1 Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit

§ 1 Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit

1.1 Bewegungsarten und Bahnkurven

Ein Körper bewegt sich, wenn er in Bezug auf einen anderen Körper bzw. eines Bezugspunktes seine Lage verändert.

Bewegungsarten:

 Translation (geradlinige Bewegung im Raum)

Bspe.: fahrendes Kfz auf einer ebenen Straße; vom Baum fallender Apfel; ..

 Rotation (komplizierte Drehbewegung) Bspe.: Reifenventil bei Fahrt; ...

Definition: In der Physik werden räumlich ausgedehnte Körper als Massenpunkt idealisiert (die gesamte Masse ist im Schwerpunkt)

Eine Bewegung ist eine Ortsveränderung eines Massenpunktes gegenüber einem Bezugssystem. Sie wird durch eine Kurve beschrieben.

Idealerweise wird eine Bewegung mit Hilfe eines Ortsvektors und Koordinaten beschrieben.

Bsp.: Ein Fahrgast in einem mit konstanter Geschwindigkeit fahrenden Zuges wirft einen Ball senkrecht nach oben.

a) Bahnkurve aus Sicht eines außenstehenden Beobachters.

b) Bahnkurve aus Sicht eines mitfahrenden Beobachters.

c) Bahnkurve aus Sicht eines auf dem Ball sitzenden Beobachters 1

2 3

4

5

1 2

1 4

3

4

5

3

2 5

Ergebnis: Die Bahnkurve und damit die Beschreibung einer Bewegung hängt von der Wahl des Bezugssystems ab. (Der Bezugspunkt entspricht dabei dem Nullpunkt eines

Koordinatensystems)

Die Aussage, dass ein Körper ruht oder sich bewegt hängt ebenfalls vom Bezugssystem ab.

(Bewegung und Ruhe sind relativ!)

1.2 Gleichförmige Translationsbewegung eines Massenpunktes

Ein Körper, der sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt legt in gleichen Zeitintervallen

t die gleichen Wegstrecken x zurück. Daher gilt:

v x t





 

 s

Zur besseren Verdeutlichung betrachten wir eine lineare Bewegung in Richtung der positiven x-Achse, welche zur Zeit t₀ an der Ortskoordinate x₀ beginnt. Gibt nun x t den Ort zur

 

beliebigen Zeit t an, so folgt zunächst:

 

x x t x

   und   t t t₀ Beachte: Bei der Berechnung der Differenz zweier Größen gilt:

DeltaEndzus tan d Anfangszus tan d Setzt man dies nun in obige Gleichung ein, so erhält man:

 

   

 

0 0

0 0 0

0

x t x

v t t

x t x v t t mit t 0

x t v t x

 



    

  

die Zeit-Ortsfunktion einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit x(t)  v t x0

Aufgaben

1. Berechnen Sie die Zeit, die das Licht von der Sonne zur Erde (rund 150 Mio. km) braucht, wenn die Lichtgeschwindigkeit c₀3, 0 10 ^{8 m}_s beträgt.

2. Bei der Echolotung der Meerestiefe wird ein kurzer Ultraschallimpuls vom Schiffsboden ausgesandt, der nach 2,6 s als Echo wieder zurückkommt.

Berechnen Sie die Meerestiefe h, wenn die Schallgeschwindigkeit im Wasser

m

c1475 s beträgt.

3. Ein 300 m langer Güterzug fährt mit 60^km_h über eine 200 m lange Brücke. Berechnen Sie die Zeit, während der die Brücke durch Teile des Zuges belastet wird.

4.0 Ein LkW fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von v65^km_h .

4.1 Berechnen Sie, welchen Weg er dabei in einer Zeit von t8,5 min zurücklegt?

 

v x x v t x 65 : 3, 6 510s 9208 m 9, 2km

 t        

4.2 In welcher Zeit legt er eine Strecke von x110 km zurück?

9 km 13

h

x x 110km

v t t 1 h 1, 7h

t v 65

      

5.0 Eine Strecke von s300 km soll mit einem Wagen zurückgelegt werden. Vergleiche die dazu benötigte Zeit, wenn

5.1 die Geschwindigkeit immer 75^km_h beträgt.

km h

x x 300km

v t 4, 0h

t v 75

    

5.2 wenn eine Hälfte des Weges mit 50^km_h , die andere mit 100^km_h zurückgelegt wird?

