(2) Mathematische Grundlagen

(2) Mathematische Grundlagen

Vorlesung

„Computergraphik I“

S. Müller

Plan

18.10.12 1 Einführung OpenGL 10.01.13 15 Texturen (Ü8) 25.10.12 2 Mathe Grundlagen C++ 1 (Ü1) 11.01.13 16 Advanced OpenGL 25.10.12 3 Rasterisierung C++ 2 (Ü2) 17.01.13 17 Kurven (Ü9) 01.11.12 4 Linien C++ 3 (Ü2) 18.01.13 18 Splines (Ü9)

01.11.12 (Allerheiligen) 24.01.13 19 Ray Tracing

08.11.12 5 Clipping (Ü3) 25.01.13 20 Ray Tracing 2

08.11.12 6. Poly Clipping (Ü4) 31.01.13 Wiederholung

15.11.12 7 Scan Konvertierung 01.02.13 -

15.11.12 8 Transformationen (Ü5) 07.02.13 - 22.11.12 9 Transform & OpenGL (Ü5) 08.02.13 Klausur 22.11.12 10 View (Ü6)

29.11.12 11 Perspektive (Ü6) 29.11.12 12 OpenGL Pipeline (Ü7) 06.12.12 13 Licht & Material (Ü7) 06.12.12 14 Beleuchtung (Ü7) 07.12.12 Weihnachtsvorlesung

Was ist OpenGL ?



Open Graphics Library



Grafik Bibliothek zur Darstellung von 3D Objekten

 Polygone, Materialien, Lichtquellen, Kamera, ….

Hintergrund / Geschichte



… auf der Suche nach einer einheitlichen Software- Schnittstelle (API: Application Programming Interface) zur Programmierung von Graphiksystemen



Standardisierungsbemühungen

 GKS, PHIGS…



„Proprietäre Systeme“

 HP: Starbase, SGI: GL (Graphics Library)



Gewinner: SGI mit GL in Verbindung mit sehr guter Hardware



OpenGL (1992, Mark Segal & Kurt Akeley)

OpenGL



OpenGL ist ein Software Interface für Graphik

Hardware mit ca. 250 verschiedenen Kommandos

 Hardware unabhängig



warum „Open“?

 offen für Lizenznehmer

 verwaltet vom Architecture Review Board (ARB)

• NVIDIA, ATI, IBM, Intel, SGI, ….

 von jedem Lizenznehmer erweiterbar (Extension)



Nicht dabei:

 Handhabung von Fenstern/Windows

 Benutzereingabe

Versionen

 OpenGL 1.0 wurde 1992 verabschiedet

 OpenGL 1.1 1996

(wesentliche Neuerungen:

Texture Objects & Vertex Arrays)

 OpenGL 1.2 1998

(wesentliche Neuerungen:

Imaging Extensions)

 OpenGL 1.3 2001

(Erweiterungen für Texturen)

 OpenGL 1.4 2002 (Depth

 OpenGL 1.5 2003 (Buffer Objects, Occlusion Query, Shadow Functions)

 OpenGL 2.0 (2004) : GLSL, Multiple Render Targets und non-Power-of-Two Texturen

 OpenGL 2.1 (2006) Pixel Buffer Objects (schnellere Übertragung von GPU->

CPU), GLSL 1.2 und sRGB Texturen

 OpenGL 3.0 (2008) GLSL 1.3, kein begin/end mehr,

keine Fixed Function Pipeline (alles shader), Architektur

Einführung



OpenGL Core: Basisprimitive (Punkte, Linien, Polygone…)



Darauf aufbauend gibt es diverse Tools:

 OpenGL Utility Library (GLU): standardmaessig dabei für Oberflächen (Quadrics, NURBS…)



OpenGL ist eine „State-Machine“

 Man versetzt die „Maschine“ in einen Zustand, der so lange besteht, bis er wieder verändert wird

 Beispiel: ab jetzt alles rot, ab jetzt dieses Material, ab jetzt diese Transformation

