jeder Stammbruch als Summe zweier Stammbrüche darstellbar?

Lösung:

Ja: ^{1 1}

2 1 2 n = n + n

Mögliche Variationen durch

interessant machen: ... als Summe zweier verschiedener Stammbrüche ...

(Ja: ^{1 1}

1

1 1 n= n+ + n⋅ +(n ))

iterieren: ... als Summe dreier (oder mehr) verschiedener Stammbrüche ...

(Ja, z.B. ¹

2 1 3

1 6

1 3

1 7

1

= + = + +42 usw.)

umkehren: Ist die Summe zweier Stammbrüche stets wieder (ggf. nach Kürzen) ein Stammbruch ?

(Nein: ¹

3 1 4

7 + =12 )

quantifizieren: Auf wie viele Weisen ist ¹

n als Summe zweier Stammbrüche dar- stellbar?

(Damit in ^{1 1 1}

n = n + d+x x eine natürliche Zahl ist, muß wegen

x =n nd d

2+ für d gelten d  (n² + nd), also d  n² sein. Es gibt also so viele Darstellungen wie n² Teiler hat. Allerdings führen dabei d und sein Gegenteiler ⁿ

d

2

zu zwei Darstellungen, die sich nur in der Reihenfolge der Summenden unterscheiden.)

analogisieren: Ist das Produkt zweier Stammbrüche wieder ein Stammbruch?

(Trivialerweise ja)

zurückkehren: Ist ein Stammbruch als Produkt zweier Stammbrüche darstell- bar?

(Ja: ^{1 1 1}

1

n= ⋅n . Und wenn man diesen Trivialfall ausschließt: Ja, wenn n keine Primzahl ist. )

verallgemeinern: Ist jede Bruchzahl (positiv-rationale Zahl) als Summe zweier Stammbrüche darstellbar?

(Trivialerweise nein: Eine solche Summe ist höchstens 2.) wesentlich machen: Ist jede Bruchzahl < 1 als Summe zweier Stammbrüche darstellbar?

(Nein: z.B. ⁴

5 nicht. Einer dieser Stammbrüche müßte ¹

2

sein und ⁴

5 1 2

3

= +10.)

abschwächen: Ist jede Bruchzahl < 1 als Stammbruchsumme darstellbar?

(Ja, auch wenn sie kein Stammbruch ist: ^a

b= + + +b1 b1 b1 ...

(a Summanden))

kombinieren: Ist jede Bruchzahl < 1 als Summe von verschiedenen Stammbrü- chen darstellbar?

(Ja, z.B. indem man sie sukzessive durch den jeweils größten Stammbruch ausschöpft. Mehr dazu bei

Schupp,H.: Zur Stammbruchdarstellung der Bruchzahlen, Praxis der Mathematik 16 (1974), S.285)

präzisieren: Ist eine solche Darstellung (bis auf Reihenfolge) eindeutig?

(Nein, z.B. ist ³

7 1 3

1 11

1 231

1 3

1 12

1

= + + = + +81 ; s. auch unter iterieren) nachfragen: Ist jede Bruchzahl als Summe von verschiedenen Stammbrüchen darstellbar?

(Ja, wegen der Divergenz der harmonischen Reihe. (Eine solche Antwort ist aber erst in der SII möglich.))

analogisieren: Ist jede Bruchzahl < 1 als Differenz zweier Stammbrüche dar stellbar?

(Nein, wegen ^{1 1}

n n i

i n n i

− + = ⋅ +( ) nur Brüche der Form ⁱ

n⋅ +(n i), also etwa ²

35 im Unterschied zu ³

35.)

analogisieren: Ist jede Bruchzahl < 1 als Quotient zweier Stammbrüche darstell- bar?

89

(Trivialerweise sogar jede Bruchzahl: ^a

b= b a1 1 : )

Anhang 19: Beckenfüllung

Initialsituation:

In ein Klärbassin einer Zuckerfabrik kann Wasser durch zwei Kanäle eingelas- sen werden. Der erste vermag das leere Becken in 6 Stunden, der zweite in 9 Stunden zu füllen. In welcher Zeit wird es angefüllt, wenn das Wasser durch beide Kanäle zugleich einfließt?

Lösung (en):

1. kgV(6;9) = 18. In 18 Stunden würde der erste Kanal das Becken 3 mal, der zweite 2 mal füllen, beide zusammen demnach 5 mal. Dann brauchen sie für eine Füllung den fünften Teil von 18 Stunden. Das sind 3 Stunden und 36 Minuten.

2. Sei x die gesuchte Anzahl der Stunden. Dann gilt: In einer Stunde füllt der erste Kanal 1/6 des Beckens, der zweite 1/9, und beide zusammen 1/x. Es folgt 1/6 + 1/9 = 1/x mit der Lösung x = 3,6.

3. x wie in 2. In x Stunden füllt der erste Kanal x/6 des Beckens, der zweite x/9, und zusammen füllen sie es ganz: x/6 + x/9 = 1 ⇒ x = 3,6.

Mögliche Variationen

:

a) Beide Kanale sind gleich leistungsfähig. Sie brauchen je 6 Stunden. Wie lan- ge brauchen sie zusammen?

Strategie: spezialisieren

(Wegen verdoppelter Leistung brauchen sie nur die halbe Zeit: 3 Stunden.) Hinweis: Dieser einfache Sonderfall kann auch als Zwischenstufe bei der Lö- sung des Initialproblems nützlich sein, um vorschnellen Kalkulationen zu wehren (6 + 9, 9 − 6, ½ · (9+6) usw.) und die gesuchte Zahl zu schätzen.) b) Der erste Kanal braucht 5 Stunden. Zusammen brauchen sie 4 Stunden. Wie

lange braucht der zweite allein?