1 2

1 2 km km

1 2 h h

x x 150km 150km

t t t 4,5h

v v 50 100

      

5.3 ein viertel der Fahrzeit mit 50^km_h , die restliche Fahrzeit mit 100^km_h gefahren wird?

 

3 t

1

G 1 2 1 4 2 4 4 1 2

x  x x    v t v t  v 3v

 

G 3

km km 7

1 2 h h

4x 4 300km

t 3 h 3, 4 h 3h 25min 43s

v 3v 50 3 100

    

  

6.0 Ein Mopedfahrer, welcher 2,0km von Freising entfernt ist, bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit von 50^km_h geradlinig von Freising weg.

6.1 Berechnen Sie, welche Entfernung von Freising der Mopedfahrer nach einer Fahrzeit von 12min hat?

0

1 km 1

6 h 5

x(t) x v t

x( h) 2, 0km 50 h 12 km

  

   

6.2 Berechnen Sie, wie lange er fahren muss, bis er 27km von Freising entfernt ist?

 

0

0 km

h

x x 27 km 2, 0 km

x(t) x v t t 0,50h 30 min

v 50

 

       

6.3 Berechnen Sie, welche Entfernung von Freising der Mopedfahrer nach einer Fahrzeit von 12min hat, wenn er geradlinig Richtung Freising fahren würde?

Da der Motorradfahrer in die entgegengesetzte Fahrrichtung unterwegs ist, setzt man für die Geschwindigkeit v 50^km_h

 

x(t) x v t

x h 2, 0km 50 h 8, 0 km

  

    

Der Mopedfahrer fährt also durch Freising und befindet sich in einer Entfernung von 8,0km in entgegengesetzter Richtung.

1.3 Die Zeit-Ortsfunktion im t-x-Diagramm:

Die Zeit-Ortsfunktion ^{x t}

 

Dabei entspricht der Geschwindigkeit v die Steigung der Geraden und der y-Achsenabschnitt x0 entspricht der Entfernung vom Bezugsnullpunkt zur Zeit t0

v x Steigung der Geraden t





x0

x

t

 

x t   v t x

Zu jedem t-x-Diagramm lässt sich aber auch ein dazugehöriges t-v-Diagramm zeichnen. Das sieht dann so aus.

Aufgaben

7.0 Zwei Körper A und B bewegen sich auf der gleichen geradlinigen Bahn. Für ihre Zeit- Orts-Funktion gilt:

m

A s

m

B s

x (t) 1, 0m 1,5 t für 0 t 4, 0s x (t) 2, 0m 3, 0 t für 0 t 4, 0s

    

     

7.1 Veranschauliche die beiden Bewegungsvorgänge in einem t-x-Diagramm und beschreibe die Bewegung der beiden Körper.

7.2 Berechne zu welchem Zeitpunkt t₁ und an welchem Ort x₁ sich die beiden Körper treffen.

A 1 B 1

m m

1 1

s s

m 1 s 1

x (t ) x (t )

1, 0 m 1,5 t 2, 0m 3, 0 t 3, 0 m 1,5 t

t 2, 0s



     

 



m

1 A s

x x (2, 0s) 1, 0 m 1,5  2, 0s4, 0 m t / s

m

v / s

Bei einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit erhält man eine waagrechte Gerade.

xA

xB

Die beiden Körper fahren an

verschiedenen Orten weg. Körper B ist schneller als Körper A und überholt ihn daher nach einer gewissen Zeit.

8.0 Das skizzierte t-v-Diagramm gibt den Bewegungsablauf eines Körpers wieder.

8.1 Berechnen Sie den Weg, der in 50s zurückgelegt wird!

Im 1. Abschnitt legt er den Weg:

m

1 s

x 30 20 s600m zurück.

Im 2. Abschnitt legt er den Weg:

m

2 s

x 20 40 s800m zurück.

Insgesamt wird ein Weg von x_G 600m 800m 1400m zurückgelegt.