 Effizienter, als Daten jedes Mal neu zu übergeben

OpenGL Grundstruktur



Low-Level-API

 Hardware-nah aber Hardware-unabhängig



2 Arten von Funktionen

 Zustand ändern

 Primitive darstellen



immediate mode System

 sehr einfache Befehle

 Direktes Durchreichen an die HW möglich

 Dreiecks-basiert, keine interne Repräsentation der Szene



klarer Namensraum

Beispiel

glClearColor(0.0, 0.0, 0.0, 0.0);

glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);

glColor3f(1.0, 1.0, 1.0);

glOrtho(0.0, 1.0, 0.0, 1.0, -1.0, 1.0);

glBegin(GL_POLYGON);

glVertex3f(0.25, 0.25, 0.0);

glVertex3f(0.75, 0.25, 0.0);

glVertex3f(0.75, 0.75, 0.0);

glVertex3f(0.25, 0.75, 0.0);

glEnd();

glFlush();

Bestimmt die Farbe, mit der das Bild gelöscht wird

Löscht das Bild, genauer den Color Buffer (alternativ z-Buffer etc.)

Setzt die Farbe auf weiß Definiert das

Koordinatensystem für das Rendering

Definiert ein zu zeichnendes Objekt, hier ein Polygon mit 4 Ecken

Sorgt dafür, daß die

Zeichenkommandos auch ausgeführt werden, anstatt in einem Puffer auf weitere

GLUT, the OpenGL Utility Toolkit



OpenGL ist unabhängig vom Betriebssystem oder Window-Manager



Leider läuft keine Graphikapplikation ohne dass man zumindest ein Fenster öffnet oder einfache

Eingabewerte (Tastatur/Maus) abfragt



GLUT: Ganz gut für den Start…

Beispiel

int main(int argc, char** argv) {

glutInit(&argc, argv);

glutInitDisplayMode (GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);

glutInitWindowSize (250, 250);

glutInitWindowPosition (100, 100);

glutCreateWindow ("hello");

init ();

glutDisplayFunc(display);

glutMainLoop();

return 0; /* ANSI C */

}

Initialisiert GLUT

RGBA oder Color-Index Mode, Single oder Double Buffer etc.

Position und Größe des Fensters

Das Fenster mit GL-Kontext wird erzeugt, allerdings erst durch glutMainLoop dargestellt Display Callback Funktion:

sobald GLUT ein Neuzeichnen des Fensterinhalts für nötig hält, wird diese CB-Funktion

aufgerufen

Event-getriggerte Hauptschleife

Beispiel: hello.c

Hello.exe

hello.vcproj

GLUT



Initialisierung

 glutInit(int *argc, char **argv);

 glutInitDisplayMode( ... );

 glutCreateWindow(„name“);



Zeichenfunktion registrieren

 glutDisplayFunc( void (*func)(void) );



Neuzeichnen anmelden

 glutPostRedisplay();

GLUT



Interaktionsfunktionen

 glutMouseFunc(void (*func)(int button, int state, int x, int y) );

 glutKeyboardFunc(void (*func)(unsigned char key, int x, int y) );

 glutMotionFunc(void (*func)(int x, int y) );



Hilfsfunktionen

 glutReshapeFunc(void (*func)(int width, int height) );

 glutIdleFunc( void (*idle)(void) );



Hauptschleife

 glutMainLoop();

GLUT



Hilfsfunktionen für Primitive

 void glutWireSphere(float radius, int slices, int stacks);

 void glutWireTorus(float inner_radius, float outer_radius, int sides, int rings) ;

 void glutWireTeapot(double size);

Frage …



Gegeben sei ein Vektor

 Der Betrag ist ?



Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck

 Der sinα ist?

 







 







= z y x

a  x _x ^

z 

y 

a  y

z

α

h a

Trigonometrie

sin, cos, tan

α

b

h a

h b Hypotenuse

Ankathete

= α =

cos

h a Hypotenuse

te Gegenkathe

= α =

sin

b a Ankathete

te

Gegenkathe = =

= α

α α

cos tan sin

GAGA

HHAG

Beispiel I

 Wir blicken senkrecht auf den Mittelpunkt eines Bildschirms.