Strategie: gegebene und gesuchte Größen vertauschen (1/5 + 1/x = 1/4 ⇒ x = 1/(1/5−1/4) = 20

Allein braucht der zweite Kanal 20 Stunden (weshalb er auch die Gesamtlei- stung nicht wesentlich verbessert).)

c)

Der zweite Kanal ist 2 Stunden gelaufen. Dann erst tritt Wasser durch den ersten Kanal hinzu. Wie lange dauert es noch, bis das Bassin gefüllt ist?

Strategie: Situation anreichern (2/9 + x/6 + x/9 = 1 ⇒ x = 2,8 Es dauert noch knapp 3 Stunden.)

d)

Um das Klärbassin in 2 Stunden füllen zu können, soll noch ein dritter Ka- nal gebaut werden. Welche Leistung muß er mindestens bringen?

Strategie: Zielvorgabe ändern (1/6 + 1/9 + 1/x = 1/2 ⇒ x = 4,5

Der dritte Kanal allein muß das Becken in mindestens 4½ Stunden füllen können.)

e)

Das Bassin hat auch zwei Abflüsse. Der eine leert das volle Becken in 3 Stunden, der andere in 2 Stunden. Wie lange brauchen sie dazu zusammen?

Strategie: Situation anreichern (x/3 + x/2 = 1 ⇒ x = 1,2

Sie brauchen zusammen etwa 1 Stunde und 12 Minuten.)

f)

Eine Tageszeitung hat für ihre tägliche Auflage eine Rotationspresse, die sie in 3 ½ Stunden druckt. Es wird eine neue angeschafft, die das in 2 ½ Stunden schafft. Wie lange brauchen jetzt beide zusammen?

Strategie: analoge Situationen suchen (x/3,5 + x/2,5 = 1 ⇒ x = 1 11/24 Sie brauchen etwa anderthalb Stunden.)

g

) Peter schafft den „Minutenwalzer“ von Chopin in 90 Sekunden, Paul in 80 Sekunden. Schaffen Sie die Minute wenigstens zusammen?

Strategie: die Grenzen eines Modells erkunden

(Die Initiallösung setzt voraus, daß die beiden Leistungen addierbar sind.

Das ist hier selbstverständlich nicht der Fall.)

91

Anhang 20: Thales-Satz

Initialaufgabe:

Der Satz des Thales lautet: Der Winkel im Halbkreis ist ein Rechter.

Genauer: Wenn man die beiden Enden der Mittelpunktssehne eines Kreises mit einem weiteren Kreispunkt verbindet, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck.

Beweise diesen Satz.

Lösung:

Wegen α = γ1 und β = γ2 (Basiswinkel) nimmtγ = γ1+ γ2

die halbe Dreieckswinkelsumme ein.

Hinweis:

Im Unterricht wird man die Aussage selbstverständlich erarbeiten.

Mehrfach erprobter Vorschlag der Kol- leginnen Debertshäuser, Keilhold und

Klug von der Lenné-Gesamtschule in Potsdam: (Bewußt unfaire) Wette, daß der Lehrer bzw. die Lehrerin in einen vorgegebenen Kreis mit bloßem Lineal in einer Minute mehr rechtwinklige Dreiecke einzeichnen kann als der Schüler mit einem rechtwinkligen Dreieck.

Mögliche Variationen:

a) C

soll a) im Innern b) im Äußeren des Kreises liegen.

Strategie: Bedingung ändern

(α) Im rechtwinkligen Dreieck BCD ist der Winkel bei D spitz, δ also stumpf. Kurz: ADB mit D inner- halb des Halbkreises ist stumpf.

A B

C

M

α β

γ1 γ2

A M B

C D

E

δ

ε

Und: Wenn D sich M nähert, nähert sich δ einem gestreckten Winkel.

(Das läßt sich mit einer DGS beson- ders gut demonstrieren.)

β) Der Winkel ε im rechtwinkligen Dreieck BCE ist spitz. Demnach:

AEB mit E außerhalb des Halbkrei- ses ist spitz.

Hinweis: Damit ist auch die Umkehrung des Thales-Satzes gezeigt: Ist ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse AB, so liegt C auf dem Kreis mit AB als Mittelpunktssehne.

Anders formuliert: Der Kreis mit Mittelpunktssehne AB ist die Menge aller Punkte, von denen aus AB unter einem rechten (Seh)Winkel erscheint.

Noch anders: Jedem rechtwinkligen Dreieck kann ein Halbkreis umbe- schrieben werden.)

b)

Was unterscheidet die rechtwinkligen Dreiecke in einem Halbkreis?

Strategie: differenzieren und extremalisieren (Gemeinsam haben sie selbstver-

ständlich den rechten Winkel und die Hypotenuse; sie unterscheiden sich neben der Größe der beiden spitzen Winkel vor allem in der Höhe über der Hypotenuse als Grundlinie und damit auch im Flä- cheninhalt. Die Höhe ist maximal für das gleichschenklige unter den rechtwinkligen Dreiecken, nämlich gleich dem Halbkreisradius r. Für den Inhalt A gilt dann A = ½ ·2r ·r

= r². Zu den Flanken hin werden Höhe und Inhalt beliebig klein.)

c)

Was folgt daraus für den Vollkreis?

Strategie: symmetrisieren

(Spiegelt man die letzte Zeichnung an AB, so ergibt sich: Jeder rechtwinkli- ge Drachen hat einen Umkreis. Unter allen einem Kreis einbeschriebenen rechtwinkligen Drachen hat das Quadrat einen maximalen Flächeninhalt.

A B

C

M h h

r

g

93

Punktspiegelt man die Zeichnung an M, so ergibt sich: Jedes Rechteck hat einen Umkreis. Unter allen Rechtecken im Kreis hat das Quadrat maximalen Flächeninhalt.)

d)

Was passiert, wenn man im Vollkreis von einer Sehne ausgeht, die nicht durch den Mittelpunkt verläuft?