8.2 Zeichnen Sie das zugehörige t-x-Diagramm.

x / m

t / s

9.0 Gegeben ist das t-x-Diagramm der Bewegung eines Fahrzeugs.

9.1 Ermitteln Sie die Geschwindigkeit in m/s des Fahrzeugs und errechnen Sie zu welchem Zeitpunkt es am Ort x = 25 km ist.

9.2 Berechnen Sie die Strecke die das Fahrzeug in 20 min fährt. Kontrollieren Sie ihr Ergebnis mit Hilfe des t-x-Diagramms.

9.3 Geben Sie die Bewegungsgleichung x(t) mit eingesetzten Zahlengrößen an.

10. Ein Passagierflugzeug fliegt mit 850 km/h. Berechnen Sie die Strecke die es in 1,0 s fliegt.

11. Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit der Erde auf ihrer (nahezu) kreisförmigen Bahn um die Sonne, wenn der Abstand Erde-Sonne 149 Millionen km beträgt.

12. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit v₁ und v₂ sowie die mittlere Geschwindigkeit v_ges während der 10 min.

13. Auf einem der Mondflüge wurde ein Reflektor zurückgelassen. Bestrahlt man diesen mit einem Laserstrahl von der Erde aus, kann man aus der Laufzeit des Lichtes die Entfernung ermitteln. Die Laufzeit beträgt bei einer bestimmten Mondstellung 2,56 s.

Berechnen Sie die Entfernung zum Mond.

14.0 Gegeben ist folgendes t-v-Diagramm:

14.1 Geben Sie die Geschwindigkeit in km/h an.

14.2 Berechnen Sie die Wegstrecke, die der Körper zwischen den Zeitpunkten 8,0s und 12,0 s zurückgelegt hat. Markieren Sie diese Strecke im Diagramm.

14.3 Zeichnen Sie das zugehörige t-s-Diagramm [Maßstab 1s 5mm; 5m 1cm] 14.4 Berechnen Sie den Aufenthaltsort zum Zeitpunkt 8,0s.

15. Um 13:42 Uhr fährt am Bahnhof A ein Güterzug mit der Geschwindigkeit v₁ 35^km_h in Richtung des Bahnhofs B. Zur gleichen Zeit fährt auf dem 180 km entfernten Bahnhof B auf dem Gegengleis ein Schnellzug mit der Geschwindigkeit v₂ 115^km_h in Richtung des Bahnhofs A ab. Zu welchem Zeitpunkt und in welcher Entfernung vom Bahnhof A begegnen sich die beiden Züge?

Die beiden Zeit-Ortsfunktionen lauten:

km

A h

km

B h

x (t) 35 t

x (t) 115 t 180 km

 

   

Da sich B in entgegengesetzter Richtung von A bewegt ist hier die Geschwindigkeit negativ,.

Für den Treffpunkt gilt:

   

A B

km km

h h

km h

x t x t

35 t 115 t 180 km

150 t 180 km t 1, 2 h 72 min



    

  

 

Treffpunkt ist somit um 14:54 Uhr

Berechnung der Entfernung: xA





0

v1 v2

B x 180 km

16.0 Die Orte Altenfeld und Brunsbüttel sind 54km voneinander entfernt. Um 9.45Uhr startet Alto in Altenfeld und fährt mit der durchschnittlichen Geschwindigkeit v_A 18^km_h nach Brunsbüttel. Um 11.05Uhr startet Bruno in Brunsbüttel und fährt mit der

durchschnittlichen Geschwindigkeit v_B27^km_h Alto entgegen.

16.1 Geben Sie für beide Bewegungen die Zeit-Orts-Funktion mit eingesetzten Zahlenwerten an.

1. Möglichkeit: (Zeitrechnung beginnt um 9.45 Uhr)

   

km

A A h

km 4 4

B AB B h 3 3

x (t) v t 18 t

x (t) x v t t 54 km 27 t h mit t h

   

        

2. Möglichkeit: (Zeitrechnung beginnt um 11.05 Uhr)

km

A A h

km

B AB B h

x (t) x v t 24 km 18 t

x (t) x v t 54 km 27 t

      

    

