Bewegung ist ein Prozess

(1)

5 Dynamik

Animation follows the laws of physics — unless it is funnier otherwise.

(2)

Antikes Weltbild

Gegenstände kommen zur Ruhe, wenn keine äußeren Kräfte mehr wirken.

Entspricht unserer alltägliche Erfahrung

Autos halten an, wenn man den Fuß vom Gashebel nimmt

Aristoteles

Bewegung ist ein Prozess

0 v

0 ⇒ =

=

≈ F

v F

Allerdings ist die tatsächliche Ursache die Reibung.

Die Reibung ist eine Kraft!

(3)

Galileo Galilei

Eine gradlinig gradförmige Bewegung einer Masse mit konstanter Geschwindigkeit bedarf keiner Ursache, sondern geht aus sich heraus immer weiter

Trägheitsprinzip

Um die Geschwindigkeit einer Masse zu verändern, muss auf den Körper eine Kraft wirken Schwerkraft, Federkraft, elektrische Kräfte, magnetische Kräfte, Muskelkraft

Fragestellung in der Dynamik:

Was ist die Ursache der Bewegung

Der Zustand der Ruhe ist ein Spezialfall der gradlinig gleichförmigen Bewegung.

Galileo Galilei 1564-1642

Der Kraftbegriff ist ein fundamentales Konzept in der Physik

Beobachtung

z.B. Verformung einer Federwaage oder

Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers (Beschleunigung) Alltägliche Erfahrung

Körper widersetzen sich einer solchen Änderung (Trägheit, träge Masse) z.B. Abbremsen eines Kreuzfahrtschiffes

Issac Newton 1643-1724

(4)

Definition Masse

aus dem Urkilogramm

Masse eines Körpers

?

v

: m

_UrKg

v

^Urkg

m =

^UrKg

?

m m

m

UrKg

m

?

v

UrKg

v

?

Feder

(5)

Erstes Newtonsches Axiom

F r

Eine Kraft F, die auf ein

Standardkilogramm eine Beschleunigung von 1 m/s² ausübt definieren wir als

1 Newton (N=kg*m/s²)

Kraft hat vektoriellen Charakter Definition der Krafteinheit:

Trial and Error Verfahren

Eine Kraft auf einen Körper verursacht eine Änderung des Bewegungszustandes

(Beschleunigung)

(6)

Vektoraddition von Kräften

°

° 43 37

N

1

= 35 F r

N

2

= 50 F r

x

− y

1 1

, 1

1 1

, 1

cos sin

Θ

=

Θ

= F F

F F

y

r

x

r

2 2

, 2

2 2

, 2

cos sin

Θ

=

Θ

= F F

F F

y

r

x

r

(7)

Vektoraddition von Kräften

°

° 43 37

N

1

= 35 F r

N

1

= 35 F r

x

− y

1 1

, 1

1 1

, 1

cos sin

Θ

=

Θ

= F F

F F

y

r

x

r

2 2

, 2

2 2

, 2

cos sin

Θ

=

Θ

= F F

F F

y

r

x

r

F

₂_,x

F

₂_,y

Θ

2

F r

2

F

₁_,x

F

₁_,y

Θ

1

F r

1

( )

( ^- ⁴⁷ ) ²⁵ ^. ⁵ ^N

sin N 35

N 23.9 47

- cos N 35

, 1 , 1

−

=

°

=

°

=

y x

F F r

r

( )

( ^- ¹²⁷ ) ³⁹ ^. ⁹ ^N

sin N 50

N 1 . 30 127

- cos N 50

, 2

−

=

°

=

−

=

°

=

y x

F

F r

r

(8)

Vektoraddition von Kräften

statt vieler Einzelkräfte Reduzierung auf einen resultierenden Kraftvektor

°

° 43 37

N

1

= 35 F r

N

2

= 50 F r

x

− y

1 1

, 1

1 1

, 1

cos sin

Θ

=

Θ

= F F

F F

y

r

x

r

2 2

, 2

2 2

, 2

cos sin

Θ

=

Θ

= F F

F F

y

r

x

r

N 5 . 25

N 23.9

, 1 , 1

−

=

y x

F r F

r

N 9 . 39

N 1 . 30

, 2

−

=

−

=

y x

F F r r

F

₁_,x

F

₁_,y

F r

1

F

₂_,y

F r

2

°

−

=

= Θ

= +

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

95 . 4

tan

N 7 . 65

N 65.4 N

39.9 N

5 . 25

N 2 . 6 N

1 . 30 N

9 . 23

, 1 , res

2 , 2

, ,

,

res x

res y

res y res

x res

res y

res x

F F

F

Θ

res res

F

x_,

res

F

y_,

F r

res

neuer resultierender Kraftvektor, der

die Bewegung eindeutig beschreibt

(9)