Strategie: verallgemeinern

(Anhand einer Zeichnung stellt man experimentierend und messend fest: Es tauchen jetzt keine rechten Winkel mehr auf, sondern spitze Winkel auf der einen Seite der Ausgangssehne und stumpfe Winkel auf der anderen Seite.

Wohl aber bleibt erhalten, daß Winkel auf derselben Seite gleiches Maß ha- ben, und daß die Maße zweier Winkel auf entgegengesetzten Seiten sich zu 180° ergänzen.

Der Beweis dieser Vermutungen ist recht schwierig¹ und kann bei Zeitnot entfallen. Doch sollte wenigstens auf den Bezug zu den (doppelt so großen) Mittelpunktswinkeln über jeweils demselben Kreisbogen hingewiesen wer- den.)

e)

Gibt es auch jetzt noch Dreiecke maximalen Inhalts?

Strategie: kombinieren

1s. etwa Schupp,H.: Figuren und Abbildungen. Hildesheim: Franzbecker 1998 59.2 ° 59.2 °

120.8 °

120.8 ° 118.4 °

241.8 °

94

(Immer noch ist das gleichschenklige Dreieck unter allen winkelgleichen auf derselben Seite der Sehne maximal. Denn gegenüber der Mittelpunktsehne werden alle Höhen um den gleichen Betrag erhöht bzw. erniedrigt.

Daraus folgt sofort, daß unter allen Vierecken im Kreis durch zwei feste Kreispunkte dasjenige von maximalem Inhalt ist, welches die Verbindungs- strecke dieser beiden Punkte und deren Mittelsenkrechte zu Diagonalen hat (und damit ein rechtwinkliger Drachen ist).

Von den beiden gleichschenkligen Dreiecken auf unterschiedlichen Seiten der Sehne ist dasjenige das größere, das dem kleineren Bogen (dem Bogen mit dem kleineren Mittelpunktswinkel) gegenüberliegt.)

f)

Welche Besonderheiten weisen Vierecke (sog. Sehnenvierecke) im Kreis auf?

Strategie: reduzieren (von d) aus) bzw. verallgemeinern (von e) her)

(Zeichnet man eine Diagonale ein, so haben die beiden nichtgetroffenen Winkel nach 4. die Gradsumme 180°. Gleiches gilt für die beiden anderen Winkel (schon wegen der Winkelsumme 360°).)

g)

Statt des dem rechtwinkligen Dreieck umbeschriebenen Kreises wird nun ein Rechteck gewählt, das dessen Hypotenuse und Höhe als Seiten hat. Was an den bisherigen Ergebnissen ändert sich dadurch?

Strategie: Rahmen wechseln (metaphorisch und geometrisch zu verstehen) (Winkel: Läuft C von B nach D, so

schrumpft der zugehörige Winkel bis zum Winkel BDA. Sodann wächst er bis zur Mitte von DE, um danach wieder abzufallen bis zum Winkel AEB. Schließlich wächst er wieder, wenn C von E nach B läuft. All dies ergibt sich unter Beachtung des Thales-Krei- ses und der zuvor an diesem ge- wonnenen Kenntnisse.

Flächeninhalt: Auf dem gleichen Wege von C wächst er von B nach D, bleibt zwischen D und E konstant, und fällt von E nach A wieder ab.)

h)

Was passiert, wenn man zu den rechten Winkeln im Thales-Kreis die Hal- bierenden einzeichnet?

Strategie: Konfiguration anreichern (

A B

C D

E

45.0 °

95

Offensichtlich treffen sich die Halbierenden im Zenit des anderen Halbkrei- ses (im „Südpol“). Grund: Zum 45°-Peripheriewinkel gehört ein rechter Mittelpunktswinkel (s. 4.) Dessen freier Schenkel schneidet den gegen- überliegenden Halbkreis in S.)

Diese schöne Variante liegt leider nicht nahe. Es bedarf wohl einer Auffor- derung, die Halbierenden einzuzeichnen.

Hinweis:

Für diese Thematik empfiehlt sich eine DGS. Mit ihr kann man die wandernden Winkelscheitel sowie die von ihnen abhängigen Linien und Größen buchstäblich

„erfahren“.

Anhang 21: Mittelsenkrechtenschnittpunkt

Initialproblem:

Konstruiere ein Dreieck mitsamt seinen Mittelsenkrechten.

Was fällt Dir auf? Beweise Deine Vermutung.

Lösung:

bekannt

Medium:

(Zirkel/Lineal und dann) DGS

Mögliche Variationen durch

geringfügig ändern: an einer Dreiecksecke ziehen

(Einsicht, daß der Mittelsenkrechtenschnittpunkt bei spitzwinkligen Dreiecken in ihrem Innerem, bei stumpf- winkligen Dreiecken in ihrem Äußeren, bei rechtwinkligen Dreiecken auf der Hypotenusenmitte liegt)

analogisieren: statt der Mittelsenkrechte eine andere Dreieckstransversale ver- wenden

(Es kann sich dabei um eine übliche Transversale handeln, aber auch etwa um die Mittelparallele oder um eine selbsterdachte (z.B. die Viertelsenkrechte, welche nicht zu einem Schnittpunkt, sondern zu einem ähnlichen Dreieck führt, s. Figur))

97

kombinieren: die beiden vorab dargestellten Variationsmöglichkeiten analogisieren: statt von einem Dreieck von einem Viereck ausgehen Wie verhalten sich die Mittelsenkrechten dort?

spezialisieren: Bei welchen Vierecken haben die Mittelsenkrechten genau einen gemeinsamen Punkt? (Welche Vierecke haben einen Umkreis?) (die Sehnenvierecke, insbesondere die Rechtecke und Quadrate) verallgemeinern: Wie ist das bei einem n-Eck?