16.2 Stelle die beiden Bewegungsvorgänge in einem t-x-Diagramm dar.

16.3 Ermittle rechnerisch die Uhrzeit sowie den von Alto bis zum Treffpunkt mit Bruno zurückgelegten Weg.

A B

km km

h h

km h

2 3

x (t) x (t)

24 km 18 t 54 km 27 t 45 t 30 km

t h 40 min



   

 

 

Treffpunkt ist somit um 11.45 Uhr

2 km 2

A 3 h 3

x ( h)24 km 18  h36 km A

0

vB

945 11⁰⁵

x

A x v

54 km B

x / km

t / h

945 11⁰⁵ 13⁰⁵

54

1245

1.4 Aufgaben bei welchen der Bezugspunkt auf einem bewegten Körper gewählt wird Bei obigen Aufgaben wurde der Bezugspunkt so gewählt, dass der Beobachter selbst ruht und als Außenstehender die Bewegungsvorgänge betrachtet.

Bei folgenden Aufgaben aber ist es nun ratsam den Bezugspunkt in einem der bewegten Körper zu wählen. Relativ zum Beobachter bewegt sich dann lediglich nur der andere Körper.

Dessen Effektivgeschwindigkeit erhält man durch Addition (wenn sich die Körper

entgegengesetzt bewegen) bzw. durch Subtraktion (wenn sich die Körper in gleicher Richtung bewegen) ihrer Geschwindigkeiten. Durch diese Wahl des Bezugspunktes erleichtert sich die Berechnung wesentlich.

Aufgaben

17.0 Zwei Straßenbahnen fahren mit v₁ 18^km_h und v₂ 36^km_h aneinander vorbei. Die Länge der einen Bahn beträgt l₁26m, die der anderen l₂ 39m.

17.1 Die beiden Bahnen fahren in entgegengesetzte Richtung. Wie lange dauert es, bis sie vollständig aneinander vorbeigefahren sind?

1 2 1

km km m 3

1 2 h h s

l l

x x 26 m 39 m 65m

v t 4 s 4,3s

t v v v 18 36 15

 

       

 

17.2 Wie lange wird einem Fahrgast in Bahn 1 bzw. in Bahn 2 durch die jeweils andere Bahn die Sicht versperrt?

2

1 km km m

1 2 h h s

l

x 39 m 39 m

t 2, 6s

v v v 18 36 15

    

 

1

2 km km m

1 2 h h s

l

x 26 m 26 m

t 1, 7s

v v v 18 36 15

    

 

17.3 Beide Straßenbahnen fahren nun mit v₁18^km_h und v₂ 36^km_h auf parallelen Gleisen in gleicher Richtung. Zum Zeitpunkt t0s hat die schnellere Bahn 2 das Ende der

langsameren Bahn 1 erreicht. Nach welcher Zeit und nach welcher Fahrstrecke x₁ bzw.

x2 befinden sich die Spitzen der beiden Bahnen auf gleicher Höhe?

1

1 km km m

2 1 h h s

l

x 26 m 26 m

t 5, 2s

v v v 36 18 5

    

 

Die Differenz v₂ v₁ nennt man die Relativgeschwindigkeit v_r

r 2 1

v v v

m

1 1 1 s

x   t v 5, 2 s 5 26 m

m

2 1 2 s

x  t v 5, 2 s 10 52 m

Überholvorgänge, Verhalten im Straßenverkehr

18. Ein Lkw (Länge l_L 10m; v_L 72^km_h 20^m_s ) soll von einem Pkw (Länge l_P 5m;

km m

P h s

v 90 25 ) überholt werden. Vor dem Überholvorgang beträgt der Sicherheitsabstand s_PL 30m, nach dem Einscheren s_LP 35m.

Wie lange dauert der Überholvorgang und welche Strecke legt der Pkw dabei zurück?

(Die Zeit und der zusätzliche Weg für den zweimaligen Fahrbahnwechsel soll unberücksichtigt bleiben!)

