Numerik f¨ur Chemiker • Prof. Dr. B. Hartke, Universit¨at Kiel, hartke@pctc.uni-kiel.de
Aufgabenblatt 2: Fehler und Differentiation Aufgabe 1: (10 Punkte)
Gegeben sind die Funktionen y1, y2, y3 (y3 ist y2 in einer anderen Reihenfolge):
y1(x) = (x−1)7 (1)
y2(x) =x7 −7x6+ 21x5−35x4+ 35x3−21x2+ 7x−1 (2) y3(x) =−1 + 7x−21x2+ 35x3−35x4+ 21x5−7x6+x7 (3) a) Vergewissern Sie sich (z.B. mit Computeralgebra1), dass analytisch y1 =y2 gilt.
b) Berechnen Sie die Kondition von y1.
c) Stellen Sie alle Funktionen grafisch dar f¨ur x∈[0.988,1.012], in Schritten von 0.0001, und speichern Sie die Ausgabe in eine Grafikdatei (abzugeben).
d) Was stellen Sie fest? Wie ist das Ergebnis zu erkl¨aren?
e) Warum wurde gerade das Intervall x∈[0.988,1.012] gew¨ahlt?
Aufgabe 2: (10 Punkte)
a) Implementieren Sie die im Skript angegebenen Formeln f¨ur Vorw¨arts-, Zentraldifferen- zen und die Formel der Zentraldifferenz h¨oherer Ordnung (Richardson-Extrapolation).
b) Berechnen Sie den relativen numerischen Fehler der Differentiation von sin(x) an der Stelle x0 = 1 f¨ur 1000 verschiedene Schrittweiten h im Bereich von 100 bis 10−16. Die Schrittweiten sind vorher zu korrigieren, damit x0+h exakt dargestellt wird (siehe Skript). Stellen Sie das Ergebnis der drei Formeln in einem log-log-Plot dar.
c) Interpretieren Sie das Resultat. K¨onnen Sie die Skalierung des Fehlers bez¨uglich der Schrittweite verifizieren? Was passiert bei sehr kleinen Schrittweiten und warum ist dies unabh¨angig vom verwendeten Verfahren?
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