(grundsätzlich wie beim Viereck: Nur beim Sehnen-n-Eck gibt es einen gemeinsamen Punkt aller Mittelsenkrechten.) spezifizieren: Gibt es Sonderfälle?

(ja, das regelmäßige n-Eck. Dort haben auch die Winkelhalbie- renden einen gemeinsamen Punkt, den Mittelpunkt des Inkrei- ses. Er fällt mit dem Mittelpunkt des Umkreises zusammen.

Beim regelmäßigen (gleichseitigen) 3-Eck ist dieser gemeinsame Punkt auch der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden und der Höhen.)

kombinieren: die Variationen „Viereck“ und „andere Transversale“

(z.B. schließen die Winkelhalbierenden eines Parallelogramms ein Rechteck ein, die des Rechtecks ein Quadrat, die des Qua- drats sind kopunktal)

dynamisieren: eine Dreiecksecke entlang einer Linie (Gerade, Kreis) ziehen und mit dem Ortslinienmodus beobachten, wie der Mittelsenkrechten- schnittpunkt darauf reagiert

(Beispiel: Durchläuft die Ecke einen Kreis, so der Schnittpunkt eine Strecke (auf der fixen Mittelsenkrechte))

kombinieren: dynamisieren eines anderen Transversalenschnittpunktes durch Bewegen einer Ecke entlang einer anderen Linie

(Läßt man die Ecke z.B. auf dem Umkreis des Dreiecks wan- dern, so durchläuft der Höhenschnittpunkt einen gleichgroßen Kreis durch die beiden anderen Punkte spiegelbildlich zu deren Verbindungsgerade)

Für weitere Variationen s. Trunk; Weth 1999.

Hinweise:

1. In diesem Anhang haben wir erstmals das Medium Computer für den Unter-

99

richt herangezogen. Er macht darauf aufmerksam, welche Variationsmöglich- keiten uns die dynamische Geometrie-Software (DGS) bietet, und zwar durch den Zugmodus, der es gestattet, (völlig oder teilweise) unabhängige Basispunkte einer Konfiguration mit der Maustaste (beliebig oder liniengebunden) zu verän- dern, wobei abhängige Punkte entsprechend mitgezogen werden. Ohne ein sol- ches Medium sind die vorgeschlagenen Varianten schlechterdings nicht mach- bar. Schade, daß es (noch) keine dreidimensionale DGS gibt. So läßt sich die naheliegende Variation, wie sich die Mittelsenkrechtenebenen beim Tetraeder verhalten, wohl nur in „Kopfgeometrie“ (oder analytisch) bearbeiten.

Im nächsten Anhang soll deutlich werden, daß auch das eigene Programmieren Anlaß zu vielfältigen Variationen bieten kann.

2. Das Beispiel macht exemplarisch deutlich, welche Ausstrahlungen von einer Gesamtvariation auf früheren Unterricht (nach hinten, z.B. Dreieckstypen), auf späteren Unterricht (nach vorn, z.B. Mittelsenkrechten im Viereck), auf anson- sten ausbleibenden Unterricht (nach oben, z.B. Tetraeder) und auf vertiefenden Unterricht (nach unten, z.B. Ortslinien) ausgehen können.

Anhang 22: Computerprogramm

Initialproblem:

Schreibe ein Programm (in QBASIC), das nacheinander die natürlichen Zahlen ausgibt.

1. Lösung:

10 n = 0 20 PRINT n 30 LET n = n+1 40 GOTO 20

2. Lösung:

^{10 CLS}

20 n = 0 30 PRINT n;

40 n = n+1 50 SLEEP 1 60 GOTO 20

Mögliche Variationen durch

einschränken: ... die natürlichen Zahlen ab 18 ...

(20 n = 18)

... die natürlichen Zahlen bis 95 ...

(55 IF n = 96 THEN END)

kombinieren: ...die natürlichen Zahlen von 10 bis 100 ...

spezifizieren: ... die geraden (ungeraden) Zahlen ...

(40 n = n+2 (20 n = 1)) ... die Quadratzahlen ...

(30 PRINT n*n)

... die Dreier-Potenzen ...

(30 PRINT 3^n)

umkehren: ... die Dezimalzahlen, die sich aus 1 durch fortgesetzte Halbierung ergeben ...

(30 PRINT USING “#.##########“; n#/2 wobei durchgehend n# benutzt werden sollte)

... die Stammbrüche ...

(25 PRINT “1 / “ ; n# ; “ = “;

30 PRINT USING “#.############“;1/n#)

erweitern: ... die ganzen Zahlen (nicht unbedingt nacheinander) ...

(30 PRINT n; -n; (Wie kann man die - 0 vermeiden?)) verallgemeinern: ... eine arithmetische Folge ...

(20 n# = 3.2 (Anfangsglied)

40 n# = n# + 1.7 (konstante Differenz)) analogisieren: ... eine geometrische Folge ...

(20 n# = 3.2 (Anfangsglied)

40 n# = n# * 1.7 (konstanter Quotient)) anpassen: ... die Glieder der Fibonacci-Folge ...

(20 e& = 1 : PRINT e&

30 z& = 1 : PRINT z&

40 s& = e& + z&

50 PRINT s&

70 e& = z& : z& = s&

101 80 GOTO 40)

... und der zugehörigen Quotientenfolge ...

(50 PRINT s&, : PRINT USING “#.##########“; s& / z&)

Hinweis: In ähnlicher Weise kann das Ausgangsprogramm für die Bestimmung der Anfangsglieder einer jeden Folge herangezogen werden, die im Laufe der Schulzeit ansteht.

