Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

5. Übungsblatt

Fachbereich Mathematik Wintersemester 2012/2013

Prof. Dr. Burkhard Kümmerer 20. Dezember 2012 / 17. Januar 2013 Florian Sokoli

Gruppenübung

Aufgabe G1 (Der Messprozess für allgemeine Zustände)

Es seiHein endlichdimensionaler Hilbertraum undA∈B₍H₎ eine Observable mit Spektraldar- stellungA=Pk

i=1λiP_i. Weiterhin sei ein Dichteoperatorρ=Pn

j=1µjt_ψj,ψj gegeben.

(a) Beweisen Sie:

P_ρ[A=λi] =tr(P_iρ)

(b) Es bezeichne P[j|A = λi] die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Zustand ψj vorgelegen hat, wenn ein Messung vonAden Wertλi ergab. Zeigen Sie:

P[j|A=λi] =P_ψj[A=λi] µj

P_ρ[A=λi]

Hinweis:Satz von Bayes!

(c) Es bezeichneρiden Dichteoperator, welcher nach Erhalt des Messwertesλi vonAvorliegt.

Begründen Sie die folgende Verallgemeinerung des von Neumann’schen Messpostulates

ρi= Xn

j=1

P[j|A=λi]·t _Piψj

k^Piψjk^,

Piψj

k^Piψjk

und verifizieren Sie

ρi= P_iρP_i tr(P_iρ).

(d) Das System befinde sich nun wieder im Zustandρ. Es werde eine Messung der Observablen Aohne Selektion der Messergebnissedurchgeführt (d.h., es sei nicht bekannt, welches Mess- resultat erhalten wurde). Zeigen Sie, dass der Zustand ρ⁰ des Systems nach der Messung gegeben ist durch

ρ⁰=

k

X

i=1

P_iρP_i

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Aufgabe G2 (Projektionen)

Definition:

SeiH ein endlichdimensionaler Hilbertraum. Eine lineare Abbildung P :H_→H heißtProjek- tion, wenn es lineare TeilräumeK,L _⊂H mit H ₌ K_⊕L gibt (d.h., es gilt K_∩L _{= {}0} und lin{K,L_}=H), sodassP|K=Id_K undP|L=0gilt.

(a) Machen Sie sich klar, dass es zu beliebigen linearen Teilräumen K,L _⊂ H mit H ₌ K_⊕ L genau eine lineare Abbildung P : H _→ H gibt, welche die Bedingungen der obigen Definition erfüllt.

(b) Weisen Sie nach, dass für H=R² durch P=

1 −1

0 0

eine Projektion gegeben ist. Bestimmen Sie die RäumeK,Lund interpretieren Sie die Wir- kung von P geometrisch.

(c) Beweisen Sie:

P ist Projektion ⇔ P²=P Definition:

Eine ProjektionP zu TeilräumenK,Lheißtorthogonal, wenn zusätzlich K_⊥Lgilt.

(d) Begründen Sie, dass eine orthogonale Projektion P zu TeilräumenK, Lbereits durch An- gabe vonKeindeutig festgelegt ist.

Bemerkung: Aufgrund dieser 1:1-Beziehung werden lineare Teilräume K _⊂ H und or- thogonale Projektion P : H _→ H zuweilen miteinander identifiziert. Man spricht dann von der orthogonalen Projektionaufeinen TeilraumKund schreibt hierfür P_K.

(e) Ist die Projektion aus (b) orthogonal?

(f) Beweisen Sie:

P ist orthogonale Projektion ⇔ P²=P=P^∗ (g) Zeigen Sie, dass für einen linearen TeilraumK_⊂Hgilt

P_K⊥ =1−P_K

(h) SeiK_⊂Hein linearer Teilraum mit Orthonormalbasis{f₁, ...,f_k}. Zeigen Sie:

P_K= Xk

i=1

t_fi,fi

(i) Sei P₁, ...,P_k eine Familie orthogonaler Projektionen mit P_iP_j =0 = P_jP_i für i 6= j. Zeigen Sie, dass dann auch

P:=

k

X

i=1

P_i

eine orthogonale Projektion ist. Was bedeutet die Bedingung P_iP_j = 0 geometrisch? Ist P immer noch (orthogonale) Projektion, wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist?

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(j) Für orthogonale Projektionen P,Qdefinieren wir P ≤Qdurch Q−P ≥0. Zeigen Sie, dass hierdurch eine partielle Ordnungsrelation definiert wird, und dass gilt

P≤Q ⇔ PQ= P=QP.

(k) Finden Sie ein Beispiel für zwei orthogonale Projektionen, welche nicht im Sinne von (j) vergleichbar sind.