1. Möglichkeit: Betrachtung des Überholvorgangs von der Straße aus.

2 Fahrzeuge bewegen sich  wird schwierig (so nicht)

2. Möglichkeit: Betrachtung des Überholvorgangs vom Lkw aus. (Der Lkw scheint hier still zu stehen)

Um den Lkw zu überholen muss der Pkw eine Strecke von

x30m 10m 35m 5m   80m zurücklegen (gemessen von der Vorderseite des Pkw). Seine relative Geschwindigkeit, die er effektiv schneller als der Lkw ist beträgt dabei v_rel v_Pv_L 25^m_s 20^m_s 5^m_s . Somit folgt für die Überholzeit t_Ü:

Ü rel

x Summe der Autolängen und Sicherheitsabstände t  v  Differenz der Fahrgeschwindigkeiten

Ü m

s

t 80m 16s

 5 

Für die Strecke, die der Pkw dabei zurücklegt gilt (Die Bewegung wird jetzt wieder von der Straße aus betrachtet):

m

P s

Ü Ü

x v t 25 16s400m

Unter Berücksichtigung des möglichen Gegenverkehrs ist folgende Faustregel zu beachten.

Die Fahrbahn muss mindestens auf doppelter Überholstrecke einsehbar und frei von Gegenverkehr sein.

Je kürzer die Überholzeit, desto kürzer die Überholstrecke.

Je größer der Geschwindigkeitsunterschied, desto kürzer die Überholstrecke bzw. je kleiner die Relativgeschwindigkeit, desto länger die Überholstrecke.

Also hier: Es müssen mindestens die nächsten 16 Straßenpfosten sehbar und die Strecke frei von Gegenverkehr sein.

Dabei geht man aber davon aus, das der mögliche Gegenverkehr genauso schnell fährt wie man selbst. Doch oft ist der Gegenverkehr schneller unterwegs. Daher sollte eine noch größere Strecke frei einsehbar sein.

Pkw Lkw Pkw

30m 10m 35m 5m

19. Ein Lkw mit Anhänger (Gesamtlänge 18m), der auf der Autobahn mit der Geschwindigkeit von 80^km_h fährt wird von einem Lastzug der Länge 14m mit der Geschwindigkeit 85^km_h überholt. Berechne die Dauer des Überholvorgangs und die Strecke, die dabei der Lastzug zurücklegt, wenn die Sicherheitsabstände vor und nach dem Überholen je 20m betragen.

 

Ü km km m

rel h h s

x 18m 14 m 20 m 20 m 72 m

t 52s

v 85 80 5: 3, 6

  

   



 

L Ü L s

x t v 52s 85 : 3, 6 1, 2 km

20. Ein Pkw (Länge 4,5m) mit Anhänger (Länge 3,7m) fährt auf der Autobahn mit einer Geschwindigkeit von 86^km_h und wird von einem Motorrad (Länge 1,8m) mit einer Geschwindigkeit von 104^km_h überholt. Berechne die Überholstrecke des Motorrads, wenn der Sicherheitsabstand vor dem Überholen 25m und nach dem Überholen 35m beträgt.

 

Ü km km m

rel h h s

x 4,5m 3, 7 m 1,8m 25m 35m 70 m

t 14s

v 104 86 18: 3, 6

   

   



 

M Ü M s

x t v 14s 104 : 3, 6 0, 40 km

1.5 Überlagerung von gleichförmigen Bewegungen

Im Alltag kommt es oft vor, dass ein Körper gleichzeitig an mehreren Bewegungen teilnimmt.

Bspe.:

 Gehen auf einer Rolltreppe

 Flugzeug mit Rücken-, Gegen- oder Seitenwind

 Schwimmen in einem fließenden Gewässer

1.) Zwei Geschwindigkeiten sind parallel und zeigen in die gleiche Richtung Für die Gesamtgeschwindigkeit gilt:

2.) Zwei Geschwindigkeiten sind parallel und zeigen in entgegengesetzter Richtung Für die Gesamtgeschwindigkeit gilt:

3.) Zwei Geschwindigkeiten stehen aufeinander senkrecht

Für die Gesamtgeschwindigkeit gilt:

Für den Ablenkwinkel (Abdriftwinkel)  gilt:

Um zu verhindern, dass man in solch einem Fall abgetrieben wird benötigt man einen Vorhaltewinkel 

2 2

G S B

v  v v

S B

tan v

  v

G S B

v v v vB

vS

vS vB

G S B

v v v

G B S

v v v vB

vS

vS

vB

G B S

v v v

vG

vS

vS

vB

vB



Für die Gesamtgeschwindigkeit gilt dann:

Für den Vorhaltewinkel  gilt:

Zeigen Sie, dass der Abdriftwinkel  stets kleiner als der Vorhaltewinkel  ist!