Anhang 23: Dürer-Quadrat

Initialaufgabe:

Im DÜRERschen Kupferstich „Melencolia I“ findet sich folgendes Zahlenquadrat

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Welche Besonderheiten weist es auf?

Lösung:

Besonderheiten:

a) Das Quadrat enthält die ersten 16 natürlichen Zahlen.

b) Alle Zeilen haben dieselbe Zellensumme (34).

c) Alle Spalten haben dieselbe Zellensumme (34).

d) Beide Diagonalen haben dieselbe Zellensumme (34).

Quadrate dieser Art heißen magisch.

Hinweise:

Die Summe 34 haben auch die 2x2-Blöcke an den Ecken und der 2x2-Block in der Mitte sowie die Zellen an den 4 Ecken.

Schließlich enthalten die beiden mittleren Zellen in der letzten Zeile das Entste- hungsjahr des Kupferstiches (und zugleich das Todesjahr von DÜRERs Mutter).

Mögliche Variationen:

a)

Gibt es noch andere solche Quadrate?

Strategie: nachfragen

(Zunächst werden trotz eifrigen Bemühens höchstwahrscheinlich keine wei- teren magischen 4x4-Quadrate gefunden.)

b)

Kann man wenigstens aus dem vorhandenen magischen Quadrat ein anderes herstellen?

Strategie: Problem erleichtern

(Man kann die acht Deckabbildungen eines Quadrats (Drehungen um den Mittelpunkt mit 0°, 90°, 180°, 270° sowie Spiegelungen an den Mittelparal- lelen und den Diagonalen) heranziehen.

Nachfolgendes magisches Quadrat entsteht aus dem DÜRERschen durch Spiegelung an der waagrechten Mittelparallele.)

4 15 14 1

9 6 7 12

5 10 11 8

16 3 2 13

Hinweis: Um der Meinung vorzubeugen, man hätte damit alle magischen 4x4-Quadrate gefunden, sollte man ein weiteres hinzufügen.

1 14 4 15

12 7 9 6

13 2 16 3

8 11 5 10

Noch besser: Man läßt nur die beiden mittleren Zeilen (oder Spalten) vertau- schen.

103

Insgesamt gibt es 110 wesentlich verschiedene magische 4x4-Quadrate, also 880 überhaupt.

c)

Gibt es andere magische nxn-Quadrate?

Strategie: verallgemeinern (n = 3:

Hier kann man mit Probieren durchkommen. Wegen der Gesamtsumme 45 muß die konstante Zeilen-, Spalten- und Diagonalensumme 15 sein.

Beispiel:

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Hinweis: Das ist das berühmte Lo-Shu-Quadrat, welches in China seit min- destens 3000 Jahren bekannt ist und als Glücksbringer gilt.

n = 2:

Wegen der konstanten Summe 5 (= ½ · (1+2+3+4)) müssen in den beiden Zeilen 1 und 4 sowie 2 und 3 kombiniert werden. In keinem Falle ergibt sich dann eine Spaltensumme 5. Magische 2x2-Quadrate existieren also nicht.

n = 5:

Wegen 1 + 2 + ... + 24 + 25 = 13 · 25 = 325 ist die konstante Summe 65.

Beispiel:

11 18 25 2 9

10 12 19 21 3

4 6 13 20 22

23 5 7 14 16

17 24 1 8 15

Hinweis: Es ist aussichtlos, ein solches Quadrat ohne Hilfe erstellen zu wol- len. Wohl aber erkennt man nachträglich den Algorithmus, mit dem das hier geschah: Fange unten in der Mitte an und gehe stets ins linke, untere Nach- barfeld. Falls man dabei an einen Rand kommt, so fahre man am entgegen- gesetzten Rand fort. Falls das nächste Feld besetzt ist, gehe man ein Feld nach oben. Auf diese Weise kann man alle nxn-Quadrate mit ungeradem n zulässig belegen. Auch für gerade n gibt es (indessen kompliziertere) Algo- rithmen.)

d)

Gibt es magische 4x4-Quadrate mit durchgehend konstantem Produkt?

Strategie: Grundbedingung abändern

(Dieses Produkt müßte 16⁴ ! sein. Da in 16! der Primfaktor 11 genau einmal vorkommt, ist diese Wurzel irrational. Es gibt also kein solches Quadrat.) Hinweis: Eine analoge Aussage gilt auch für alle anderen n. Ausnahme: Der

Trivialfall n = 1 mit der einzigen Zelle 1. (Er gehört auch zu c) ).

e)

Gibt es „fastmagische“ 4x4-Quadrate, bei denen gegenüber den magischen eine der Bedingungen a) – d) entfallen kann?

Strategie: Bedingung abschwächen (α) Wir lassen Bedingung d) fallen.

Dann ist es bei gegebenem magischen Quadrat möglich, die Zeilen zu permutieren. Dazu gibt es insgesamt 4! Möglichkeiten. 2 unter ihnen führen indessen wiederum zu magischen Quadraten (Identität und Spie- gelung an der Zeilenachse).

Ebenso ist eine Spaltenpermutation möglich mit analogen Auswirkun- gen.

Und schließlich eine Kombination der beiden Änderungstypen. Insge- samt erhält man so (4!)² fastmagische Quadrate, worunter sich die 8 ma- gischen aus b) befinden.

Beispiel:

16 2 3 13

5 11 10 8

4 14 15 1

9 7 6 12

Gegenüber dem DÜRER-Quadrat wurden hier die beiden mittleren Spal- ten und die beiden unteren Zeilen vertauscht.

Sicher ist das Zeilen- bzw. Spaltenvertauschen nicht die einzige Mög- lichkeit, Bedingung d) aufzugeben.

β) Wir streichen Bedingung c).