 Die Distanz vom „Augpunkt“

zum Bildschirmmittelpunkt sei d = 20 cm

 Der Bildschirm hat eine Größe b x h von 20x20 cm

 Wie groß ist der horizontale Öffnungswinkel der Kamera

h b

d α

d b d

b

2 tan α = 2 =

 

 



= 

d b arctan 2 α

Öffnungswinkel: 2 ⋅ α = 53 , 13 °

Beispiel II

 Fläche in einem Parallelogramm

α

b h

a

h a A = ⋅

b

= h α sin

α

⋅ sin

= b h

 Fläche in einem Dreieck

α 2 sin

1 ⋅ ⋅ ⋅

= a b

A α

b

a

Lineare Algebra

Vektoren

 Gegeben sind die Punkte A und C

 Gesucht ist der Vektor:

 Was ist?

 Was ist der Unterschied

zwischen einem Punkt C und

x  z 

y 

0

A C

AC

A C

AC = − OC

c 



( ^C

^x

^C

^y

^C

^z

)

C = , ,

beschreibt die Koordinaten des

Punktes in einem Koordinatensystem und ist im Prinzip eine

Kurzschreibweise für:

Vektoren

 







 







=

z y x

a a a a 

 







 







=

z y x

b b b

b  α

a 

b 

a a

a a

a  =

_x²

+

_y²

+

_z²

= Betrag:

z z y

y x

x

b a b a b

a b

a b

a  =  ⋅  ⋅ cos α = + +

  Skalarprodukt:

Ergebnis ist ein Skalar

Senkrechte Projektion

 Senkrechte Projektion:

 Was ist, wenn der Vektor, auf den wir projizieren, bereits normiert ist?

 dann berechnet sich die

senkrechte Projektion durch das Skalarprodukt

 Oder anders herum: das Skalarprodukt lässt sich als

α

a 

b  b

a  →  b

b a a

b

a 

 

 

 

=

⋅

=

→ cos α

= 1 b 

b a b

a 

 

 →  =

a

x

Beispiel

 







 







= 0 0 1 x 

 







 







= 0 1 0 y 

 







 







= 1 0 0 z 

x  z 

y 

 







 







=

z y x

a a a a 

a 

a

x

x a  =

 

a

y

a

z

a

y

a y  =

 

= 0 y x 

  a = a a  = a

^x

a

^x

+ a

^y

a

^y

+ a

^z

a

^z

 



₂

2 2 2

2

a a a

a

_x

+

_y

+

_z

= 

=

Die jeweilige Koordinate erhält man durch die senkrechte Projektion auf die

Koordinatenachsen. Sind diese normiert, braucht man hierfür nur das Skalarprodukt.

Kreuzprodukt

 







 







−

−

−

 =

 





 







 ×

 





 







=

×

=

x y y

x

z x x

z

y z z

y

z y x

z y x

b a b

a

b a b

a

b a b

a b

b b a

a a b

a c   

α

⋅ sin

⋅

=

×

= a b a b

c     

Ergebnis ist ein Vektor, der

senkrecht auf beiden Vektoren steht

Beispiel I

 







 







= 0 0 1 x 

 







 







= 0 1 0 y 

 







 







= 1 0 0 z 

x  z 

y 

=

× y x  

z 

 =

 





 







 =

 





 







 ×

 





 







=

1 0 0 0

1 0 0

0 1

=

× x y  

z 

−

 =

 





 







−

 =

 





 







 ×

 





 







=

1 0 0 0

0 1 0

1 0

=

× x x  

 







 







 =

 





 







 ×

 





 







=

0 0 0 0

0 1 0

0 1

z  ?

3D-Koordinatensysteme

x

z y

x

y z

Linke-Hand-System (Linkssystem)

Rechte-Hand-System

(Rechtssystem)

C++ kompakt - Teil 1

Matthias Biedermann

Dank an Markus Geimer

Programmorganisation (1)

 Ein C++ Projekt kann auf mehrere Quelldateien verteilt werden.

 Dabei muss in genau einer Quelldatei die Funktion main (Hauptprogramm) enthalten sein.

 Vor der Verwendung einer Funktion/Klasse muss diese definiert (nicht implementiert!) sein, d.h. bei Funktionen muss dem

Compiler

- der Name,

- der Rückgabetyp,

- sowie die Anzahl und Typen der Parameter bekannt sein.