Es gilt:

Aufgaben

21.0 Die Eigengeschwindigkeit eines Bootes sei v_B 18, 0^km_h . Die

Strömungsgeschwindigkeit des Flusses beträgt v_S6, 0^km_h und die Breite b des Flusses 90m. Das Boot fährt senkrecht zum Ufer über den Fluss.

21.1 Berechnen Sie die Fahrzeit, die Abdrift und die resultierende Geschwindigkeit des Bootes.

Fahrzeit:

 

B s

b 90 m

t 18s

v 18 : 3, 6

  

Abdrift:

km

S h

km

B h

6, 0

v 1

tan 18

v 18 3

       

s 1

tan s b tan 90 m 30 m

b 3

        

Gesamtgeschwindigkeit: vG  vS²v²B 



 



21.2 In welche Richtung muss die Bootsachse zeigen, damit das Boot nicht abgetrieben wird? Wie groß ist nun die Fahrtzeit?

2 2

G B S

v  v v

S B

sin v

 v

S B

1

tan v sin

v tan sin sin sin cos

sin cos sin sin sin



   

   

   



     

   

    vB

vS

vG



   

2 2 2 2 2

B S G G B S

2 2 km 2 km 2

G B S h h

v v v v v v

b b 90 m

t 19s

v v v 18 6, 0

    

   

 

22.0 Ein Hubschrauber fliegt 100km von West nach Ost. Die Eigengeschwindigkeit beträgt

km

216 h und es herrscht ein Ostwind der Geschwindigkeit 10^m_s . 22.1 Wie lange braucht der Hubschrauber für Hin- und Rückflug?

Ges Hin Rück

Hin Rück H W H W

Ges km km km km

h h h h

x x x x

t t t

v v v v v v

100 km 100 km

t 0, 95 h

216 36 216 36

     

 

  

 

22.2 Kann der Zeitverlust beim Hinflug (Gegenwind) durch den gleichstarken Rückenwind beim Rückflug wieder aufgeholt werden? Begründe Deine Antwort. (Hinweis: Berechne die Rückflugzeit!)

Zeitverlust beim Hinflug:

Hin m.W o.W km km km

H W H h h h

x x 100 km 100 km

t t t 0, 093h

v v v 216 36 216

       

 

Zeitgewinn beim Rückflug:

Rück o.W m.W km km km

H H W h h h

x x 100 km 100 km

t t t 0, 066 h

v v v 216 216 36

       

 

Somit ist der Zeitverlust beim Hinflug größer als der Zeitgewinn beim Rückflug; der Zeitverlust kann somit nicht aufgeholt werden.

22.3 Wie stark müsste auf dem Rückflug der Wind sein, damit der Zeitverlust nun ausgeglichen werden kann?

 

km m

W H h s

H H W

H

x x x

t v v ... 54 15

v v v x t

v

       

  

mit  t 0, 093h

23.0 Ein Dampfer hat stromabwärts die Geschwindigkeit vom Betrag 26, 64^km_h ,

stromaufwärts bei gleicher Leistungsabgabe der Motoren die Geschwindigkeit vom Betrag 16, 56^km_h .

23.1 Wie groß ist die Geschwindigkeit des Dampfers im stehenden Gewässer?

Es gilt:

km

ab B F h B F

km

auf B F h B F

v v v 26, 64 v v

v v v 16,56 v v

   

    

Durch Addition der beiden Gleichungen erhält man:

km km

B B

h h

43, 2  2 v  v 21, 6

23.2 Wie groß ist der Betrag der Strömungsgeschwindigkeit des Flusses in ^m_s ? Eingesetzt in eine der beiden obigen Gleichungen folgt:

km km km m

F F

h h h s

26, 64 21, 6 v  v 5, 04 1, 4

24. Die Strömungsgeschwindigkeit eines Flusses beträgt 5, 0^km_h . Ein Motorboot soll diesen Fluss mit der resultierenden Geschwindigkeit 7, 0^km_h queren. Welche

Eigengeschwindigkeit (Betrag und Richtung) besitzt das Motorboot, wenn es den Fluss auf dem kürzesten Weg überquert?