Jetzt können wir aus einem magischen ein fastmagisches Quadrat kon- struieren, indem wir innerhalb einer Zeile die nicht diagonal liegenden Zellen miteinander vertauschen. Dazu gibt es 2⁴ Möglichkeiten (darunter die nichts verändernde Identität).

Beispiel:

16 2 3 13

105

8 10 11 5

9 6 7 12

4 15 14 1

Gegenüber dem DÜRER-Quadrat wurden 3 mit 2 und 5 mit 8 vertauscht.

γ) Wir streichen Bedingung b).

Hier argumentieren wir analog zu β).

δ) Wir streichen Bedingung a).

Bisher gab es nur jeweils endlich viele Möglichkeiten. Jetzt sind es be- liebig viele.

Das gilt trivialerweise schon für diejenigen unter ihnen, bei denen jede Zelle dieselbe natürliche (ganze, rationale, reelle je nach bereits vorhan- denem Grundbereich) Zahl aufweist.

Oder für diejenigen, die man dadurch erhält, daß man jeden Zelleninhalt mit derselben Zahl multipliziert (zu jedem Zelleninhalt dieselbe Zahl ad- diert). Die konstante Summe verhält sich dann entsprechend.

Schließlich ist es möglich, zwei verschiedene fastmagische 4x4-Qua- drate dieser Art zellenweise zu addieren. Dabei addieren sich nämlich auch die konstanten Summen und führen eine konstante Summe herbei.

Beispiel:

3,1 1,1 4,6 1,6 ^10,4 6 -9 -6,5 1,5 ^-8

2,6 3,6 3,1 1,1 ^10,4 -5,5 0,5 1 -4 ^-8

1,1 2,1 1,6 5,6 ^10,4 -3 -5 -4,5 4,5 ^-8

3,6 3,6 1,1 2,1 ^10,4 -5,5 5,5 2 -10 ^-8

10,4 10,4 10,4 10,4 41,6 -8 -8 -8 -8 -32

9,1 -7,9 -1,9 3,1 ^2,4 18,60 -9,90 -29,90 2,40 ^-18,80 -2,9 4,1 4,1 -2,9 ^2,4 -14,30 1,80 3,10 -4,40 ^-13,80 -1,9 -2,9 -2,9 10,1 ^2,4 -3,30 -10,50 -7,20 25,20 ^4,20 -1,9 9,1 3,1 -7,9 ^2,4 -19,80 19,80 2,20 -21,00 ^-18,80

2,4 2,4 2,4 2,4 9,6 -18,80 1,20 -31,80 2,20 -47,20

Im rechten unteren Quadrat ist statt der stellenweisen Addition eine stel- lenweise Multiplikation durchgeführt worden. Hierbei geht die Konstanz der Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen verloren.)

Hinweis: In der Linearen Algebra kann man zeigen, daß die fastmagi- schen 4x4-Quadrate unter δ) mit ansonsten beliebiger Zellenfüllung ei- nen linearen Vektorraum bilden mit der durchgängigen Multiplikation als äußerer und der zellenweisen Addition als innerer Verknüpfung. Die- ser Vektorraum hat die Dimension 7.

Hinweis: Alle unter

e)

getroffenen Feststellungen gelten sinngemäß auch für n ≠ 4.

f)

Gibt es magische 4x4x4-Würfel?

Strategie: Dimension verändern

(Es müßte ein Würfel sein, bei dem alle 16 Zeilen, 16 Spalten und 16 Säulen sowie die beiden Raumdiagonalen die gleiche Summe haben, nämlich (1+ 2 + ... + 64) : 16 = 130.

Die nachfolgende Zeichnung zeigt ein Beispiel. Von unten nach oben wer- den die einzelnen Schichten vorgestellt.

1 60 56 13 48 21 25 36

63 6 10 51 18 43 39 30

62 7 11 50 19 42 38 31

4 57 53 16 45 24 28 33

32 37 41 20 49 12 8 61

34 27 23 46 15 54 58 3

35 26 22 47 14 55 59 2

29 40 44 17 52 9 5 64

Spiegelt man die schraffierten Zahlen am Würfelmittelpunkt, so erhält man die natürlichen Zahlen nach Schichten, Spalten und Zeilen geordnet. Damit erkennt man den Algorithmus, mit dem der magische Würfel konstruiert wurde.

107

Hinweis:

Diese Unterrichtseinheit im Variieren profitiert erheblich durch den Einsatz ei- ner Tabellenkalkulation. Insbesondere beschleunigt sie das systematische Abän- dern von Zahlenquadraten und erlaubt dadurch ein ökonomisches Experimentie- ren.

Anhang 24: Dreieckskonstruktion

Initialaufgabe:

Konstruiere ein Dreieck aus einer Seite und den beiden anliegenden Seitenhal- bierenden. Oder kurz:

Geg.: c, sa, sb

Ges.: ∆ ABC

Lösung:

∆ ABS ist konstruierbar nach sss (c, 2/3 sb, 2/3 sa),

∆ ABU nach sws (c, BAU, sa),

∆ ABC nach sws (2·UB, UBA, c).

Mögliche Variationen:

a)

Geg.: c, ha, hb

Ges.: ∆ ABC

A

B C

V U

S

Strategie: Transversalenart abändern (auch in b) und c)) (∆ ABU gemäß ssw (c, ha, AUB),

∆ ABV gemäß ssw (c, hb, AVB,

∆ ABC gemäß wsw ( BAV, c, UBA).)

b)

Geg.: c, w_α, w_β Ges.: ∆ ABC

(hierzu gibt es keine Lösung)

c)

Geg.: c, ma, mb

Ges.: ∆ ABC

(Hinweis: mc statt ma oder mb brächte keine weitere Information.)