Newtons Schaukel

(10)

Erstes Newtonsches Axiom

Geschwindigkeit

a b

2 1

2 2 1

1

2 2 1

1 2

2 1

1

v v

= ′

+ ′

= ′ +

m m

Ansatz

Vermutung 1

Geschwindigkeiten werden übertragen

(11)

Erstes Newtonsches Axiom

Masse

a b c

Impuls

v r

r m

p =

Einheit [kg m/s]

Vermutung 2

Übertrag ist proportional zur Masse

Wir definieren eine neue Größe

Definition

Kraft auf einen Körper

dt p F r d r

=

1

:

2 1

2 1 1

1

2 2 1

1 2

2 1

1

v 2 v

v 2

v

v v

= ′

+ ′

= ′ +

m m

1

2

2m

Annahme

=

m

(12)

Erstes Newtonsches Axiom

Trägheitsprinzip

Erstes Newtonschen Gesetz

Trägheits-Formulierung

Ohne Krafteinwirkung von außen (F=0) verharrt ein Massenpunkt im Zustand der Ruhe (v=0) oder der gleichförmige Bewegung (v=v

₀

) und

wird nicht beschleunigt (a=0).

Trägheitsprinzip

(13)

Inertialsystem

Wichtiger Inhalt des Ersten Newtonschen Axioms ist die Existenz von Inertialsystemen

Beispiel Erde:

Beschleunigter Beobachter würde eine Verletzung des ersten Newtonschen

Gesetzes feststellen!

Definition

Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem die Newtons Gesetze gültig sind.

Für jeden Körper, der frei von externen Kräften ist, gibt es ein Bezugssystem, in dem er sich in Ruhe befindet. Dann existiert auch ein Satz von Bezugssystemen in denen dieser

Körper eine konstante Geschwindigkeit hat oder

Alle Körper auf die keine resultierenden Kräfte einwirken, befinden sich in Ruhe oder bewegen sich mit konstanter

Geschwindigkeit

(14)

Zweites Newtonsches Axiom

Aktionsprinzip

dt P F d

r r

=

Äußere Kräfte auf einen Körper, die den Impuls P des Körpers ändern, nennen wir die resultierende

Kraft F_res.

Betrag und Richtung ist gleich der zeitlichen Änderung des Impulses

dt m d dt

m d dt m

F r d v r v r v r +

=

a m dt m

F r d r r

=

= v

Kraft ist Masse mal Beschleunigung

Diese Gleichung gilt nur, wenn die Masse nicht von der

Geschwindigkeit des Inertialsystems abhängt. Dies stimmt aber nur wenn v<<c. Das

genauere Ergebnis der

Relativitätstheorie lautet

c²

1 v² v)

(

⁰

−

= m m

Die Masse ändert sich nicht

mit der Zeit

(15)

Zweites Newtonsches Axiom

Ist das nicht dasselbe wie das 1. Newtonsche Axiom?

dt P F d

r r

=

Eine äußere Kraft auf ein Objekt, die den Impuls P ändert, nennen wir Kraft F. Betrag und Richtung

ist gleich der zeitlichen Änderung des Impulses

Unterschied zur Definition der Kraft nach dem Ersten Newtonschen Axiom:

Hier wird nicht eine einzelne Krafteinwirkung auf einen Körper betrachte, sondern eine

resultierende Kraft !

