1. Übung zur Informationstheorie, Kodierung und Kryptographie

Prof. Dr. U. Faigle

Dipl.-Math. D. Andres SS 2004

1. Übung

zur Informationstheorie, Kodierung und Kryptographie

Abgabe am 29.4. bzw. 30.4.2004 in der Übungsstunde

Aufgabe 1: (Boolesche Algebra) 10 Punkte

Die Boolesche Funktion f in den Variablen x, y, z sei gegeben durch x y z f(x, y, z)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

Geben Sie eine Boolesche Formel an, die die Funktion f deniert! Können Sie eine Formel angeben, die maximal 4 Operationen ∨, ∧ und ⁻ benutzt?

Aufgabe 2: (Operationen) 3+3+2+2 Punkte

Berechnen Sie mit den aus der Vorlesung bekannten Operationen, falls sinn- voll möglich, Wörter aus {0,1}^∗:

1

a) (f₁₁(1,0) + (1∨0))∧(0·11)

b) (f₁₁(1,0)⊗(110 + (011∨(1·101))))∧0011 c) (0011⊗f₁₁(1,0)⊗f₁₁(1,1)) + (110⊗101) d) (011∨0011)∧101 + 110

Aufgabe 3: (Logarithmus) 10 Punkte

Zeigen Sie, dass die Funktion F : [0,∞)−→R, deniert durch

F(x) =

( −xlnx für x >0

0 für x= 0

stetig und konkav ist. Berechnen Sie die Nullstellen, Minima und Maxima von F sowie

1

Z

0

F(x)dx.

Aufgabe 4: (Erwartungswert und Varianz) 10 Punkte

Sei zu n≥2 der Stichprobenraum (E,p)gegeben durch E ={−1,0,1,2, . . . , n−2} sowie p= (1

n, 1 n, 1

n, . . . , 1 n).

Ferner sei auf E die Zufallsvariable X deniert durch X(e) := max(2^e,1).

Bestimmen Sie die zu X gehörige Verteilung w und berechnen Sie den Er- wartungswert und die Varianz von X!

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∗ ∗ ∗

Neben den regulären Aufgaben werden Zusatzaufgaben angeboten, deren Lö- sung Methoden erfordert, die über den Vorlesungssto hinausgehen. Diese

∗-Aufgaben ieÿen nicht negativ in die Bewertung ein, jedoch können bei richtiger Beantwortung Bonuspunkte gesammelt werden.

∗-Aufgabe A: (Nachrichtenanzahl zu einem Code)

Wie groÿ ist die Anzahl A_n der Nachrichten der Länge n (d.h. der Wör- ter aus {0,1}ⁿ), die durch Konkatenation von Codewörtern des Codes C = {1,00,01} gebildet werden können? Leiten sie zunächst eine rekursive, dann eine exakte Formel her. Zeigen Sie damit:

n→∞lim A_n

2ⁿ = 2 3

∗ ∗ ∗

Die Übungen nden statt:

• Donnerstags, 12-14 Uhr (Gruppe 1)

• Freitags, 10-12 Uhr (Gruppe 2)

jeweils im Seminarraum des ZAIK, Weyertal 80, Keller

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