(Ein beliebig angenommener Punkt C‘ führt mittels Spiegelung an den bei- den Mittelsenkrechten zu ∆ A’B’C‘, welches allerdings noch nicht die gege- bene Seitenlänge c hat. Dies erreicht man mittels eines Hilfskreises um A mit Radius c, der die Gerade durch A‘ und B‘ in H schneidet. Eine geeignete Parallelverschiebung führt zur Seite AB und von dort mittels Spiegelung von A an mb (oder von B an ma) zu C führt. ∆ ABC ist das Bild von ∆ A’B’C‘

bezüglich einer Streckung mit Zentrum M.

Ist diese Abbildung noch nicht bekannt, kann man experimentell vorgehen:

C‘ wird solange bewegt, bis A’B‘ die vorgegebene Länge hat.)

A

B C

V U H

C'

C

A'

A B'

B M

H ma

mb

109

d)

Geg: c, sa, sc

Ges.: ∆ ABC

Strategie: Transversalenlage abändern (auch in

f)

) (Lösung über ∆ AWS mit W als Mitte von c gemäß sss)

e)

Geg.: c, a, sc

Ges.: ∆ ABC

Strategie: Anzahlen (der geg. Seiten und Transversalen) abändern (auch in

f)

und

g)

)

(Lösung über ∆ WBC gemäß sss)

f)

Geg.: c, a, s_b Ges.: ∆ ABC

(Punktspiegelt man ∆ ABC an V, so ergibt sich ein Parallelogrammm, des- sen Teildreieck ABB‘ gemäß sss (c, 2 · BV, a) konstruierbar ist. C erhält man durch Spiegelung von A an V.)

g)

Geg.: sa, sb, sc

Ges.: ∆ ABC

A

B C

V B'

B C

V B'

S S'

(∆ ASS‘ erhält man gemäß sss (2/3 sa, 2/3 sb, 2/3 sc), C durch Spiegelung von A an der Mitte V von b und B durch Spiegelung von S‘ an S.)

h)

Geg.: c, s_a, h_a Ges.: ∆ ABC

Strategie: Transversalenarten kombinieren (∆ AUV gemäß ssw (AU, AV,

AVU, 2 Lösungen)

∆ VAB gemäß ssw (AB, AV, BAVB).

C ergibt sich durch Spiegelung von B an U.)

i)

Geg.: a, b, c, d

Ges.: Viereck ABCD

Strategie: Ausgangsfigur abändern

(Die vorgegebenen Seitenlängen genügen nicht zur eindeutigen Konstruktion des Vierecks (wie man auch an einem Gelenkviereck sehen kann). In jedem der beiden Teildreiecke hat man nur zwei Stücke statt der notwendigen drei.

Gibt man ein fünftes Stück dazu, etwa einen Winkel oder eine Diagonalen- länge, so läßt sich eines der Teildreiecke mit drei Stücken konstruieren (nach sss oder sws oder ssw). Man hat dann schon eine Seite des zweiten Teildrei- ecks, so daß sich dieses nach sss ergibt.

Hinweise:

1. Jede der angegebenen Strategien produziert zahlreiche weitere Beispiele. Daß dabei auch (im Unterschied zu unseren Lehrbüchern) die Mittelsenkrechten mit hineinkommen, läßt sich nicht vermeiden. Mit DGS-Unterstützung läßt sich zumindest eine experimentelle Lösung erreichen.

2. Wir haben hier ein gutes Beispiel dafür, wie langweilige Aufgabenpassagen in unseren Lehrbüchern durch Aufgabenvariationen ersetzt werden können.

Daß man dabei auf Aufgaben recht unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades A

B C

U V

111

oder sogar auf unlösbare Probleme stößt, ist keineswegs ein Nachteil, son- dern gibt ein repräsentatives Bild mathematischen Arbeitens.

Anhang 25: Abstandsgleichheit

Initialaufgabe:

Bestimme alle Geraden, die zu zwei verschiedenen Punkten A,B denselben Ab- stand haben.

Lösung(en):

Alle Parallelen zu g(A;B) und alle Geraden durch die Mitte M von s(A;B).

Mögliche Variationen durch

geringfügig ändern:

- ... drei verschiedenen Punkten ...

(falls A,B,C kollinear: alle Parallelen zu g(A,B,C); sonst: die drei Mittelparal- lelen in ∆ ABC)

- ... vier verschiedenen Punkten ...

(falls A,B,C,D kollinear: s.o.; falls A,B,C kollinear und D außerhalb: Mittel- parallele zu g(A,B,B) und Parallele durch D; falls A,B,C,D ein Parallelogramm

bilden: die beiden zugehörigenMittelparallelen; falls nur ein Trapez: die dortige Mittelparallele; ansonsten: keine)

verallgemeinern:

- ... n verschiedenen Punkten ...

(falls alle Punkte kollinear sind: s.o.; falls alle Punkte auf zwei verschiedenen Parallelen liegen: die zugehörige Mittelparallele; sonst: keine)

Dimension verändern:

- Bestimme alle Geraden im Raum, die ...

(wie im Ausgangsproblem (aber auf den Raum bezogen)) - ... alle Ebenen im Raum, ...

(alle Ebenen parallel zu g(A;B) und alle Ebenen durch M) Bedingung verändern:

- ... alle Kreise, die ...

(alle Kreise (M;r), wobei M ein beliebiger Ebenenpunkt ist und r das arithmetische Mittel der Ra- dien derjenigen beiden Kreise um M, welche durch die beiden gegebenen Punkte verlaufen, s.

nebenst. Fig.)

Die Konstruktion gilt auch für Spezialfälle (z.B. M ∈ g(A;B)).)

- Bestimme alle Geraden, deren Abstand von A doppelt so groß ist wie der zu B.

(alle Geraden durch diejenigen beiden Punkte C,D, welche s(A,B) innen bzw.außen im Verhältnis 2:1 teilen)

Hinweis: Die Verallgemeinerung auf das Verhältnis m:n bietet sich an.