∑

=

i

res

p

dt F r d r

:

Superpositionsprinzip

Deshalb

Die resultierende Kraft ist die Summe aller äußeren auf einen Körper wirkenden Kräfte

Wichtige neue Information im Vergleich zum Ersten Newtonschen Axiom

Addition von Massen und Vektoraddition von Kräften

(16)

Zweites Newtonsches Axiom

Impuls-Formulierung des 2. Newtonschen Axioms

Ohne Einwirkung von außen bleibt in einem abgeschlossenen System von Massenpunkten mit der Gesamtimpuls, das ist die

Summe aller Einzelimpulse, konstant Das ist die Aussage des Impulserhaltungssatz

const m

p P

i i

=

= ∑ ^r

ⁱ

∑ ^v ^r

ⁱ

r

Der Impulserhaltungssatz ist in der Physik einer der wichtigsten Erhaltungssätze. Man kennt bislang keinen physikalischen Vorgang, bei dem

der Impulssatz verletzt worden wäre.

(17)

You can have it in any color as long as it's black

(Henry Ford)

1350 kg Kraft pro Person 300 Newton

89 ² . kg 0

1350 s²

m 300 kg

4 4 a

_PKW

s m m

F

PKW

M

= =

=

(18)

Lt. Col. John Strapp

Reibung des Raketenwagens auf den Schienen 600 Newton

F_R F_T

N 10 12 . 9

s² m 600 kg

s² 9.81 m

* 46.2 2000kg

⋅

5

=

+

⋅

=

+

=

−

=

T T

R RWagen

RWagen T

R T

res

RWagen res RWagen

F F

F a

m F

F F

F

m

a F

(19)

Reibung

0 reactio actio

= + +

=

g N

s

F F

f r r r

Θ

=

= Θ

− +

−

sin

0 sin

0 Achse x

mg f

s

r

N s

s

F

f r

μ

max

=

,

aft Reibungskr

Θ

=

= Θ

− +

−

cos

0 cos

0 Achse y

mg F

N N

Θ Θ =

= Θ

= tan

cos sin mg

mg F

f

N s

μ

s

(20)

Reibung

In vielen Fällen wird die Reibung vernachlässigt, reibungsfreie Bewegung

Makroskopische Sichtweise

Mikroskopische Sichtweise

Verformung im Bereich der Kontaktfläche. Scherbeanspruchung.

Atome bleiben teilweise an der jeweils anderen Oberfläche haften und springen dann an ihren Ausgangsort zurück. Dies führt zu

Schallschwingungen, die später in Wärme umgesetzt wird. Auch chemische Reaktionen können ausgelöst werden.

Eine größere Normalkraft erzeugt eine erhöhte Reibung. Normalerweise ist die Kontaktfläche, die zur Reibung beiträgt nur ein kleiner Anteil der Auflagefläche.

Dieser Flächenanteil wird durch Erhöhung von F_Nvergrößert.

(21)

Reibung schematisch

Statische Reibung

Dynamische Reibung

F F

_R

F

_R

=μF

_N

keine Bewegung Gleitbewegung

Statische Reibung

übersteigt Gleitreibung

(22)

Arten der Reibung

Man unterscheidet zwischen statischer (Haft- )und dynamischer (Gleit-) Reibung

N

f

_H

≤ μ

_H ^μ^H ist der statischer Reibungskoeffizient (Haftreibungszahl)

N

f

_G

≤ μ

_G ^μG ist der dynamische Reibungskoeffizient (Haftreibungszahl) μ_H, μ_G können auch kleinere Werte annehmen

Im Allgemeinen ist der Haftreibungskoeffizient größer als der Gleitreibungskoeffizient

System μ_G μ_H

Holz auf Holz 0.5 0.3

Gewachstes Holz auf nassem Schnee 0.14 0.10

Metall auf Holz 0.5 0.3

Stahl auf Stahl (trocken) 0,6 0,3

Stahl auf Stahl (geölt) 0,05 0,03

Schuhe aufHolz 0.9 0.7

Schuhe auf Eis 0.1 0,05

Eis auf Eis 0.1 0.03

Reifen auf trockener Strasse 0.7-0.9

Reifen auf nasser Strasse 0.1-0.8

Reifen auf vereister Strasse 0.1-0.4

Luftwiderstand

v ,

F r

N

h

F r

N_,

F r

N

F r

L

F r

a

G

f

H,

2 v² 1

L

= c A ρ ⋅

F r

_w

(23)

Charley "Mile-a-Minute" Murphy

1899: legendärer mile-a-minute„ Rekord (1,6 km/min~26.6 m/s~96 km/h )

Schneller als jedes Automobil zu jener

Zeit.

Man beachte den großen Schirm, der den Luftwiderstand erheblich reduziert.