(l) Für eine Familie orthogonaler Projektionen(P_i)i∈I setzen wir

sup

i∈I

P_i := _

i∈I

P_i :=P_lin{^ImPi:i∈I}

infi∈I P_i := ^

i∈I

P_i :=P^T

i∈IImP_i

Beweisen Sie: Für alle j∈I gilt die Relation

infi∈IP_i ≤P_j ≤sup

i∈I

P_i

und ist P eine orthogonale Projektion mit

P≤ P_j bzw. P_j ≤P

für alle j∈I, so folgt

P ≤inf

i∈IP_i bzw. sup

i∈I

P_i≤ P

Hausübung

Aufgabe H1 (Das Kroneckerprodukt von Matrizen)

Für MatrizenA∈M_n,n(C), B∈M_m,m(C)definieren wir derenKroneckerprodukt durch

A⊗B:=









a₁₁B · · · a_1nB ... ... a_n1B · · · a_nnB







∈M_nm,nm(C)

wobeiA= (a_{i j})1≤i,j≤n.

(a) Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln zur Bildung des Kroneckerproduktes:

(αA+βB)⊗C = αA⊗C+βB⊗C A⊗(βB+γC) = βA⊗B+γA⊗C

(AB)⊗(C D) = (A⊗C)(B⊗D) (A⊗B)^∗ = A^∗⊗B^∗

für Zahlenα,β,γ∈Cund entsprechend dimensionierte MatrizenA,B,C,D.

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(b) Beweisen Sie: Sind Aund B invertierbar, selbstadjungiert, positiv, normal, unitär oder or- thogonale Projektionen, so besitzt auchA⊗Bdie entsprechende Eigenschaft.

Unter den Identifikationen M_n,1(C) =Cⁿ können wir auch das Kroneckerprodukt von Vektoren betrachten. Fürξ∈Cⁿ undη∈C^m ist dann

ξ⊗η=







 ξ1η

... ξnη









∈C^nm

(c) Sei{e₁,e₂}die kanonische Orthonormalbasis vonC². Entscheiden Sie, ob der Vektor ξ=e₁⊗e₁+e₂⊗e₂

in der Formη⊗ζfürη,ζ∈C² geschrieben werden kann.

(d) Wir versehenCⁿ,C^m undC^nmmit dem Standard-Skalarprodukt. Verifizieren Sie die für alle ξ1,ξ2∈Cⁿ undη1,η2∈C^m gültige Beziehung

〈ξ1⊗η1,ξ2⊗η2〉=〈ξ1,ξ2〉〈η1,η2〉

(e) Seien(e_i)1≤i≤n bzw.(f_k)1≤k≤m Orthonormalbasen von Cⁿ bzw.C^m. Zeigen Sie, dass durch (e_i⊗ f_k)1≤i≤n,1≤k≤m ein Orthonormalbasis von C^nm gegeben ist und begründen Sie, dass jede MatrixA∈M_nm,nm(C)in der Form

A= Xn

i,j=1

Xm

k,l=1

a_{i jkl}t_ei,ej⊗t_fk,fl

geschrieben werden kann.

(f) Für eine Darstellung vonA∈M_nm,nm(C)wie in (e) definieren wir tr₁(A):=

n

X

i=1 m

X

k,l=1

a_iiklt_fk,fl und tr₂(A):=

n

X

i,j=1 m

X

k=1

a_{i jkk}t_ei,ej

Zeigen Sie, dass tr₁(A) bzw. tr₂(A) wohldefiniert sind, d.h. nicht von der Wahl der Or- thonormalbasen (e_i)1≤i≤n, (f_j)1≤j≤m abhängen und dass hierdurch lineare Abbildungen tr₁(·):C^nm→C^m bzw. tr₂(·):C^nm→Cⁿ definiert werden.

Bemerkung: In der Quantenmechanik heißen tr₁(·) bzw. tr₂(·)die partielle Spur über das erste bzw. zweite System. Man spricht in diesem Zusammenhang auch vom ”Ausspuren”

eines Systems.

(g) Es seiρ ∈ M_nm(C) eine Dichtematrix. Zeigen Sie, dass dann auch tr₁(ρ) und tr₂(ρ) Dich- tematrizen sind und berechnen Sie tr₁(ρ)fürρ= ¹₂t_ξ,ξmit ξwie in (c). Ist dieser Zustand rein?

Bemerkung: Man bezeichnet tr₁(ρ) und tr₂(ρ) auch als die reduzierten Zustände von ρ. Sie erlangen Bedeutung bei der Modellierung eines quantenmechanischen Mehrkörper- problems.

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