  



2 2 2 2 2 km km km

B S G B G S h h h

v v v  v  v v  7, 0  5, 0 8, 6 Für den Vorhaltewinkel  gilt:

km

S h 5

km 7

G h

5, 0

tan v 36

v 7, 0

       

25.0 Ein Flugzeug legt eine Strecke von 500km zwischen zwei Orten A und B zurück. Die Motorleistung gestattet eine maximale Eigengeschwindigkeit von 360^km_h

25.1 Welche Zeit benötigt das Flugzeug mindestens, um diese Strecke bei Windstille zurückzulegen?

 

F km

F h

x x 500 km

v t 1,39 h 1h 23min

t v 360

    

25.2 Welche Zeit benötigt das Flugzeug, um diese Strecke zurückzulegen, wenn ein Wind mit der Geschwindigkeit 18, 0^m_s weht

i) als Gegenwind?

 

km km

F W h h

x 500 km

t 1, 69 h 1h 42 min

v v 360 18, 0 3, 6

  

  

ii) als Rückenwind?

 

km km

F W h h

x 500 km

t 1,18h 1h 11min

v v 360 18, 0 3, 6

  

  

iii) als Seitenwind?

Bei Seitenwind muss vorgehalten werden, somit folgt für die Geschwindigkeit v_G von A nach B:

  



2 2 km km km

G F W h h h

v  v v  360  18, 0 3, 6 354

 

x 500 km

26.0 Ein Flugzeug soll mit einer Geschwindigkeit von 324^km_h genau von Süden nach Norden eine Strecke von 800km zurücklegen. Es gerät dabei in einen Ost-Sturm, der mit einer Geschwindigkeit von 28,3^m_s bläst.

26.1 Wie groß wäre die Abweichung von der Nord-Süd-Richtung, wenn der Pilot den Seitenwind nicht wahrnimmt?

Für den Abdriftwinkel  gilt:

     

m

W s

m

F s

28,3

tan v tan 17, 46

v 324 : 3, 6

        

Dann folgt für die Abdrift a:

 

   

tan a s tan 800 km tan 17, 46 252 km

  s        

26.2 Welchen Kurs muss der Pilot steuern um den Flughafen im Norden zu erreichen?

Für den Vorhaltewinkel  gilt:

     

m

W s

m

F s

28,3

sin v sin 18,33

v 324 : 3, 6

        

26.3 Welche Geschwindigkeit besitzt das Flugzeug in Süd-Nord-Richtung?

Für die Gesamtgeschwindigkeit v_G in N-S-Richtung gilt:

2 2 2 2 2 2 2 2

W G F G F W G F W

v v v  v v v  v  v v



 



G s s s

v  324 : 3, 6  28,3 85, 43

27. Für die 12.000km lange Strecke von Frankfurt nach Thailand benötigt ein Flugzeug bedingt durch den Gegenwind 16 Stunden. Für den Rückflug benötigt die Maschine bedingt durch den Rückenwind nur 14,5 Stunden.

Berechnen Sie die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges sowie die Windgeschwindigkeit.

Für die Geschwindigkeit v_Hin des Hinflugs gilt: _Hin ^km_h

Hin

x 12.000 km

v 750

t 16 h

  

Für die Geschwindigkeit v_Rück des Rückflugs gilt: _Rück ^km_h

Rück

x 12.000 km

v 828

t 14, 5 h

  

Es gilt:

km

Rück F W h F W

km

Hin F W h F W

v v v 828 v v

v v v 750 v v

   

    

Durch Addition der beiden Gleichungen erhält man die Geschwindigkeit des Flugzeugs:

km km

F F

h h

1578  2 v  v 789

Und für die Windgeschwindigkeit v_W gilt dann: 828^km_h 789v_W  v_W 39^km_h

28. Ein Radfahrer fährt mit konstanter Geschwindigkeit v₁ 10^km_h einen Berg hinauf und mit konstanter Geschwindigkeit v₂ 30^km_h die gleiche Strecke hinab.