- Bestimme alle Geraden, die von einem Punkt A und von einem Kreis b densel- ben Abstand haben.

(Falls A innerhalb b liegt: alle Geraden durch A; falls A auf b liegt: alle Gera- den durch A, aber auch alle Geraden parallel zur Tangente an b in A, die b nicht schneiden; falls A außerhalb b liegt (s. Figur): alle Geraden durch A, die b schneiden oder berühren, alle Parallelen zu den beiden Tangenten durch A an b, die b nicht schneiden, und schließlich alle Geraden „zwischen“ A und b, die wie g zustandekommen: Wähle P ∈ k zwischen den Berührpunkten B1 und B2, ziehe die Halbgerade h(M;P), ziehe die Senkrechte dazu durch die Mitte N von s(A;P) (das ist schon eine der gesuchten Zwischengeraden g) und schließlich dazu die Senkrechte durch A. Die Kongruenz der beiden schraffierten Dreiecke

A B

M

113

A

b M

P

t1

t2 B1

B2 g

N

Hinweis: Analog geht man vor, wenn auch an die Stelle des Punktes A ein Kreis a rückt.

vertauschen:

- Bestimme alle Punkte, die von zwei verschiedenen Geraden a,b denselben Ab- stand haben.

(falls a || b : alle Punkte der Mittelparallelen; sonst: alle Punkte der beiden Winkelhalbierenden)

Hinweis:

Die dargestellten Varianten lassen sich auf vielfache Weise kombinieren.

Anhang 26: Plantagenaufgabe

Initialaufgabe:

Löse - durch geeignetes Klammern - die Aufgabe 31 4 41

2 21 2 51

− + − 3 .

Lösung:

a) (31 ) ( )

4 41

2 21

2 51

3 11

4 25

6 4 1

− + − = ⁻ +⁻ = ⁻ 12

b) (31 ) ( )

4 21

2 41

2 51

3 53 4 95

6 4 1

+ − + = − = ⁻ 12

Mögliche Variationen:

a)

Kann man die Klammern auch so setzen, daß sich das Ergebnis ändert?

Strategie: interessant machen ( 31

4 41 2 21

2 51

3 31 4 12

3 1 7

−( + − )= − = 12

31

4 41 2 21

2 51 3 31

4 7 51

3 9 1

−( + )− = − − = ⁻ 12)

b)

Wie viele verschiedene Klammersetzungen sind möglich, wie viele verschiedene Ergebnisse werden dadurch erreicht?

Strategie: Übersicht verschaffen ( a − b + c − d

( ) ( ) −4 1 12

( ) −4 1 12

( ) 1 7 12

( ) −4 1 12

( ) −9 1 12

( ) −4 1 12



6 Beklammerungen 3 verschiedene Ergebnisse (7 mit Trivialbeklammerung

(a − b + c − d) ) )

c)

Wie muß sich die erste (zweite, dritte, vierte) Zahl ändern, damit sich als Summe 0 (eine positive Zahl) ergibt?

Strategie: final argumentieren („Was muß passieren, damit ...?“) (Sie muß sich um (mehr als) 4 1

12 vergrößern, also (größer als) 7 1

13 sein.)

d)

Was ergibt sich, wenn man die Bruchteile vernachlässigt? (Kontrollrech- nung!)

(3 − 4 + 2 − 5 = ⁻4 )

Was ergibt sich, wenn man nur die Bruchteile berücksichtigt?

(1 4

1 2

1 2

1 3

1

− + − = ⁻12)

Strategie: Teilrechnungen durchführen

Hinweis: Die Lösung der Initialaufgabe ergibt sich offenbar auch als Summe dieser beiden Teilrechnungen. (Ein Beispiel für die reflexive Wirkung des Va-

115

e)

Wie kann man die Ausgangsaufgabe schwieriger (leichter) machen?

Strategie: Aufgabenschwierigkeit abändern

(z.B. durch schwierigere (leichtere) Nenner oder durch mehr (weniger) Sum- manden)

f)

Was alles ändert sich, wenn man +21 −

2 21

durch 2 ersetzt?

Strategie: geringfügig ändern

(- das Ergebnis: Es ist um 5 kleiner, also ⁻91 2 .

- die Anzahl der verschiedenen Ergebnisse bei den o.a. 6 Beklammerungen:

Es sind jetzt 4 (1 7

12 9 1 12 6 7

12 4 1 ,⁻ , ,⁻ 12) . )

g)

Was passiert, wenn man das mittlere +-Zeichen durch ⋅ ( : ) ersetzt?

Strategie: analogisieren (- das Ergebnis: 31

4 41 2 21

2 51 3 31

4 111 4 51

3 8 51

3 131

− ⋅ − = − − = ⁻ − = ⁻ 3 - Jetzt führen die 6 Beklammerungen zu 5 verschiedenen Ergebnissen ⁻131 ^{− − −}

3 313

24 22

3 811 24 95

, , , , 8 . )

h) Gib 3 (5) verschiedene Zahlen an, deren algebraische Summe ebenfalls das Ergebnis ⁻4 1

12 hat.

Strategie: final argumentieren

i)

Erfinde eine Geschichte zur Ausgangsaufgabe.

Strategie: Kontext ändern

Hinweis:

Dies ist ein Beispiel dafür, daß eine mehr oder minder trostlose Plantagen- aufgabe durch Variieren interessant und aufschlußreich wird und dabei das in- tendierte Üben unter der Hand mitleistet. Es ist innerhalb einer Veranstaltung zur Lehrerfortbildung entstanden, nachdem allgemeine Enttäuschung darüber herrschte, daß beim zufälligen Bestimmen einer Initialaufgabe in einem Schulbuch “nichts Besseres herauskam”.

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