Auslagern der Definitionen in eigene Dateien

Programmorganisation (2)

 Für die Definition legt man eine “.h”-Datei (Header) an, für die Implementierung eine “.cpp”-Datei.

 Möchte man eine Funktion oder Klasse verwenden, dann muss man die Header-Datei mit der Definition einbinden:

#include “name”

 Zum Einbinden von System-Bibliotheken benutzt man die Variante

#include <name>

Die “...”-Variante sucht im aktuellen, die <...>-Form in den Systemverzeichnissen

Beispiel

 magic.h

int doMagic(int max);

 magic.cpp

#include “magic.h”

int doMagic(int max) {

int sum = 0;

for (int i=0; i < max; ++i) sum += i;

 main.cpp

#include “magic.h”

int main() {

return doMagic(10);

}

Mehrfach-Includes

 Wird eine Header-Datei mehrfach eingebunden (weil sie z.B. von mehreren anderen Headern benötigt wird), dann erhält man eine Fehlermeldung (“Symbol already defined”).

 Lösung: Verwendung von Preprozessor-Befehlen zur bedingten Compilierung

#ifndef EINDEUTIGER_NAME

#define EINDEUTIGER_NAME // Inhalt der Header-Datei [...]

#endif

Klassendefinition

 Allgemein:

class Name {

public:

// Öffentliche Komponenten

// (Konstruktoren, Methoden usw.) protected:

// Geschützte Komponenten private:

// Private Komponenten };

Beispiel

class Vector2D {

public:

float x() const;

float y() const;

void setX(float value);

void setY(float value);

protected:

float mElement[2];

};

Zeigt dem Compiler an, dass innerhalb der Methode keine Membervariablen verändert werden dürfen.

⇒ Zusätzliche Überprüfungen durch den Compiler möglich.

Klassenimplementierung

 Da sich die Implementierung nicht innerhalb der Definition befindet, muss man irgendwie die Verbindung zur jeweiligen Klasse herstellen. Dazu dient folgende Syntax:

Rückgabetyp Klasse::Methode(Parameter) { // Implementierung

}

Die Implementierung einer Klasse kann ohne weiteres auf mehrere Quelldateien verteilt werden.

Beispiel

#include “Vector2D.h”

float Vector2D::x() const {

return mElement[0];

}

[...]

void Vector2D::setX(float value) {

mElement[0] = value;

}

Konstruktoren

 Ein Konstruktor ist eine spezielle Methode ohne Rückgabewert, deren Namen mit dem der Klasse übereinstimmt.

 Bei der Erzeugung einer Klasseninstanz wird nach der Speicher- reservierung automatisch der Konstruktor aufgerufen.

 Definiert der Programmierer keinen eigenen Konstruktor, dann wird vom Compiler automatisch ein parameterloser Default- Konstruktor erzeugt, der aber keine Funktionalität besitzt.

 Man kann auch mehrere Konstruktoren mit unterschiedlichen Parameterlisten für eine Klasse definieren. Es ist jedoch nicht möglich, aus einem Konstruktor heraus einen anderen der gleichen Klasse aufzurufen.

Workaround: Private Initialisierungsmethode, die von allen

Beispiel

 Definition:

class Vector2D { public:

Vector2D();

Vector2D(float x, float y);

private:

void init(float x, float y);

};

 Implementierung:

Vector2D::Vector2D() { init(0, 0);

}

Vector2D::Vector2D(float x, float y) { init(x, y);

}

void Vector2D::init(float x, float y) { mElement[0] = x;

mElement[1] = y;

}

Ein-/Ausgabe

 C++ verwendet zur Ein-/Ausgabe s.g. Streams.

 Vordefiniert sind im System-Headerfile iostream

 cin (Standardeingabe)

 cout (Standardausgabe)

 cerr (Standardfehlerausgabe, gepuffert)

 clog (Standardfehlerausgabe, ungepuffert)

 Die Ein-/Ausgabe erfolgt mit Hilfe der Shiftoperatoren << und >>

 Die Definitionen befinden sich alle im Namensraum std

Beispiel

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int value;

cin >> value;

cout << “Eingegebener Wert: << value << endl;

return 0;

}

Stream-Definitionen einbinden und Namensraum std aktivieren

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