Berechnen Sie, wie groß ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit für die Gesamtstrecke ist?

Für die Hinauffahrt gilt: _{1 1}

1 1

x x

v t

t v

  

Für die Hinabfahrt gilt: _{2 2}

2 2

x x

v t

t v

  

Für die Durchschnittsgeschwindigkeit v gilt:

 

1 2 1 2 1 2 h h

G km

h

x x 1 1 1 1 1 1

G 1 2 v v v v v v 10 30

x 2 x 2 x 2 x 2 2

v 15

t t t x

  

      

     

29. Zwei Schüler laufen unter einem rechten Winkel in gerader Richtung mit den

Geschwindigkeiten v₁6, 0^m_s und v₂ 8, 0^m_s auseinander. Berechnen Sie, mit welcher Geschwindigkeit sie sich voneinander entfernen. Nach welcher Zeit sind sie genau

s1, 0 km voneinander entfernt?

Der erste Schüler läuft in x-Richtung. Für seine Entfernung zum Startpunkt gilt:

xv t1

Der zweite Schüler läuft in y-Richtung. Für seine Entfernung zum Startpunkt gilt:

yv2t

Für die Entfernung der beiden Schüler gilt nach dem Satz des Pythagoras:

  



 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

z x y  v t  v t  v  t v  t t  v v  t v v Dann folgt für die Geschwindigkeit v, mit der sie sich auseinander bewegen:

   

2 2

2 2

1 2 2 2 m m m

1 2 s s s

t v v

v z v v 6, 0 8, 0 10

t t

 

      

Für die Zeit, nach welcher sie genau s1, 0 km voneinander entfernt sind, gilt noch obige Formel:

   

2 2

1 2 2 2 m 2 m 2

1 2 s s

z 1000 m

z t v v t 100s

v v 6, 0 8, 0

      

 

30. Zwei Personen laufen unter einem rechten Winkel in gerader Richtung mit den Geschwindigkeiten v₁6, 0^m_s und v₂ 8, 0^m_s auseinander. Die zweite Person startet dabei  t 5, 0 min nach der ersten Person. Berechnen Sie zunächst, wie weit die beiden nach einer Zeit von t₁10 min voneinander entfernt sind.

Nach welcher Zeit sind die beiden genau x1, 0 km voneinander entfernt?

Ergänzung: Zwei Geschwindigkeiten schließen einen beliebigen Winkel  ein.

Hier ist es zunächst ratsam ein Koordinatensystem einzuführen und die

Geschwindigkeitsvektoren bezüglich dieses Koordinatensystems zu betrachten.

Nun gilt für S ^S

v v 0

   

  und für B ^x y

v v v

 

  

 

Drückt man v_x und v mit Hilfe des Winkels _y  und des Betrags v_B der Geschwindigkeit aus, so folgt:

x

x B

B B

B

y B

y B

B

cos v v v cos

v v cos

v v v sin

sin v v sin

v

         

     



Für den Vektor der Gesamtgeschwindigkeit gilt dann:

B S B

S

G S B

B B

v cos v v cos

v v v v

v sin v sin

0

    

   

             

und für den Betrag der Gesamtgeschwindigkeit:

   

 

2 2

G S B B

2 2 2 2 2

G S S B B B

2 2 2 2

G S S B B

2 2

G S B S B

v v v cos v sin

v v 2v v cos v cos v sin

v v 2v v cos v cos sin

v v v 2v v cos

      

         

        

    

Für den Abdriftwinkel  folgt mit dem Kosinussatz:

vS

vS

vB

vG

 vB

vx

vy

vS

vB

 x

y

2 2 2

2 2 2 B G S

S B G S G

S G

v v v

v v v 2v v cos cos

2v v

 

      

2 2 2 2

B S B S B S

S G 2

B S B

S G

2

B S B

S G

2

B S B

2 2

S S B S B

v v v 2v v cos v

cos 2v v

2v 2v v cos

cos 2v v

v v v cos

cos v v

v v v cos cos

v v v 2v v cos

     

 

  

  

  

  

  

      